《解三角形大题综合--2024届新高考数学题型满分突破含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《解三角形大题综合--2024届新高考数学题型满分突破含答案.pdf（49页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1解三角形大题综合冲刺秘籍冲刺秘籍1.1.正弦定理（1）基本公式：asinA=bsinB=csinC=2R(其中R为ABC外接圆的半径)（2）变形asinA=bsinB=csinC=2R=a+b+csinA+sinB+sinC=a+bsinA+sinB=a+csinA+sinC=b+csinB+sinC2.2.三角形中三个内角的关系A+B+C=sin(B+C)=sinA，cos(B+C)=cosA，tan(B+C)=tanA3.3.余弦定理（1）边的余弦定理a2=b2+c22bccosA，b2=a2+c22accosB，c2=a2+b22abcosC（2）角的余弦定理cosA=b2+c2a22
2、bc，cosB=a2+c2b22ac，cosC=a2+b2c22ab4.4.射影定理a=bcosC+ccosB，b=acosC+ccosA，c=acosB+bcosA5.5.角平分线定理在ABC中，AD为BAC的角平分线，则有ABBD=ACCD6.6.张角定理sinAB+sinAC=sin(+)AD7.7.三角形的面积公式解三角形大题综合-2024届新高考数学题型满分突破2SABC=12ahSABC=12absinC=12acsinB=12bcsinA冲刺训练冲刺训练一、解答题一、解答题1(20232023 湖北武汉 统考模拟预测)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(2b-c)
3、cosA=acosC(1)求A的大小；(2)当b=4 3，a=3 5 时，求ABC的面积2(20232023 山东枣庄 统考三模)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acsinB=b2-a-c2.(1)求sinB；(2)求b2a2+c2的最小值.33(20232023 江苏徐州 校考模拟预测)在ABC中，cos2B-cos2A=2sinBsinC(1)若B=C，求A；(2)设D是BC边上一点，若B=6，cosCAD=45，求SABDSADC4(20232023 福建宁德 校考二模)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且8sin2B+C2-7=2cos2A(1)求A
4、；(2)若a=7，b+c=5，D为BC中点，求AD的长45(20232023 广东梅州 统考三模)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosAsinAsinC+cosBsinBsinC=2cosCsinAsinB.(1)求C；(2)若a=4，b=3，点M，N分别在边CA，CB上，且MN将ABC分成面积相等的两部分，求MN的最小值.6(20232023 辽宁沈阳 东北育才学校校考模拟预测)已知函数y=f x=cos2x-sin2x+12,x0,(1)求 f x的单调增区间;(2)设ABC是锐角三角形，角A、B、C的对边分别为a,b,c,a=19,b=5，若 f A=0，求ABC的
5、面积.57(20232023 海南海口 校考模拟预测)在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，且满足1tanA+1tanB=tanC2.(1)求tanAtanB的值；(2)若cosAcosB=1010,c=6，求ABC的面积S.8(20232023 湖北武汉 统考一模)在ABC中，AB=2，D为AB中点，CD=2.(1)若BC=2，求AC的长；(2)若BAC=2BCD，求AC的长.69(20232023 江苏无锡 校考模拟预测)已知函数 f(x)=32sin2x-3sin2x+32.(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a
6、,b,c，且b+c=3+1,a=1，若 f(A)=32，求ABC的面积.10(20232023 湖北武汉 统考二模)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有2sin B+6=b+ca(1)求角A；(2)若BC边上的高h=34a，求cosBcosC711(20232023 湖北武汉 华中师大一附中校考模拟预测)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且sin A-BcosC=cosBsin A-C(1)判断ABC的形状；(2)若ABC为锐角三角形，且a=1sinB，求b2+a2(ab)2的最大值12(20232023 重庆沙坪坝 重庆一中校考模拟预测)在ABC中，A,B,C的对
