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1、 第 1 页，共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 绝密绝密启用前启用前 皖中名校联盟 2023-2024 学年（上）高三第四次联考 数学试题 考试范围：xxx；考试时间：100 分钟；命题人：xxx 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。第 I 卷（选择
2、题）一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合=2,1,3，=|2+3 0，则 =()A.(32,+)B.1,3 C.1 D.3 2.若复数满足(1+)=3 ，则|=()A.5 B.5 C.2 5 D.20 3.若角的终边上有一点(2,)，且sin=55，则=()A.4 B.4 C.1 D.1 4.已知，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A.若 ，则 B.若 ，则/C.若/，则/D.若/，且与所成的角和与所成的角相等，则/5.设 ，则“0”是“3 2的()第 2 页，共 6 页 外 装 订 线 请不要在装订线内
3、答题 内 装 订 线 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.粮食是关系国计民生的重要战略物资.如图为储备水稻的粮仓，中间部分可近似看作是圆柱，圆柱的底面直径为10，上、下两部分可以近似看作是完全相同的圆锥，圆柱的高是圆锥高的4倍，且这两个圆锥的顶点相距12，每立方米的空间大约可装0.75吨的水稻，则该粮仓最多可装水稻()A.175吨 B.200吨 C.225吨 D.250吨 7.镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，顶端塔刹为一青铜铸葫芦，葫芦表面刻有“风调雨顺、国泰民安”八个字，是全国重点文物保护单位、国家3级旅游景区.小胡同学想知道镇国寺
4、塔的高度，他在塔的正北方向找到一座建筑物，高为7.5，在地面上点处(,在同一水平面上且三点共线)测得建筑物顶部，镇国寺塔顶部的仰角分别为15和60，在处测得镇国寺塔顶部的仰角为30，则镇国寺塔的高度约为()(参考数据：3 1.73)A.31.42 B.33.26 C.35.48 D.37.52 第 3 页，共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 8.已知函数()=2+ln的图象有两条与直线=2平行的切线，且切点坐标分别为(1,(1)，(2,(2)，则11+12的取值范围是()A.(0,2 2)B.(0,4)C.(2 2,+)D.
5、(4,+)二、多选题（本大题共 4 小题，共 20 分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知函数()=32sin2 sin2+12，则下列说法正确的是()A.函数()的最小正周期为 B.函数()的图象的一条对称轴方程为=6 C.函数()的图象可由=sin2的图象向左平移12个单位长度得到 D.函数()在区间(0,3)上单调递增 10.若实数，满足|0，则()A.2024 C.+2 D.1 0)，设()0的解集为(,)(1，则实数的取值范围为 四、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题12分)已知sin+cos=105，(0,).(1)求
6、sin cos的值;(2)求cos(2+2023)+tan(+2023)的值 18.(本小题12分)设 0且 1，函数()=4 2，()=()，且()为奇函数(1)求;(2)求()+()2的最小值 第 5 页，共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 19.(本小题12分)已知函数()=ln 2+3，其中 0(1)当=1时，求()的最小值;(2)若1()对任意的 (0,+)恒成立，求实数的取值范围 20.(本小题12分)已知各项均为正数的数列的前项和为，且2=3，=+1(且 2)(1)求的通项公式;(2)若=2，求数列的前项和 2
7、1.(本小题12分)如图，在平面四边形中，0，则 =()A.(32,+)B.1,3 C.1 D.3【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查函数的定义域，考查集合的交集运算，属于基础题 先求出集合，再求 即可【解答】解：由 2+3 0 可得 =32,+，所以 =1,3，故选：2.若复数满足(1+)=3 ，则|=()A.5 B.5 C.2 5 D.20【答案】A 【解析】【分析】本题考查复数的运算和模长公式，属于基础题 第 2 页，共 17 页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 由复数的除法计算出复数，再利用模长公式求|【解答】解：因为(1+)=3 ，所以 =31+=(3)(1
