《专题04 向量运算的坐标表示-【计算训练】2024年高考数学计算题型精练系列（新高考通用版）含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题04 向量运算的坐标表示-【计算训练】2024年高考数学计算题型精练系列（新高考通用版）含答案.pdf（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、向量运算的坐标表示1若向量1,1a ，2,3b，7,3c (1)cabrrr，求的值；(2)若kab与c共线，求 k 的值2已知向量3 2,1，abx.(1)若22abab，求实数x的值；(2)若8,1,/cabc，求向量a与b的夹角.3向量cos23,cos67a，向量cos68,cos22b(1)求a b；(2)若向量b与向量m共线，uam，求u的模的最小值4已知向量2,1a，3,0b，4,1c(1)求与a垂直的单位向量e的坐标；(2)若/2akcba，求实数k的值5已知2,3a ，4,2b(1)求ab，ab；(2)求23ab6已知1,0,2,1ab.(1)当 k 为何值时，kab与2ab
2、共线?(2)若AB=23ab，BC=amb 且 A，B，C 三点共线，求 m 的值.7已知1sincos,2cos,2sin,sin2.2axxbx(1)若),4(3c 且,0,4x时，a与c的夹角为钝角，求cos的取值范围；(2)若3，函数 f xa b，求 f x的最小值.8已知平面向量1,2a，0,1b，ac，且3b c专题04 向量运算的坐标表示-【计算训练】2024年高考数学计算题型精练系列（新高考通用版）(1)求c的坐标；(2)求向量ac在向量b上的投影向量的模9已知向量1,1a，2,0b.(1)求2ba；(2)求a与2ba的夹角.10已知向量cos,sinaxx，1,2 3b(1
3、)若3x，求b在a上的投影向量的模长；(2)若akbakb，求实数k的值11设a，b是两个不共线的向量(1)若(1,3)a ，(2,1)b，求,a b；(2)若()(3)abab，求的值12已知1,1,0,2ab当k为何值时，(1)kab与ab共线；(2)3akb与ab的夹角为9013（1）已知单位向量a、b的夹角为45，kab与a垂直，求k；（2）已知向量1,2a，2,2b，1,c，若/2cab，求.14已知向量2,1,1,2,3,4abc，求：(1)若cmanb求mn；(2)若kabc，求k的值15已知向量(1,2)a ，(1,4)b(1)若(2)()kabab，求 k 的值；(2)若(2
4、)(3)kabba，求 k 的值16已知平面向量1,2a r，3,2b (1)b在a方向上的投影向量；(2)当 k 为何值时，kab与3ab垂直17已知向量1,0a，2,1b r，(1)当实数k为何值时，向量kab与3ab共线(2)当实数k为何值时，向量kab与3ab垂直18已知向量(2,),(3,2),(3,1)at t bc，Rt.(1)求1t 时，求2ab的值；(2)若ba与c共线，求,a c 夹角19已知向量7,1a，1,3b.(1)求a与b夹角的余弦值；(2)若2abab，求的值.20设平面三点 A（-2，1），B（4，-1），C（2，3）(1)若ABCD ，试求 D 点的坐标；(2
5、)试求向量AB 与AC的夹角余弦值；21已知a，b是同一平面内的两个向量，其中(1,2)a，且|5b(1)若ab，求b的坐标；(2)若|2|abab，求a与b夹角22设 A，B，C，D 为平面内的四点，且(1,3),(2,2),(4,1)ABC.(1)若ABCD ，求 D 点的坐标；(2)设向量,aAB bBC，若向量kab与3ab平行，求实数 k 的值.23已知,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,3)a r(1)若|4c r，且ac，求c的坐标；(2)若|1b，且2ab与2ab垂直，求a与b的夹角24已知向量(cos,sin)a，(cos,sin)b，2 55ab，求cos()的
