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1、1立体几何大题综合冲刺秘籍冲刺秘籍1.1.空间中的平行关系（1）线线平行（2）线面平行的判定定理：平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行（3）线面平行的性质定理若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行（4）面面平行的判定定理判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行（5）面面平行的性质定理性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行2.2.空间中的垂直关系（1）线线垂直（2）线面垂直的
2、判定定理一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直（3）线面垂直的性质定理性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行（4）面面垂直的判定定理一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直(或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直)（5）面面垂直的性质定理两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面3.3.异面直线所成角cos=cos a,b=|ab|a|b|=|x1x2+y1y2+z1z2|x12+y12+z12x22+y22+z22立体几何大题综合-2024届新高考数学题型满分突破2(其
3、中(090)为异面直线a,b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量)4.4.直线AB与平面所成角，sin=AB m|AB|m|(m为平面的法向量).5.5.二面角-l-的平面角cos=mn|m|n|(m，n为平面，的法向量).6.6.点B到平面的距离d=|AB n|n|(n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A).冲刺训练冲刺训练一、解答题一、解答题1(20232023 广东梅州 统考三模)如图所示，在几何体PABCD中，AD平面PAB，点C在平面PAB的投影在线段PB上 BCPC，BP=6，AB=AP=2 3，DC=2，CD平面PAB.(1)证明：平面PCD平面PAD.(2)若二
4、面角B-CD-P的余弦值为-714，求线段AD的长.32(20232023 浙江 校联考模拟预测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD是边长为2的正三角形，平面PAD平面ABCD，ABPD(1)求证：平行四边形ABCD为矩形；(2)若E为侧棱PD的中点，且平面ACE与平面ABP所成角的余弦值为64，求点B到平面ACE的距离43(20232023 福建福州 福建省福州第一中学校考二模)如图1，在ABC中，AB=AC=2,BAC=23,E为BC的中点，F为AB上一点，且EFAB.将BEF沿EF翻折到BEF的位置，如图2.(1)当AB=2 时，证明：平面BAE平面ABC
5、；(2)已知二面角B-EF-A的大小为4，棱AC上是否存在点M，使得直线BE与平面BMF所成角的正弦值为1010？若存在，确定M的位置；若不存在，请说明理由.54(20232023 江苏扬州 统考模拟预测)如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为6，截面ACC1A1的面积为6(1)求点B到平面ACC1A1的距离；(2)若AB=AD=2,BAD=60，AA1=6，求直线BD1与平面CC1D1D所成角的正弦值65(20232023 浙江温州 乐清市知临中学校考二模)在三棱锥O-ABC中，AB=BC=OB=2,ABC=120，平面BCO平面ABC，且OBAB.(1)证明：OBAC；(2)若
6、F是直线OC上的一个动点，求直线AF与平面ABC所成的角的正切值最大值.76(20232023 福建宁德 校考模拟预测)图1是由直角梯形ABCD和以CD为直径的半圆组成的平面图形，ADBC，ADAB，AD=AB=12BC=1E是半圆上的一个动点，当CDE周长最大时，将半圆沿着CD折起，使平面PCD平面ABCD，此时的点E到达点P的位置，如图2(1)求证：BDPD；(2)求平面PAB和平面PCD夹角的余弦值87(20232023 福建福州 福州四中校考模拟预测)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACBC,AC=2，且BC=CC1=1，点D在线段BC1(含端点)上运动，设=BDBC1.(1)