7、边为a,b,c，若已如a a-4sinA=b c-4sinC(1)证明：a216sinB c-4sinC；(2)若a2=16sinB c-4sinC，当ABC的面积为S=64 227时，求a的值813(20232023 山西运城 山西省运城中学校校考二模)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b2+c2=3bccosA.(1)若B=C,a=2，求ABC的面积；(2)求tanAtanB+tanAtanC的值.14(20232023 安徽安庆 安徽省桐城中学校考一模)在ABC中，三边a,b,c所对的角分别为A,B,C，已知a=4，cosB+cosAcosCsinBcosC=4 3b(1
8、)若c=2 3，求sinA；(2)若AB边上的中线长为372，求AB的长.915(20232023 江苏南京 南京市第一中学校考模拟预测)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在边AB上，A=4，BD=CD，AD=2.(1)若BD=53b，求c；(2)若a=2 2，求ABC的面积.16(20232023 江苏扬州 统考模拟预测)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin2C=2sin2B-2sin2A(1)求证：c=4acosB；(2)延长BC至点D，使得AD=BD，求CAD的最大值1017(20232023 湖北武汉 华中师大一附中校考模拟预测)ABC中，D,E是
9、边BC上的点，BAD=CAE，且BDBECDCE=13(1)若BC=3，求ABC面积的最大值；(2)若AB=1,BC=2,ABC内是否存在点P，使得ABP=BCP=CAP？若存在，求sinABP；若不存在，说明理由18(20232023 福建厦门 厦门双十中学校考模拟预测)ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的3倍.(1)求sinBsinC；(2)若AD=1,DC=22，求BD和AC的长.1119(20232023 湖北武汉 湖北省武昌实验中学校考模拟预测)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，acosA+C2=bsinA，BD平分ABC交AC于点D，且
10、BD=2,2AD=3CD(1)求B；(2)求ABC的面积20(20232023 全国 模拟预测)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosAcosC=-3a2b+3c，点D是边BC上的一点，且sinBADb+sinCADc=32a(1)求证：AD=a3；(2)若CD=2BD，求cosADC1221(20232023 湖南长沙 统考一模)在锐角ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知sinA-sinB3a-c=sinCa+b(1)求角B的值；(2)若a=2，求ABC的周长的取值范围22(20232023 浙江 统考一模)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
11、已知a+ba+c=sinC-A2sinC+A2(1)若A=4，求B；(2)求ca+cb的取值范围1323(20232023 全国 模拟预测)已知锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinAsinC-1=sin2A-sin2Csin2B，AC.(1)求1cosC+ab的取值范围；(2)若a=2，求三角形ABC面积的取值范围.24(20232023 全国 模拟预测)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2B-cos2A=4 cosC-cos3C(1)若C=3，求A；(2)若ABC为锐角三角形，求ab+b2c2的取值范围1425(20232023 浙江金