6、值.25设向量2,0,1,3.ab(1)求与ab垂直的单位向量；(2)若向量tab与向量atb的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围.26已知非零向量1e和2e 不共线.(1)若12ABee ，1228BCee ，123CDee ，求证：A，B，D 三点共线；(2)若向量12kee 与向量12ekeu ru r平行，求实数 k 的值.27已知平面向量1,2,3,2ab(1)若2cab，且5c，求c的坐标；(2)若a与ab的夹角为锐角，求实数的取值范围28已知向量1,2a、0,3b.(1)求a与b的数量积.(2)求a与b的夹角的余弦值.29已知向量(2,2)a ，(2,1)b，(2,1)c，tR(
7、1)若|3atb，求t的值；(2)若atb与c垂直，求t的值30已知向量(1,2),(3,2)ab(1)已知5c 且/ca，求c(2)已知|10c，且2acc，求向量a与向量c的夹角向量运算的坐标表示1若向量1,1a ，2,3b，7,3c (1)cabrrr，求的值；(2)若kab与c共线，求 k 的值【答案】(1)1(2)32k 【详解】（1）因cabrrr，即7,31,12,32,3 ，所以2733 ，解得32 ，故1；（2）因kab与c共线，1,12,32,3kabkkk ，7,3c ，所以 2337kk ，故32k 2已知向量3 2,1，abx.(1)若22abab，求实数x的值；(2
8、)若8,1,/cabc，求向量a与b的夹角.【答案】(1)6x 或32x .(2)4【详解】（1）已知=3,2,=,1abx，所以232,0,26,5abxabx.又因为22abab，所以有 220ababrrrr，所以3260 50 xx，解得6x 或32x .（2）因为8,1c ，所以8,2bcx.又/abc，所以32280 x ，解得5x，所以=5,1b.所以22223 52 12cos=2|325+1a bab ，因为0，所以4.3向量cos23,cos67a，向量cos68,cos22b(1)求a b；(2)若向量b与向量m共线，uam，求u的模的最小值【答案】(1)22(2)22【
9、详解】（1）cos23 cos68cos67 cos22cos23 cos68sin23 sin68cos(6823)a b 2cos452；（2）由题设mb且R，则(cos23cos68,cos67cos22)uabsin67sin22,cos67cos22，所以222|(sin67sin22)(cos67cos22)12(sin67 sin22cos67 cos22)u222121()22，当22 时，min2|2u.4已知向量2,1a，3,0b，4,1c(1)求与a垂直的单位向量e的坐标；(2)若/2akcba，求实数k的值【答案】(1)5 2 5,55e或52 5,55(2)13k 【
10、详解】（1）设与a垂直的单位向量,ex y，则22120 xyxy，解得：552 55xy或552 55xy ，5 2 5,55e或52 5,55.（2）24,1akckk，21,2ba，又/2akcba，2 241kk ，解得：13k .5已知2,3a ，4,2b(1)求ab，ab；(2)求23ab【答案】(1)2,5；6,1(2)4 13【详解】（1）由2,3a ，4,2b，所以 2,34,22,5ab，2,34,26,1ab （2）由2,3a ，4,2b，则2322,334,28,12ab ，所以22238124 13ab6已知1,0,2,1ab.(1)当 k 为何值时，kab与2ab共
11、线?(2)若AB=23ab，BC=amb 且 A，B，C 三点共线，求 m 的值.【答案】(1)k=12(2)m=32【详解】（1）由题可得，1,02,12,1kabkk；21 02 2 15 2,ab.因为kab与2ab共线，则1221502kk ；（2）因为 A，B，C 三点共线，a与b不共线，所以存在实数，使得AB=BC(R)，即23abamb，整理得8 32,m m，所以283mmm=32.7已知1sincos,2cos,2sin,sin2.2axxbx(1)若),4(3c 且,0,4x时，a与c的夹角为钝角，求cos的取值范围；(2)若3，函数 f xa b，求 f x的最小值.【答
12、案】(1)2 22 2 3 2(1,)(,)338；(2)162.【详解】（1）当 4x 时，2,2cosa，a与c的夹角为钝角，于是0a c ，且a与c不共线，则 3 28cos0a c ，解得3 2cos8，又0,，即cos1,1，则有3 21cos8，又当a与c共线时，4 26cos0，解得2 2cos3，因此a与c不共线时，2 2cos3，所以cos的取值范围是2 22 2 3 2(1,)(,)338.（2）依题意，当3时，1sincos,1(3,sin2)2f xa bxxx 13sin3cossin23(sincos)sincos2xxxxxxx，令sincos2sin()2,24