7、当AB平面A1CD时，求实数的值；(2)当平面A1CD平面A1C1D时，求平面A1CD与平面ABB1A1的夹角的正弦值.98(20232023 福建三明 统考三模)如图，平面五边形ABCDE由等边三角形ADE与直角梯形ABCD组成，其中ADBC，ADDC，AD=2BC=2，CD=3，将ADE沿AD折起，使点E到达点M的位置，且BM=a.(1)当a=6 时，证明ADBM并求四棱锥M-ABCD的体积；(2)已知点P为棱CM上靠近点C的三等分点，当a=3时，求平面PBD与平面ABCD夹角的余弦值.109(20232023 河北 统考模拟预测)在圆柱O1O2中，等腰梯形ABCD为底面圆O1的内接四边形
8、，且AD=DC=BC=1，矩形ABFE是该圆柱的轴截面，CG为圆柱的一条母线，CG=1.(1)求证：平面O1CG平面ADE；(2)设DP=DE，0,1，试确定的值，使得直线AP与平面ABG所成角的正弦值为10535.1110(20232023 河北衡水 衡水市第二中学校考三模)如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD，CPCD，CD=2AB=2，AP=AC=AD.(1)证明：平面PBC平面PCD；(2)已知CP=2BC=2，DQ=DP，0,1.若平面ABP与平面ACQ夹角的余弦值为36，求的值.1211(20232023 河北 校联考三模)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线A
9、C,BD交于点O，且PO平面ABCD,OC=1,OD=OP=2,M是PD的中点，N是线段CD上一动点(1)当平面OMN平面PBC时，试确定点N的位置，并说明理由；(2)在(1)的前提下，点Q在直线MN上，以PQ为直径的球的表面积为214以O为原点，OC,OD,OP 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz，求点Q的坐标1312(20232023 河北沧州 校考模拟预测)如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB，AB1A1C，AB1的中点为O，BC的中点为D.(1)证明：OD平面ACC1A1；(2)若ACB=90，AB1=B1C，AC=2BC=4，求平面ACC
10、1A1与平面ABC所成角的大小.1413(20232023 山东济南 校考模拟预测)如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ADCD，四边形CDEF为平行四边形，对角线CE和DF相交于点H，平面CDEF平面ABCD，BC=2AD，DCF=60，G是线段BE上一动点(不含端点)(1)当点G为线段BE的中点时，证明：AG平面CDEF；(2)若AD=1,CD=DE=2，且直线DG与平面CDEF成45角，求二面角E-DG-F的正弦值1514(20232023 山东 山东师范大学附中校考模拟预测)矩形ABCD所在平面与等腰梯形ACEF所在平面互相垂直，EFAC，EF=12AC，直线AF与平面ABCD所成角
11、为60，EF=AB=2.(1)求平面BDE与平面ABCD夹角的余弦值；(2)线段AF上任意一点到平面BDE的距离是否为定值?如果是，则求出定值，否则说明理由1615(20232023 山东菏泽 山东省鄄城县第一中学校考三模)已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，其中AA1=2AC=4,AB=BC,F为BB1的中点，点E是CC1上靠近C1的四等分点，A1F与底面ABC所成角的余弦值为22(1)求证：平面AFC平面A1EF；(2)在线段A1F上是否存在一点N，使得平面AFC与平面NB1C1所成的锐二面角的余弦值为2 77，若存在，确定点N的位置，若不存在，请说明理由1716(20232023 湖北
12、武汉 统考模拟预测)已知图1是由等腰直角三角形ABE和菱形BCDE组成的一个平面图形，其中菱形边长为4，A=90，D=60将三角形ABE沿BE折起，使得平面A1BE平面BCDE(如图2)(1)求证：A1CCD；(2)求二面角B-A1C-D的正弦值1817(20232023 广东佛山 统考模拟预测)如图1，菱形ABCD的边长为2 3，ABC=3，将ABD沿BD向上翻折，得到如图2所示得三棱锥A-BCD.(1)证明：ACBD；(2)若AC=3，在线段BD上是否存在点G，使得平面ACG与平面BCD所成角的余弦值为217？若存在，求出BG；若不存在，请说明理由.1918(20232023 广东佛山 校