12、华 浙江金华第一中学校考模拟预测)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinA=cosB=tanC.(1)求2A+C；(2)证明：cb25a.26(20232023 辽宁鞍山 统考二模)请从asinB-3bcosBcosC=3ccos2B；sinA-sinC2=sin2B-sinAsinC；3bsinA1+cosB=a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(如未作出选择，则按照选择评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，(1)求角B的大小；(2)若ABC为锐角三角形，c=1，求a2+b2的取值范围.1527(20
13、232023 重庆万州 重庆市万州第二高级中学校考三模)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且a+b=2ccosB.(1)求证：C=2B；(2)求a+3bbcosB的最小值.28(20232023 湖南长沙 周南中学校考三模)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，bcosB+ccosC=acosA+3acosBcosC.(1)求tanBtanC；(2)若bc=3，求ABC面积S的最小值.1629(20232023 江苏盐城 统考三模)在ABC中,AD为ABC的角平分线,且AD=2.(1)若BAC=23,AB=3,求ABC的面积;(2)若BD=3,求边AC的取值范围.3
14、0(20232023 全国 学军中学校联考模拟预测)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sin2C2sinAsinB.(1)求a+bc的最大值；(2)求证：在线段AB上恒存在点D，使得ADCD=CDBD.1解三角形大题综合冲刺秘籍冲刺秘籍1.1.正弦定理（1）基本公式：asinA=bsinB=csinC=2R(其中R为ABC外接圆的半径)（2）变形asinA=bsinB=csinC=2R=a+b+csinA+sinB+sinC=a+bsinA+sinB=a+csinA+sinC=b+csinB+sinC2.2.三角形中三个内角的关系A+B+C=sin(B+C)=sinA，cos(
15、B+C)=cosA，tan(B+C)=tanA3.3.余弦定理（1）边的余弦定理a2=b2+c22bccosA，b2=a2+c22accosB，c2=a2+b22abcosC（2）角的余弦定理cosA=b2+c2a22bc，cosB=a2+c2b22ac，cosC=a2+b2c22ab4.4.射影定理a=bcosC+ccosB，b=acosC+ccosA，c=acosB+bcosA5.5.角平分线定理在ABC中，AD为BAC的角平分线，则有ABBD=ACCD6.6.张角定理sinAB+sinAC=sin(+)AD7.7.三角形的面积公式2SABC=12ahSABC=12absinC=12acs
16、inB=12bcsinA冲刺训练冲刺训练一、解答题一、解答题1(20232023 湖北武汉 统考模拟预测)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(2b-c)cosA=acosC(1)求A的大小；(2)当b=4 3，a=3 5 时，求ABC的面积【答案】(1)A=3(2)6 3+9或6 3-9【分析】(1)由正弦边角关系、和角正弦公式可得2sinBcosA=sin(A+C)，结合三角形内角性质可得cosA=12，即可得大小；(2)由余弦定理列方程求c，再应用三角形面积公式求ABC的面积【详解】(1)由(2b-c)cosA=acosC得：2bcosA=acosC+ccosA，2sinB
17、cosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB，sinB0，cosA=12又0A0，所以sinB=45(2)由(1)知cosB=1-sinB2=35，所以b2=a2+c2-65ac，所以b2a2+c2=1-65aca2+c21-65ac2ac=25，当且仅当a=c时等号成立，所以b2a2+c2的最小值为253(20232023 江苏徐州 校考模拟预测)在ABC中，cos2B-cos2A=2sinBsinC(1)若B=C，求A；(2)设D是BC边上一点，若B=6，cosCAD=45，求SABDSADC【答案】(1)A=2(2)4 3-33【分析】(1)根据已知条件及三角
18、形的内角和定理，结合三角函数的诱导公式和降幂公式即可求解；(2)利用二倍角公式及正弦定理，结合余弦定理及同角函数的基本关系，再利用两角差的正弦公式及三角形的面积公式即可求解.【详解】(1)在ABC中，B=C，B=C=-A2，cos2B-cos2A=2sinBsinC，cos(-A)-cos2A=2sin2-A2，即-cosA-cos2A=cosA+1，2cos2A+2cosA=0，cosA=0或cosA=-1，A(0,)，A=2(2)cos2B-cos2A=2sinBsinC，1-2sin2B-(1-2sin2A)=2sinBsinC，4由正弦定理得a2-b2=bc，又由余弦定理得a2=b2+