8、)(1+)(1)=1 2，所以|=12+(2)2=5 故选：3.若角的终边上有一点(2,)，且sin=55，则=()A.4 B.4 C.1 D.1【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题 由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值【解答】解：角的终边上有一点(2,)，且=55，=2，=，=|=4+2，由三角函数定义，可得=55，即 4+2=55，解得=1，故选：4.已知，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A.若 ，则 B.若 ，则/C.若/，则/D.若/，且与所成的角和与所成的角相等，则/【答案】C 【解析】【分析】本题考查命题真假的
9、判断，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查分析能力及空间想象能力，属于基础题 根据空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识逐一判断即可【解答】解：若 ，则与可能平行，可能相交，可能异面，故 A错误;若 ，则可能在内，故 B错误;第 3 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 若/，则 ，又 ，则/，故 C正确;若/，且与所成的角和与所成的角相等，则与不一定平行，也可异面或相交，故 D 错误 故选 C 5.设 ，则“0”是“3 2的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必
10、要条件【答案】B 【解析】【分析】本题考查了充分、必要条件的定义，属于基础题 由3 2解得的范围，再根据充分、必要条件的定义判断出结论【解答】解：由3 2，解得 1，故“0”是“3 2”的必要不充分条件，故选：6.粮食是关系国计民生的重要战略物资.如图为储备水稻的粮仓，中间部分可近似看作是圆柱，圆柱的底面直径为10，上、下两部分可以近似看作是完全相同的圆锥，圆柱的高是圆锥高的4倍，且这两个圆锥的顶点相距12，每立方米的空间大约可装0.75吨的水稻，则该粮仓最多可装水稻()A.175吨 B.200吨 C.225吨 D.250吨【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查简单组合体的结构特点，考查圆柱
11、、圆锥的体积，属于基础题 根据题意求出圆锥高及底面半径，再由圆锥、圆柱的体积公式求解 第 4 页，共 17 页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 【解答】解：设圆锥的高为，则圆柱的高为4，因为两个圆锥的顶点相距12，所以4+2=12，解得=2，圆柱的底面直径为10，则半径为5，所以圆柱的体积为 52(2 4)=2003，两个圆锥的体积之和为13 52 2 2=10033，所以粮仓的体积为200+1003=70033，该粮仓可装水稻约7003 0.75=175吨，故选：7.镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，顶端塔刹为一青铜铸葫芦，葫芦表面刻有“风调雨顺、国泰民安”八
12、个字，是全国重点文物保护单位、国家3级旅游景区.小胡同学想知道镇国寺塔的高度，他在塔的正北方向找到一座建筑物，高为7.5，在地面上点处(,在同一水平面上且三点共线)测得建筑物顶部，镇国寺塔顶部的仰角分别为15和60，在处测得镇国寺塔顶部的仰角为30，则镇国寺塔的高度约为()(参考数据：3 1.73)A.31.42 B.33.26 C.35.48 D.37.52【答案】C 【解析】【分析】本题考查解三角形的实际应用，属于中档题 先表示出，求出，然后在 中，由正弦定理可表示出，在 中，可表示出，进而得解 第 5 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_
13、考号：_ 内 装 订 线 【解答】解：sin15=sin(45 30)=sin45cos30 cos45sin30=6 24，在 中，=sin=7.5sin15，在 中，=180 =105，=30+15=45，所以=180 =30，由正弦定理得sin=sin，=sinsin=7.5sin15sin45sin30，所以=sin=7.5sin15sin45sin30 sin60=15(6+2 3)4 35.48()，故选 C 8.已知函数()=2+ln的图象有两条与直线=2平行的切线，且切点坐标分别为(1,(1)，(2,(2)，则11+12的取值范围是()A.(0,2 2)B.(0,4)C.(2
14、2,+)D.(4,+)【答案】D 【解析】【分析】本题考查函数零点与方程根的关系，考查导数的几何意义，属于中档题 由题意可得()=2有两个不相等的正实根1，2，则=2 22=2(1 )有两个不相等的正实根1，2，=2 22可化为22 2+=0，结合韦达定理即可求解【解答】解：因为()=2+ln，所以()=2+，由题意可得()=2有两个不相等的正实根1，2，所以=2 22=2(1 )有两个不相等的正实根1，2，所以0 4，故选 D 二、多选题（本大题共 4 小题，共 20 分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知函数()=32sin2 sin2+12，则下列说法正确的是()第 6 页，共 17