13、txxx，则21sin cos2txx，于是 221133222tf xtt，而函数21322yt在2,2t 上为增函数，则当2t 时，y 有最小值162，所以 f x的最小值为16.28已知平面向量1,2a，0,1b，ac，且3b c(1)求c的坐标；(2)求向量ac在向量b上的投影向量的模【答案】(1)6,3(2)5【详解】（1）设,cx y，因为ac，所以20 xy，又3b cy，解得6x，=3y，所以6,3c；（2）5,5ac，所以5acb，则向量ac在向量b上的投影向量的模为5acbb；综上，6,3c，向量ac在向量b上的投影向量的模为 5.9已知向量1,1a，2,0b.(1)求2b
14、a；(2)求a与2ba的夹角.【答案】(1)2(2)34【详解】（1）因为向量1,1a，2,0b，所以20,2ba，则22ba（2）222cos,22222abaa baa ba，所以a与2ba的夹角为34.10已知向量cos,sinaxx，1,2 3b(1)若3x，求b在a上的投影向量的模长；(2)若akbakb，求实数k的值【答案】(1)72(2)1313k 【详解】（1）由题意得当3x 时,13(,)22a,则13712 3222a b ，1a，所以b在a上的投影向量的模为77212a ba（2）由22sincos1axx，213b，由akbakb，得 2220akbakbak b，即2
15、1 130k，解得1313k 11设a，b是两个不共线的向量(1)若(1,3)a ，(2,1)b，求,a b；(2)若()(3)abab，求的值【答案】(1)3,4a b (2)3【详解】（1）因为52cos,2|105a ba ba b ，又向量夹角范围为0,，所以3,4a b .（2）因为()(3)abab，设(3)abab，为实数，即3abab，则31，即23，解得3 12已知1,1,0,2ab当k为何值时，(1)kab与ab共线；(2)3akb与ab的夹角为90【答案】(1)1(2)0【详解】（1）因为1,1,0,2ab，所以 1,10,21,1ab，1,10,2,2kabkk k，由
16、kab与ab共线，则20kk，所以1k .（2）因为1,1ab，3(3,3)(0,2)(3,32)akbkk，因为3akb与ab的夹角为90，所以0(3)()akbab，得到3(32)0k，所以0k.13（1）已知单位向量a、b的夹角为45，kab与a垂直，求k；（2）已知向量1,2a，2,2b，1,c，若/2cab，求.【答案】（1）22；（2）12【详解】（1）因为单位向量a、b的夹角为45，所以2cos1452212a bab ，又kab与a垂直，所以0kaba，即20kab a，即22102k，解得22k；（2）因为1,2a，2,2b，所以 22 1,22,24,2ab，又1,c且/2
17、cab，所以41 2，解得12.14已知向量2,1,1,2,3,4abc，求：(1)若cmanb求mn；(2)若kabc，求k的值【答案】(1)1(2)2【详解】（1）因为2,1,1,2,3,4abc，所以(2,)mamm，(,2)nbnn，所以(2,2)manbmnmn，又因为cmanb，所以2324mnmn，解得2,1mn，所以1mn.（2）因为2,1,1,2,3,4abc，所以(21,2)kabkk，又kabc，所以(21)(4)3(2)0kk ，即5100k，所以2k .15已知向量(1,2)a ，(1,4)b(1)若(2)()kabab，求 k 的值；(2)若(2)(3)kabba，
18、求 k 的值【答案】(1)32k ；(2)23k 【详解】（1）由已知2(2,82)kabkk，(2,2)ab，(2)()kabab，2(22)2(82)0kk，解得32k ；（2）3(4,2)ba，(2)(3)kabba，4(2)2(84)0kk，解得23k 16已知平面向量1,2a r，3,2b (1)b在a方向上的投影向量；(2)当 k 为何值时，kab与3ab垂直【答案】(1)72,55(2)2313k【详解】（1）b在a方向上的投影向量72cos,55aa baba baaa .（2）kab与3ab垂直，3,22kabkk，310,8ab，30kabab，即1038 220kk，解得