19、c2-2bccosA，b2+bc=b2+c2-2bccosA，即b=c-2bcosA，sinB=sinC-2sinBcosA=sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)，A,B为ABC内角，A=2BB=6，A=3，C=2，又cosCAD=45，BAD+CAD=3，sinCAD=1-cos2CAD=1-452=35，sinBAD=sin3-CAD=sin3cosCAD-cos3sinCAD=3245-1235=4 3-310，SABDSADC=12ABADsinBAD12ACADsinDAC=sinCsinBADsinBsinDAC=4 3-3101235=4 3-334(202320
20、23 福建宁德 校考二模)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且8sin2B+C2-7=2cos2A(1)求A；(2)若a=7，b+c=5，D为BC中点，求AD的长【答案】(1)A=3(2)192【分析】(1)利用倍角余弦公式化简可得cosA=12，结合0A，即可求解；(2)利用余弦定理可得bc=6，再根据AD 2=12(AB+AC)2=14(AB 2+AC 2+2AB AC)即可求解.【详解】(1)8sin2B+C2-7=2cos2A，即4 1-cos(B+C)-7=2(2cos2A-1)，化简得4cos2A-4cosA+1=0，解得cosA=12，因为0A0，所以cosC=1
21、2，又C 0,，所以C=3.(2)因为a=4，b=3，所以ABC的面积为124332=3 3所以CMN的面积为3 32.设CM=m，CN=n，所以34mn=3 32，即mn=6，由余弦定理知MN=m2+n2-2mncos3=m2+n2-mn mn=6，当且仅当m=n时等号成立.所以MN的最小值为6.6(20232023 辽宁沈阳 东北育才学校校考模拟预测)已知函数y=f x=cos2x-sin2x+12,x60,(1)求 f x的单调增区间;(2)设ABC是锐角三角形，角A、B、C的对边分别为a,b,c,a=19,b=5，若 f A=0，求ABC的面积.【答案】(1)2,(2)SABC=15
22、34【分析】(1)先结合二倍角公式进行化简，然后结合余弦函数的单调性可求；(2)由已知先求出A，然后结合余弦定理求出c，再由三角形面积公式可求【详解】(1)f(x)=cos2x-sin2x+12=cos2x+12，令+2k2x2+2k，kZ，解得2+kx+k，kZ，取k=0，则2x故函数在x 0,的单调递增区间为2,(2)由 f A=cos2A+12=0，可得cos2A=-12，因为A 0,2，可得2A(0,)，可得2A=23，故A=3，因为a=19，b=5，由余弦定理得cosA=12=25+c2-1925c，解得c=2或c=3，由于cosB=19+c2-252 19c0c26，故c=2舍去，
23、只取c=3，当c=3时，S=12bcsinA=125332=15 347(20232023 海南海口 校考模拟预测)在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，且满足1tanA+1tanB=tanC2.(1)求tanAtanB的值；(2)若cosAcosB=1010,c=6，求ABC的面积S.【答案】(1)2(2)12【分析】(1)将1tanA+1tanB=tanC2通分，结合两角和的正切公式即可求解；7(2)由(1)切化弦可求出sinAsinB，由两角和与差的余弦公式得cosC，进而求得sinC，再根据正弦定理结合三角形面积公式即可求解.【详解】(1)由1tanA+1tanB=ta
24、nC2可得，tanA+tanBtanAtanB=-tan(A+B)2=-12tanA+tanB1-tanAtanB，因为tanA+tanB0，所以可得1tanAtanB=-1211-tanAtanB，解得tanAtanB=2.(2)由(1)知tanAtanB=2，所以sinAsinBcosAcosB=2，又因为cosAcosB=1010，所以sinAsinB=105，所以cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=1010-105=-1010，即cosC=1010，又C 0,，所以sinC=1-cos2C=3 1010，由正弦定理可得，asinA=bsinB=csinC=63 101
