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1、电路分析简明教程电路分析简明教程 4-6 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率 有关功率和能量的基本概念已在第一章讨论过，但是，在正弦稳态电路中，由于通常包含有电感、电容储能元件，所以，其功率计算要比电阻电路的功率计算复杂，需要引入一些新的概念。正弦交流电路的负载一般可等效为一无源二端网络，如右图所示。设该无源二端网络中含有R、L、C元件，端口上的电流 i 和电压u分别为 为简化，设 ，而 ，则上两式可写为电路分析简明教程电路分析简明教程式中的 是电压与电流的相位差角，亦即二端网络等效 阻抗的阻抗角，随电路的性质不同，可正、可负，也可能为零。在无源二端网络中，。一、正弦稳态电路的功率一、正弦稳
2、态电路的功率 1、瞬时功率 电路在某一瞬时吸收或发出的功率称为瞬时功率，用小写字母p表示。当图示无源二端网络u和i的参考方向一致时，瞬时功率为 p=ui=Usin(t+)Isint =UIcos -cos(2t+)它时而为正，时而为负。为正表示二端网络吸收功率，为负表示释放功率，这是网络内部存在储能元件所致。电路分析简明教程电路分析简明教程 2、平均功率和功率因数 瞬时功率在工程中实用价值不大。通常电路中的功率是指瞬时功率在一个周期内的平均值，称为平均功率，亦称为有功功率，用大写字母P表示，它的单位是瓦（W），毫瓦（mW），千瓦（kW）。一般交流用电设备的铭牌上标的功率值都是指平均功率。无源二
3、端网络的平均功率为式中，称为功率因数；称为功率因数角，前已述 是电压与电流的相位差角，亦即二端网络等效 阻抗的阻抗角，由于在无源二端网络中，故1cos 0。本式是计算正弦稳态电路平均功率的一般公式，亦适用于单个元件平均功率的计算。电路分析简明教程电路分析简明教程该式和直流电阻电路中的功率表达式完全一样。P=UIcos 90=0说明电感元件不消耗功率，所以电感不是耗能元件，而是储能元件。P=UIcos(-90)=0所以电容元件也不消耗功率，不是耗能元件，而是储能元件。当二端网络中只含有电感元件或等效为一个电感，即 时，则 当二端网络中只含有电容元件或等效为一个电容，即 时，则 P=UIcos 0
4、=UI=当二端网络中只含有电阻元件或等效为一个电阻，即 时，则电路分析简明教程电路分析简明教程 根据能量守恒原理，无源二端网络所吸收的总平均功率P应为各支路吸收的平均功率之和，而各支路只有电阻元件的平均功率不等于零，故无源二端网络的平均功率是网络中各电阻元件吸收的平均功率的总和，即 式中，Rk为二端网络中第k个电阻元件的电阻，Ik是通过其中的电流。当无源二端网络中各元件参数已知时，该式经常被用来计算其平均功率。平均功率不仅与电压、电流的有效值乘积有关，而且与两者的相位差角 的余弦(即功率因数cos )有关，这是交流和直流的很大区别,主要由于电压、电流存在相位差。电路分析简明教程电路分析简明教程
5、 3、无功功率 无源二端网络中，无功功率的定义式为 Q=UIsin90=UI=0Q=UIsin它的量纲与平均功率相同，为区别起见，它的单位为乏（var）及千乏（kvar）。该式是计算正弦稳态电路无功功率的一般公式，亦适用于单个元件无功功率的计算。当二端网络中只含有电感元件或等效为一个电感，即 时，则 Q=UIsin 0=0 当二端网络中只含有电阻元件或等效为一个电阻，即 时，则电路分析简明教程电路分析简明教程 Q=UIsin(-90)=-UI=-0无功功率存在的原因是无源二端网络中含有储能元件，于是在无源二端网络与电源之间就产生能量交换。无功功率用来度量此能量交换的规模。可以证明，无源二端网络
6、的无功功率等于各储能元件无功功率的代数和，即 当二端网络中只含有电容元件或等效为一个电容，即 时，则 可以推论，对于感性电路（0），Q0；对于容性电路（0）Q0；所以，习惯上常把电感看作“消耗”无功功率，而把电容看作“产生”无功功率。电路分析简明教程电路分析简明教程 式中，XLk为二端网络中第k个电感元件的感抗，ILk是通过其中的电流；XCk二端网络中第k个电容元件的容抗，ICk是通过其中的电流。当无源二端网络中各元件参数已知时，该式经常被用来计算其无功功率。在电工技术中，把电压有效值和电流有效值的乘积称为视在功率，用大写字母S表示，即 4、视在功率和额定容量 S=UI 视在功率的单位为伏安（
7、VA）及千伏安（kVA）。交流发电机、变压器等电气设备是按照额定电压UN和额定电流IN设计的，两者的乘积，即额定视在功率用来表示其额定容量，它说明了该电气设备允许提供的最大平均功率。电气设备的容量电路分析简明教程电路分析简明教程平均功率P、无功功率Q及视在功率S之间的关系为：故 可见，可以用一个直角三角形来描述它们之间的关系，如右上图所示，该三角形称为功率三角形。以上得出的各个功率计算式，不仅适用于无源二端网络，也适用于单个电路元件或任何一段电路。功率三角形电路分析简明教程电路分析简明教程 解法一解法一 根据一般公式计算 先计算 =223.6/63.43故=0.55/90A 例例 在图所示电路
8、中，已知R=100，L=0.4H，C=5F，电源电压u=220 sintV，=500rad/s，求电源发出的平均功率、无功功率和视在功率。电路分析简明教程电路分析简明教程=0.984/-63.43A 则 S=UI=2200.55VA=121VA所以 P=UIcos =2200.55cos36.87=96.8W Q=UIsin =2200.55sin36.87=72.6var =0.55/-36.87A=(0.55/90+0.984/-63.43)A而 =0-(-36.87)=36.87电路分析简明教程电路分析简明教程 解法二解法二 根据能量守恒原理计算 P=RI22=1000.9842=96.