19、2313k 17已知向量1,0a，2,1b r，(1)当实数k为何值时，向量kab与3ab共线(2)当实数k为何值时，向量kab与3ab垂直【答案】(1)13k (2)177k【详解】（1）=(1,0)(2,1)=(2,1)kab kk，3=(1,0)+3(2,1)=(7,3)ab，向量kab与3ab共线，所以(2)3(1)7k ，所以13k .（2）=(1,0)(2,1)=(2,1)kab kk，3=(1,0)+3(2,1)=(7,3)ab，向量kab与3ab垂直，所以7(2)+3(1)=0k ，解得177k.18已知向量(2,),(3,2),(3,1)at t bc，Rt.(1)求1t 时
20、，求2ab的值；(2)若ba与c共线，求,a c 夹角【答案】(1)41(2)4【详解】（1）(2,),(3,2),(3,1)at t bc，当1t 时，2,1a r，22,123,2(4,5)ab，22|2|4541ab.（2）(32,2)batt ，且与c共线(32)(1)3(2)tt ，解得35t，6 3,5 5a所以2222633255cos,2633155a ca ca c ，,0,a c ，所以,a c 夹角为4.19已知向量7,1a，1,3b.(1)求a与b夹角的余弦值；(2)若2abab，求的值.【答案】(1)55(2)37【详解】（1）解：由向量7,1a，1,3b，可得5 2
21、a，10b 且7 1 1 310a b ，所以a与b夹角的余弦值105cos,55 210a ba ba b .（2）解：由2abab，可得 222(21)250(21)102 100ababaa bb ，即70300，解得37.20设平面三点 A（-2，1），B（4，-1），C（2，3）(1)若ABCD ，试求 D 点的坐标；(2)试求向量AB 与AC的夹角余弦值；【答案】(1)8,1(2)22【详解】（1）设,D x y，则6,2,2,3ABCDxy ，因为ABCD ，所以2632xy，解得81xy所以 D 点的坐标为8,1.（2）由（1）知6,2AB ，又4,2AC，所以2442cos,
22、24020AB ACAB ACAB AC ，故向量AB 与AC的夹角余弦值为22.21已知a，b是同一平面内的两个向量，其中(1,2)a，且|5b(1)若ab，求b的坐标；(2)若|2|abab，求a与b夹角【答案】(1)(2,1)b 或(2,1)b (2)3【详解】（1）设(,)bx y因为ab，(1,2)a，所以0a b即20 xy 又因为|5b，所以225xy 解之得2x 时，1y 或2x 时，1y，所以(2,1)b 或(2,1)b （2）记a与b夹角为因为|2|abab，所以22()(2)abab，则2222244aba baba b，即22a bb，所以221cos2|2|a bba
23、 bb，又因为0,，所以322设 A，B，C，D 为平面内的四点，且(1,3),(2,2),(4,1)ABC.(1)若ABCD ，求 D 点的坐标；(2)设向量,aAB bBC，若向量kab与3ab平行，求实数 k 的值.【答案】(1)4(5,)D；(2)13.【详解】（1）设(,)D x y，因为ABCD ，于是(2,2)(1,3)(,)(4,1)x y，整理得(1,5)(4,1)xy，即有4115xy ，解得54xy，所以4(5,)D.（2）因为(1,5),(4,1)(2,2)(2,3)aABbBCruu u rruu u r，所以(1,5)(2,3)(2,53)kabkkkrr，3(1,
24、5)3(2,3)(7,4)abrr，因为向量kab与3ab平行，因此7(53)4(2)0kk，解得13k ，所以实数 k 的值为13.23已知,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,3)a r(1)若|4c r，且ac，求c的坐标；(2)若|1b，且2ab与2ab垂直，求a与b的夹角【答案】(1)2,2 3c 或2,2 3c (2)【详解】（1）解：设,cx y，因为4c，224xy，即2216xy，由ac，得30yx，由，得22 3xy 或22 3xy，故2,2 3c 或2,2 3c ；（2）解：因为2ab与2ab垂直，所以(2)abrr(2)0abrr，即222320aa bb，又