25、0=2 10，所以a=2 10sinA,b=2 10sinB，所以ab=2 10sinA2 10sinB=40sinAsinB=8 10，所以ABC的面积S=12absinC=128 10 3 1010=12.8(20232023 湖北武汉 统考一模)在ABC中，AB=2，D为AB中点，CD=2.(1)若BC=2，求AC的长；(2)若BAC=2BCD，求AC的长.【答案】(1)2(2)-1+172【分析】(1)在BDC中，由余弦定理求得cosBDC，即可得cosADC，在ADC中利用余弦定理即可求得答案；(2)设AC=x,BC=y，由正弦定理求得sinBACsinBCD=2yx，结合cosBC
26、D=y2+2-12 2y，以及BAC=2BCD，可推出2y2=x y2+1，再由cosADC=-cosBDC，推出x2+y2=6，联立解方程可得答案.【详解】(1)在BDC中，cosBDC=BD2+CD2-BC22BDCD=1+2-2212=24，8则cosADC=-cosBDC=-24，在ADC中，AC2=AD2+CD2-2ADCDcosADC=1+2-2 2 -24=4，所以AC=2.(2)设AC=x,BC=y，在ADC和BDC中，由正弦定理得，2sinBAC=xsinADC,1sinBCD=ysinBDC，又sinADC=sinBDC，得sinBACsinBCD=2yx，在BDC中，co
27、sBCD=y2+2-12 2y，由BAC=2BCD，有sinBAC=2sinBCDcosBCD，所以2yx=2y2+2-12 2y，整理得：2y2=x y2+1，又由cosADC=-cosBDC,1+2-x22 2=-1+2-y22 2，整理得：x2+y2=6，联立得，x3-2x2-7x+12=0，即 x-3x2+x-4=0.，解得x=3或x=-1172，又2-1x2+1，故x=-1+172，所以AC=-1+172.9(20232023 江苏无锡 校考模拟预测)已知函数 f(x)=32sin2x-3sin2x+32.(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)在ABC中，内角A,B
28、,C所对的边分别是a,b,c，且b+c=3+1,a=1，若 f(A)=32，求ABC的面积.【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为 k-512,k+12,kZ.(2)34【分析】(1)根据二倍角公式和辅助角公式化简函数，结合正弦函数的周期与单调性求解即可；(2)根据 f(A)=32求出A=6，根据余弦定理得到b2+c2=1+3bc，利用b+c=3+1平方，结合三角形面积公式求解即可.（公众号：慧博高中数学最新试题）【详解】(1)f(x)=32sin2x-3sin2x+32=32sin2x+32cos2x=3sin 2x+3，9所以函数 f(x)的最小正周期为.令2k-22x+32k+2,k
29、Z，得k-512xk+12,kZ，故函数 f(x)的单调递增区间为 k-512,k+12,kZ.(2)由 f(A)=32，得sin 2A+3=32，由0A得32A+373，所以2A+3=23，得A=6.由余弦定理得b2+c2-a22bc=cosA=32，即b2+c2=1+3bc，因为b+c=3+1，所以 b+c2=b2+c2+2bc=4+2 3，从而有(2+3)bc=3+2 3=3(2+3)，得bc=3，则SABC=12bcsin6=123 12=3410(20232023 湖北武汉 统考二模)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有2sin B+6=b+ca(1)求角A；(2)
30、若BC边上的高h=34a，求cosBcosC【答案】(1)A=3(2)cosBcosC=-18【分析】(1)利用三角形内角和、正弦定理和三角恒等变换化简可得.(2)利用三角形面积公式和正弦定理可得.【详解】(1)(1)由题意得：2sin B+6=sinB+sinCsinA，则(3sinB+cosB)sinA=sinB+sinAcosB+sinBcosA，有3sinA=1+cosA，即2sin A-6=1，因为A 0,所以A=3(2)(2)由SABC=12ah=12bcsinA，则38a2=34bc，所以a2=2bc，有sin2A=2sinBsinC，则sinBsinC=38，又cosA=-co