15、页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 A.函数()的最小正周期为 B.函数()的图象的一条对称轴方程为=6 C.函数()的图象可由=sin2的图象向左平移12个单位长度得到 D.函数()在区间(0,3)上单调递增【答案】ABC 【解析】【分析】先利用三角恒等变换公式化简()，再根据正弦函数的图象与性质，逐一分析选项，即可 本题考查三角函数的综合应用，熟练掌握二倍角公式，辅助角公式，正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题【解答】解：()=322 sin2+12=322 122+12=322+122=sin(2+6)所以函数()的最小正周期为=
16、22=，即 A正确；由2+6=2+()，得=6+2()，当=0时，=6，即 B 正确；由=2的图象向左平移12个单位长度，得=2(+12)=sin(2+6)=()，即 C正确；由 (0,3)，知2+6(6,56)，因为函数=在(6,56)上不单调，所以函数()在区间(0,3)上不单调，即 D 错误 故选：10.若实数，满足|0，则()A.2024 C.+2 D.1 2，故 A错误;因为|，所以2024 2024，故 B 正确;当 0时，+0时，()0;当 0时，()0，所以1 0，1+10=4，即1+1+9=4，即1=2 92，8=1+7=2 92+7=2+52 2 16.已知()=ln+ln
17、 1(0)，设()0的解集为(,)(1，则实数的取值范围为 【答案】(0,1)【解析】【分析】本题考查了利用导数判断函数的单调性，求解参数的取值范围，属于一般题 根据函数的单调性结合不等式的解集求解的取值范围即可【解答】解：()=ln2=ln2，设()=ln，则()=0，所以()单调递减，又 0时，()+，(1)=0，又当 0和 +时，()，第 11 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 所以存在0 1 1，所以1 1 0，因为()=ln+ln 1=0，所以 ln+ln+2 0，设()=ln+ln+2(0 0，所以()单
18、调递增，所以1 1，所以(1)=1 0，即 (0,1)四、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题12分)已知sin+cos=105，(0,).(1)求sin cos的值;(2)求cos(2+2023)+tan(+2023)的值【答案】解：(1)因为sin+cos=105，所以(sin+cos)2=25，所以1+2sincos=25，即2sincos=35 0，所以cos 0，因为(sin cos)2=1 2sincos=85，所以sin cos=2 105；(2)由sin+cos=105,sin cos=2 105,解得sin=3 10
19、10，cos=1010，所以tan=sincos=3，所以cos(2+2023)+tan(+2023)=cos2+tan=sin2 cos2+tan=910110 3=115 【解析】本题主要考查了三角函数的同角公式，诱导公式以及二倍角公式，属于基础题 第 12 页，共 17 页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 (1)根据已知条件，结合三角函数的同角公式，即可求解(2)根据已知条件，结合三角函数的二倍角公式和诱导公式，即可求解 18.(本小题12分)设 0且 1，函数()=4 2，()=()，且()为奇函数(1)求;(2)求()+()2的最小值【答案】解：(1)因为()=
20、()=(4)(2)，且()为奇函数，所以()+()=(4)(2)+(4)(2)=0，即(4)+(4)=(2)+(2)所以4=2，解得=2 2，又 0，故=2 2(2)由(1)知()=(2)(22)，()2=2+2 2，所以()+()2=4+2 2，令=2(0,+)，则()=()+()2=2+1 2，所以()=2 12=2312，令()=0，得=213，当 (0,213)时，()0，()单调递增 所以当=213，()取得最小值(213)=3 223 2，即=13时，()+()2的最小值3 223 2 【解析】本题考查函数的奇偶性，最值问题，属于中档题(1)利用()+()=0，求;(2)因为()+
21、()2=4+2 2，令=2(0,+)，则()=()+()2=2+1 2，再利用导数求最值 19.(本小题12分)已知函数()=ln 2+3，其中 0(1)当=1时，求()的最小值;(2)若1()对任意的 (0,+)恒成立，求实数的取值范围【答案】解：(1)当=1时，()=ln 2+3，则()=ln 1，由()0得0 0得 第 13 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 所以()min=()=3 (2)设()=1 ln+2 3，则(1)=0，()=1(ln+1)+2，令()=()，则()=11=1(1)，令()=1，其中