25、|2a，|1b，所以2 432 10a b ，整理得2a b，故cos1a bab，又0,，所以24已知向量(cos,sin)a，(cos,sin)b，2 55ab，求cos()的值.【答案】35【详解】(cos,sin)a，(cos,sin)b，)cos,sins(cosinab，22(coscos)(sinsin)ab2222cos2coscoscossin2sinsinsin22cos()a2 55，522cos(4)a，3cos()5.25设向量2,0,1,3.ab(1)求与ab垂直的单位向量；(2)若向量tab与向量atb的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围.【答案】(1)13,22
26、或13,22(2)32,11,32【详解】（1）由已知 2,01,33,3ab，设与ab垂直的单位向量为ex,y则223301xyxy，解得1232xy 或1232xy 即与ab垂直的单位向量为13,22或13,22；（2）由已知222a bab，所以22221282tabatbtata btbtt，因为向量tab与向量atb的夹角为钝角，所以20 2820tabatbtt，解得3232t，又因为向量tab不与向量atb反向共线，设0tabk atbk，则21t233tkkt 从而11kt 或11kt（舍去），所以解得 32,11,32.t 26已知非零向量1e和2e 不共线.(1)若12AB
27、ee ，1228BCee ，123CDee ，求证：A，B，D 三点共线；(2)若向量12kee 与向量12ekeu ru r平行，求实数 k 的值.【答案】(1)证明见解析(2)1k 【详解】（1）12121228355BDBCCDeeeeee ，又12ABee ，5ABBD ，A，B，D 三点共线；（2）向量12kee 与向量12ekeu ru r平行，存在实数使121212keeekeeke ，1kk，解得1k .27已知平面向量1,2,3,2ab(1)若2cab，且5c，求c的坐标；(2)若a与ab的夹角为锐角，求实数的取值范围【答案】(1)2,1或2,1(2)5,00,7【详解】（1
28、）由1,2,3,2ab，所以 22,43,21,2ab ，设,cx y，因为2cab，所以220cabxy ，因为5c，所以225xy，解得21xy ，或21xy，所以c的坐标为2,1或2,1.（2）由1,2,3,2ab，所以 1,23,21 3,22ab，因为a与ab的夹角为锐角，所以0aab且a与ab不共线，1 32 2202 1 322，解得57且0，即实数的取值范围为5,00,7.28已知向量1,2a、0,3b.(1)求a与b的数量积.(2)求a与b的夹角的余弦值.【答案】(1)6(2)2 55【详解】（1）因为1,2a，0,3b，所以0 1236a b .（2）因为1,2a，0,3b
29、，所以22125a，3b，所以62 5cos,53 5a ba bab.29已知向量(2,2)a ，(2,1)b，(2,1)c，tR(1)若|3atb，求t的值；(2)若atb与c垂直，求t的值【答案】(1)1t 或15t (2)2t【详解】（1）因为(2,2)a ，(2,1)b，所以(2,2)(2,1)(22,2)atbttt ，又|3atb，所以222|(22)(2)5483atbtttt，即25410tt，解得1t 或15t （2）因为(2,2)a ，(2,1)b，所以(2,2)(2,1)(22,2)atbttt ，又atb与c垂直，(2,1)c，所以(22)2(2)(1)0tt ，解得2t 30已知向量(1,2),(3,2)ab(1)已知5c 且/ca，求c(2)已知|10c，且2acc，求向量a与向量c的夹角【答案】(1)(5,2 5)c 或(5,2 5)(2)34【详解】（1）由/ca，所以设,2ca 又5c 得22425，解得5，所以(5,2 5)c 或(5,2 5).（2）由题知，(1,2)a，10c，2acc，所以|5a，20ac c 所以220a cc 所以22cos,|0a ca cc 所以2510cos,100a c 所以2cos,2a c 因为,0,a c 所以向量a与向量c的夹角为34.