31、s(B+C)=sinBsinC-cosBcosC=12，则cosBcosC=-1811(20232023 湖北武汉 华中师大一附中校考模拟预测)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且sin A-BcosC=cosBsin A-C(1)判断ABC的形状；10(2)若ABC为锐角三角形，且a=1sinB，求b2+a2(ab)2的最大值【答案】(1)直角三角形或等腰三角形(2)2516【分析】(1)利用三角恒等变换对原式进行化简，可得cosA=0或sin C-B=0，根据角的范围即可求解；(2)由a=1sinB结合正弦定理可得a2+b2a2b2=sin2B+sin2A，通过锐角三角形可得到4
32、B2，令t=sin2B，故sin2B+sin2A=-4 t-582+2516，根据二次函数的性质即可求得最大值【详解】(1)由题意：sinAcosB-cosAsinBcosC=cosB sinAcosC-cosAsinC，整理得cosA cosBsinC-sinBcosC=cosAsin C-B=0，故cosA=0或sin C-B=0，因为0A,-C-B，所以A=2或B=C，ABC为直角三角形或等腰三角形(2)由正弦定理asinA=bsinB得asinB=bsinA=1，b=1sinA,a2+b2a2b2=1b2+1a2=sin2B+sin2A，又B=C,A+B+C=，sin2B+sin2A=
33、sin2B+sin2-2B=sin2B+4sin2Bcos2B，因为ABC为锐角三角形，所以0B20A=-2B2，解得4B0，所以sinC=3cosC，即tanC=3，因为C(0,)，所以C=3，由正弦定理的asinA=csinC且c=2 3，可得sinA=asinCc=4322 3=1.(2)解：设AB边上的中线为CD，则2CD=CA+CB，所以4 CD 2=(CA+CB)2=b2+a2+2abcosC，因为AB边上的中线长为372，可得37=b2+16+4b，整理得b2+4b-21=0，解得b=3或b=-7(舍去)，所以AB=c=a2+b2-2abcosC=16+9-24312=13.13
34、15(20232023 江苏南京 南京市第一中学校考模拟预测)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在边AB上，A=4，BD=CD，AD=2.(1)若BD=53b，求c；(2)若a=2 2，求ABC的面积.【答案】(1)c=2+10 或c=2+102(2)4或3-3.【分析】(1)根据题意，由余弦定理可得b，从而求得BD，即可得到结果；(2)根据题意，由正弦定理化简得cos=sin34-2，再由正弦定理即可得到c，结合三角形的面积公式即可得到结果.【详解】(1)在ACD中A=4，AD=2，CD=BD=53b，由余弦定理得，CD2=AD2+AC2-2ADACcosA=22+b2-4
35、bcos4=4+b2-2 2b53b2=4+b2-2 2b，化简得2b2-9 2b+18=0，解得b=3 2，或b=3 22.BD=53b=533 2=10，或BD=53b=533 22=102.c=AB=AD+BD=2+10，或c=AB=AD+BD=2+102，综上可得c=2+10，或c=2+102.(2)在BCD中BD=CD，设B=BCD=，则BDC=-2，a=2 2，由正弦定理得asin2=CDsin，CD=2cos.14在ACD中，ADC=2，ACD=34-2，由正弦定理得ADsinACD=CDsinA，即2sin34-2=2cossin4.化简得cos=sin34-2sin2-=si
36、n34-2，02，02-2，-434-20，可知cosB0，所以角B为锐角，在ABC中，由正弦定理得：sinC=4sinAcosB，15又因为sinC=sin A+B=sinAcosB+cosAsinB=4sinAcosB，整理得cosAsinB=3sinAcosB，由于cosA0,sinB0,sinA0，则cosAsinB=3sinAcosB0，可得cosB0，所以角A为锐角，可得tanB=3tanA，因为AD=BD，则B=BAD=A+CAD，所以CAD=B-A可得tanCAD=tan B-A=tanB-tanA1+tanBtanA，又因为tanB=3tanA,A 0,2，则tanA0，可得
37、tanCAD=2tanA1+3tan2A=21tanA+3tanA221tanA3tanA=33，当且仅当1tanA=3tanA，即tanA=33,A=6时，等号成立，所以DAC的最大值为617(20232023 湖北武汉 华中师大一附中校考模拟预测)ABC中，D,E是边BC上的点，BAD=CAE，且BDBECDCE=13(1)若BC=3，求ABC面积的最大值；(2)若AB=1,BC=2,ABC内是否存在点P，使得ABP=BCP=CAP？若存在，求sinABP；若不存在，说明理由【答案】(1)9 34(2)P存在，sinABP=5719【分析】(1)根据条件结合三角形面积公式可得ABAC=13