22、0，则()=11，当0 0，此时函数()单调递增;当 1时，()0，此时函数()单调递减，所以()max=(1)=1 当=1时，()(1)=0，则()=1()0，且()不恒为0，所以函数()在区间(0,+)上单调递减，当0 (1)=0，()单调递增;当 1时，()1时，()(1)=1 0，则()=1()0，所以函数()在区间(0,+)上单调递减，因为(1)=1 0，当 0时，()+，此时存在1(0,1)，使得(1)=0，且当 (1,1)，()(1)=0，不合题意;当0 0，因为1 ln 1，(1 ln)=1lnln =ln 0，由于函数()在区间(1,+)上单调递减，故存在2=1 ln，使得当
23、 (1,2)时，()0，此时，()=1()0，则函数()在区间(1,2)上单调递增，故当 (1,2)时，()(1)=1 0，()单调递增，所以(2)(1)=0，不满足题意 综上所述，若1()对任意的 (0,+)恒成立，则的取值范围为1 【解析】本题考查了利用导数研究闭区间上函数的最值以及导数中的恒成立问题，是较难题(1)先利用导数研究单调性，可得()的最小值;第 14 页，共 17 页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 (2)设()=1 ln+2 3，令()=()，利用导数研究最值，可得实数的取值范围 20.(本小题12分)已知各项均为正数的数列的前项和为，且2=3，=+1
24、(且 2)(1)求的通项公式;(2)若=2，求数列的前项和【答案】解：(1)当=2时，2=2+1，即3=3+1+1，解得1=1，因为=1(2)，所以=(1)(+1)(2)，又=+1(2,)，0，所以 1=1(2)，又 1=1=1=1，所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以=1+(1)=，所以=2 当 2时，=1=2(1)2=2 1，当=1时，1=1，满足上式，所以数列的通项公式为=2 1(2)由(1)知=2=212，所以=1+2+3+=12+322+523+212，所以12=122+323+524+212+1，所以12=12+222+223+22212+1=1+122+1211221
25、2+1=1(12)11212212+1=322+32+1，所以=3 2+32 【解析】本题主要考查数列的通项和前项和之间的关系，等差数列的判定，裂项相消法求和，考查考生的运算求解能力、逻辑思维能力，属于中档题(1)利用数列的通项和前项和之间的关系，得知数列 是等差数列，即可求出数列的通项公式，要注意检验=1时的情况；(2)先根据数列的通项公式，后利用裂项相消法求数列的前项和.第 15 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 21.(本小题12分)如图，在平面四边形中，2，=2，=34 (1)若=2，sin=35，求的长;(
26、2)若=6，=8，求的长【答案】解：(1)在 中，由余弦定理得2=2+2 2 =10，所以=10 所以cos=2+222=3 1010，所以 =(2)=3 1010 在 中，由正弦定理得sin=sin 所以=sinsin=5(2)设=(0 4)，=.则=2，在 中，由正弦定理得sin=sin，所以=2(4)在 中，6=(2)，所以=4cos，所以 2(4)=4，即 2 22cos 22sin=4cos，即2sin=cos，所以tan=12,所以sin=cos=2 55,所以=42 55=2 5，cos=55,在 中，2=2+2 2 cos，即2 4 44=0，解得=2+4 3或=2 4 3(舍
27、)【解析】本题考查解三角形和三角恒等变换，属于一般题(1)利用余弦定理求，得cos，求出sin，利用正弦定理即可求解;(2)设=(0 4)，=.则=2，利用正弦定理和三角恒等变换求得sin=cos=2 55,得和cos，由余弦定理即可求解 第 16 页，共 17 页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 22.(本小题12分)如图，在四棱锥 中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面 底面，是的中点 (1)求证：平面;(2)求平面与平面夹角的余弦值【答案】解：(1)证明：在正方形中，又侧面 底面，侧面 底面=，平面，所以 平面，又 平面，所以 ，因为 是正三角形，是的中点，所以 ，
28、又 =，平面，所以 平面(2)取中点为,中点为，连接,，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设=2，则(0,1,0)，(0,1,0)，0,0,3，(2,1,0)，0,12,32，所以=0,1,3，=(2,2,0)设平面的法向量为=(,)，则 由 =3=0,=2+2=0,得=3,=,取=1，则=3,3,1，由(1)知平面的一个法向量为=0,32,32，设平面与平面的夹角为，则cos=cos,=0,32,32 3,3,1 3 7=2 3 3 7=2 77 所以平面与平面夹角的余弦值为2 77 第 17 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 【解析】本题考查线面垂直的证明，以及利用空间向量求解平面与平面夹角问题(1)先根据面面垂直证线面垂直，得 平面，再得线线垂直 ，再根据正三角形三线合一证 ，最后由线面垂直的判定，证得 平面；(2)建系，用空间向量坐标计算面面夹角的余弦值即可