13、考模拟预测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，AB=4，PA=PD，E，F分别为BC，PD的中点.(1)求证：EF平面PAB；(2)若PDEF，求二面角F-BE-A的余弦值.2019(20232023 广东深圳 统考二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD,PA=AD=2AB，点M是PD的中点.(1)证明：AMPC；(2)设AC的中点为O，点N在棱PC上(异于点P，C)，且ON=OA，求直线AN与平面ACM所成角的正弦值.2120(20232023 江苏徐州 校考模拟预测)在三棱台ABC-DEF中，G为AC中点，AC=2
14、DF，ABBC，BCCF(1)求证：BC平面DEG；(2)若AB=BC=2，CFAB，平面EFG与平面ACFD所成二面角大小为3，求三棱锥E-DFG的体积2221(20232023 重庆 二模)如图，在圆台OO1中，A1B1,AB分别为上、下底面直径，且A1B1AB，AB=2A1B1，CC1为异于AA1,BB1的一条母线(1)若M为AC的中点，证明：C1M平面ABB1A1；(2)若OO1=3,AB=4,ABC=30，求二面角A-C1C-O的正弦值2322(20232023 广东汕头 金山中学校考模拟预测)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，面AA1C1C面ABC，ACA1=ACB=45，A1
15、C=2BC=4(1)证明：B1C1A1B；(2)若棱台的体积为79 221，AC=7 28A1C，求二面角A1-BC-B1的余弦值2423(20232023 湖北武汉 华中师大一附中校考模拟预测)如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点P在对角线BD1上，ACBD=O，平面ACP平面A1C1D(1)求证：O，P，B1三点共线；(2)若四边形ABCD是边长为2的菱形，BAD=BAA1=DAA1=3，AA1=3，求二面角P-AB-C大小的余弦值2524(20232023 湖北 统考二模)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=2，AB=1，E，F分别为A1C，BB1的中点，且EF平面A
16、A1C1C(1)求棱BC的长度；(2)若BB1A1B1，且A1FC的面积SA1FC=22，求二面角B1-A1F-C的正弦值2625(20232023 山东菏泽 统考二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PDC平面ABCD，PD=PC=2 2，CB=BA=12AD=2，ADCB，BAD=90，E为PD中点.(1)求证：CE面PAB；(2)点Q在棱PA上，设PQ=PA(01)，若二面角P-CD-Q余弦值为1313，求.2726(20232023 江苏 统考三模)如图，三棱锥P-ABC的底面为等腰直角三角形，ABC=90，AB=2D，E分别为AC，BC的中点，PD平面ABC，点M在线段PE上(1)
17、再从条件、四个条件中选择两个作为已知，使得平面MBD平面PBC，并给予证明；(2)在(1)的条件下，求直线BP与平面MBD所成的角的正弦值条件：PD=2；条件：PED=60；条件：PM=3ME：条件：PE=3ME2827(20232023 安徽黄山 屯溪一中校考模拟预测)如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=2BC=8 3，DAB=3，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折为ADE，若F为线段AC的中点在ADE翻折过程中，(1)求证：BF平面ADE；(2)若二面角A-DE-C=60，求AC与面AED所成角的正弦值.2928(20232023 湖南 校联考模拟预测)如图，四棱锥P-ABCD内
18、，PB平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=2，BP=2 3过P的直线l交平面ABCD于正方形ABCD内的点M，且满足平面PAM平面PBM.(1)当ABM6,38时，求点M的轨迹长度；(2)当二面角M-PA-B的余弦值为45时，求二面角P-MA-D的余弦值.3029(20232023 山东潍坊 三模)如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，ABD为底面圆O的内接正三角形，且边长为3，点E在母线PC上，且AE=3,CE=1.(1)求证：直线PO平面BDE；(2)求证：平面BED平面ABD；(3)若点M为线段PO上的动点当直线DM与平面ABE所成角的正弦值最大时，求此时点M到平面ABE的距离.3130(20232023 浙江 校联考模拟预测)在三棱锥P-ABC中，AB=2 2,BC=1,ABBC，直线PA与平面ABC所成角为6，直线PB与平面ABC所成角为3(1)求三棱锥体积的取值范围；(2)当直线PC与平面ABC所成角最小时，求二面角P-AB-C的平面角的余弦值.