38、，建立平面直角坐标系，从而可得A在一个定圆上运动变化，从而可求ABC的BC边上的高的最大值，故可得面积的最大值；(2)根据题设条件可判断该三角形为直角三角形，设ABP=，法一：利用正弦定理和两角差的正弦公式可得tan，从而得sinABP，法二：利用正弦定理得CP=2 3sin，利用余弦定理可求得tan，从而得sinABP.【详解】(1)由面积公式可得：16SABDSADC=BDCD=12ADABsinBAD12ADACsinCAD=ABsinBADACsinCAD，SABESAEC=BECE=12AEABsinBAE12AEACsinCAE=ABsinBAEACsinCAE，因为BAD=CAE
39、，故CAD=BAE，由BDBECDCE=13可得ABsinBADACsinCADABsinBAEACsinCAE=13即ABAC=13，建立如图所示的平面直角坐标系，则B 0,0,C 3,0，设A x,y，则(x-3)2+y2=3 x2+y2，整理得到：x+322+y2=274，即点A的轨迹是以-32,0圆心，3 32为半径的圆，故ABC的BC边上的高的最大值为3 32，故其面积的最大值为9 34.(2)因为AB=1,ABAC=13，故AC=3，又BC=2，故AC2+AB2=4=BC2，故ABC为直角三角形，且ABC=60,ACB=30，假设ABC内存在点P，使得ABP=BCP=CAP，法一：
40、如图，设ABP=BCP=CAP=，则ACP=30-,APC=150,APB=90，故AP=sin，在APC中，由正弦定理可得ACsinAPC=APsinACP，即3sin150=sinsin 30-，故312cos-32sin=12sin，故tan=34，17因为为锐角，故sin=319=5719，故P存在且sinABP=5719法二：如图，设ABP=，则CBP=60-，故CPB=120，同理PCA=30-,APC=150,APB=90，故PB=1cos=cos，而3sinAPC=CPsin，故CP=2 3sin，在PBC中，由余弦定理可得：4=cos2+12sin2-2cos2 3sin-1
41、2，整理得到：4=cos2+12sin2+2 3cossin，所以4cos2+4sin2=cos2+12sin2+2 3cossin，整理得到：3=8tan2+2 3tan，解得tan=-32或tan=34，但为锐角，故tan=34，故sin=319=5719，故P存在且sinABP=571918(20232023 福建厦门 厦门双十中学校考模拟预测)ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的3倍.(1)求sinBsinC；(2)若AD=1,DC=22，求BD和AC的长.【答案】(1)13(2)BD=322，AC=306【分析】(1)利用三角形面积之间的关系，结合正弦定
42、理可得结果；（公众号：慧博高中数学最新试题）(2)利用三角形角平分线定理可求得BD；设AC=x，则AB=3x，由ADB+ADC=，知cosADB=-cosADC，由余弦定理得到cosADB和cosADC，建立方程求解即可得AC.【详解】(1)SABD=12ABADsinBAD,SACD=12ACADsinCAD，SABD=3SACD,BAD=CAD,AB=3AC，由正弦定理可知sinBsinC=ACAB=13.(2)BDDC=ABAC=3,DC=22，BD=322.设AC=x，则AB=3x，在ABD与ACD中，由余弦定理可知，18cosADB=AD2+BD2-AB22ADBD=112-9x23
43、 2，cosADC=AD2+CD2-AC22ADCD=32-x22，ADB+ADC=,cosADB=-cosADC,112-9x23 2=-32-x22，解得x=306，即AC=306.19(20232023 湖北武汉 湖北省武昌实验中学校考模拟预测)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，acosA+C2=bsinA，BD平分ABC交AC于点D，且BD=2,2AD=3CD(1)求B；(2)求ABC的面积【答案】(1)23(2)25 36【分析】(1)利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简可求得结果，(2)由角平分线的性质结合已知可得3a=2c，再由正
44、弦定理和三角函数恒等变换公式可得cosA=43sinA，结合sin2A+cos2A=1可求出sinA，然后在ABD中利用正弦定理可得CD，从而可求得b，在ABC中利用余弦定理得53192=a2+c2-ac，解方程组可求出a,c，进而可求出ABC的面积.【详解】(1)因为acosA+C2=bsinA，所以acos-B2=asinB2=bsinA，所以由正弦定理得sinAsinB2=sinBsinA=2sinB2cosB2sinA，因为A,B 0,，所以cosB2=12，因为B2 0,2，所以B2=3，所以B=23.(2)因为BD平分ABC交AC于点D，且BD=2,2AD=3CD，所以ADCD=3
45、2=ca，即3a=2c，所以sinCsinA=sin3-AsinA=32，2sin3-A=3sinA，所以2sin3cosA-2cos3sinA=3sinA，3cosA=4sinA，所以cosA=43sinA，19因为sin2A+cos2A=1，所以sin2A+163sin2A=1，得sin2A=319，因为A 0,3，所以sinA=319，在ABD中由正弦定理得ADsinABD=BDsinA，得AD=BDsinABDsinA=232319=19，所以CD=2319，所以b=AD+CD=5319,在ABC中由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，得53192=a2+c2+ac，由解得a=
46、103,c=5，所以ABC的面积为SABC=12acsinB=12103532=25 36.20(20232023 全国 模拟预测)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosAcosC=-3a2b+3c，点D是边BC上的一点，且sinBADb+sinCADc=32a(1)求证：AD=a3；(2)若CD=2BD，求cosADC【答案】(1)详见解析；(2)1314【分析】(1)先利用余弦定理由cosAcosC=-3a2b+3c得到A=56，再利用正弦定理由sinBADb+sinCADc=32a即可求得AD=a3；(2)先利用余弦定理求得c=3ba=7b，进而利用余弦定理求得cosA
47、DC=1314【详解】(1)在ABC中，cosAcosC=-3a2b+3c，则b2+c2-a22bc2aba2+b2-c2=-3a2b+3c整理得b2+c2-a2=-3bc，则cosA=b2+c2-a22bc=-3220又0A，则A=56在ACD中，由正弦定理得sinCADCD=sinCAD，则sinCAD=CDsinCAD在BAD中，由正弦定理得sinBADBD=sinBAD，则sinBAD=BDsinBAD则sinBADb+sinCADc=BDsinBADb+CDsinCADc=BDsinAADa+CDsinAADa=BD+CD12ADa=a12ADa=12AD=32a则AD=a3(2)由
48、CD=2BD，可得CD=23a,BD=13a，又AD=a3则cosADC=23a2+13a2-b2213a23a,cosADB=13a2+13a2-c2213a13a由cosADC+cosADB=0可得23a2+13a2-b2213a23a+13a2+13a2-c2213a13a=0，解之得a2-b2=2c2又A=56，则a2=b2+c2+3bc，由a2-b2=2c2a2=b2+c2+3bc，可得c=3ba=7b 则cosADC=23a2+13a2-b2213a23a=597b2-b2497b2=131421(20232023 湖南长沙 统考一模)在锐角ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a
49、，b，c，已知sinA-sinB3a-c=sinCa+b(1)求角B的值；(2)若a=2，求ABC的周长的取值范围【答案】(1)6(2)3+3,2+2 3【分析】(1)根据正弦定理得到a2+c2-b2=3ac，再利用余弦定理求出B=6；21(2)根据正弦定理得到b=1sinA,c=3sinA+cosAsinA，从而得到b+c=3+1tanA+1tan2A+1，求出A3,2，得到1tanA 0,33，b+c 1+3,2 3，从而求出周长的取值范围.【详解】(1)sinA-sinB3a-c=sinCa+b，由正弦定理得：a-b3a-c=ca+b，即a2+c2-b2=3ac，由余弦定理得：cosB=
50、a2+c2-b22ac=3ac2ac=32，因为B 0,，所以B=6；(2)锐角ABC中，a=2，B=6，由正弦定理得：2sinA=bsin6=csinC，故b=1sinA,c=2sinCsinA=2sin A+6sinA=3sinA+cosAsinA，则b+c=3sinA+cosA+1sinA=3+1+1cosAtanA=3+1+1+tan2AtanA=3+1tanA+1tan2A+1，因为锐角ABC中，B=6，则A 0,2，C=-6-A 0,2，解得：A3,2，故tanA3,+，1tanA 0,33，则1tan2A+1 1,2 33,3+1tanA+1tan2A+1 1+3,2 3，故b+