9、8W Q=QL+QC=XLI22-XCI12=(2000.98422-4000.5522)var =72.6var当无源二端网络中各元件参数已知时，这些式子经常被用来计算P、Q、S电路分析简明教程电路分析简明教程三、电路功率因数的提高三、电路功率因数的提高 电路功率因数低带来的问题：功率因数越低，输出线路上的功率损耗就越大，线路上的电压降也越大。因为当电源电压U和输送的有功功率P为定值时，电源输出的电流I=P/Ucos ，设备不能被充分利用。电源设备在额定容量SN下，究竟向电路提供多大的有功功率，还要由电路的功率因数决定。例如，容量为1000 kVA的发电机，当电路的cos =1时，发电机发出
10、1000kW的有功功率；当电路的cos =0.85时，发出850 kW的有功功率。可见，对于同一电源设备，电路的功率因数越低，输出的有功功率就越小，其容量就不能被充分利用。电路分析简明教程电路分析简明教程 可见，为了提高电源设备的利用率和减少输电线 路的损耗，有必要提高电路的功率因数。电路的功率因数低的原因，往往是由于电路中的负载多数是功率因数较低的电感性负载，例如，交流异步电动机的功率因数cos =0.40.85。一般采用电容（该电容称为补偿电容）与电感性负载并联的办法来提高电路的功率因数。首先分析，电感性负载用串联的R、L来代表，如下图(a)所示在并联电容后，为什么能提高电路的功率因数？显
11、然，cos 越低，电流I越大，则线路损耗的电功率 越大（R为线路电阻），线路上的电压降也越大。电路分析简明教程电路分析简明教程 在右图(a)所示电路中，未接电容之前，电路输入端电流 ，它滞后于电压 ，其相位差为 ，如右图(b)所示。(a)并联电容提高功率因数 (b)说明提高功率 因数的相量图 电路输入端电流减小的原因是电感性负载所需的无功功率，有一部分改为由电容器就地供给，而从电源输送来的无功功率减小。输入端电流 ，因为超前电压 90，相量相加，结果IQ，则知电容就地供给负载的无功功率 下面讨论，在电感性负载的功率P和功率因数cos 已知条件下，将电路的功率因数提高到cos 时，需要并联多大的
12、电容。电路分析简明教程电路分析简明教程 将 代入上式，可得出所需并联电容 一般并联电容时，不必将功率因数提高到1，因为这样做将增加电容设备的投资，而功率因数的改善并不显著。通常将功率因数提高到0.9左右即可。当电路的功率因数补偿到1后，若再增大电容，这时功率因数反而会下降。注意：并联电容后，原负载两端的电压、通过负载的电流和吸收的有功功率、无功功率均不变，即：负载的工作状态不变。但电路的功率因数提高了。QC=QL-Q=Ptg -Ptg电路分析简明教程电路分析简明教程 例例 一台单相异步电动机的输入功率为2kW，功率因数cos =0.6（电感性），接在有效值为220V、频率为50Hz的电源上。(
13、1)求电源供给的电流和无功功率。(2)如果采用电容补偿，要把功率因数提高到0.9(电感性)，问需要并联多大的电容？这时电源供给的电流及无功功率又是多少？解解(1)当cos =0.6时，电源供给的电流为 =arccos0.6=53.1电源供给的无功功率为 Q=UIsin =22015.2sin53.1var=2675var电路分析简明教程电路分析简明教程 补偿后电源供给的电流及无功功率为 Q=UIsin =22010.1sin25.8var=967var故=arccos0.9=25.8(2)采用电容补偿后可见，补偿后电源供给的电流及无功功率均减少了。电路分析简明教程电路分析简明教程 四四、正、正
14、弦稳态电路的最大功率传输弦稳态电路的最大功率传输 设电路如右图所示，负载阻抗ZL=RL+jXL；交流电源的电压为 ，其内阻抗为Zs=Rs+jXs，和Zs亦可视为线性有源二端网络的戴维南等效电路的参数。在直流电阻电路中，负载从具有内阻的直流电源获得最大功率的条件已在2-7中讨论过。本节讨论在正弦稳态电路中，负载从具有内阻抗的交流电源获得最大功率的条件。由右图所示电路可知，电路中的电流有效值电路分析简明教程电路分析简明教程则负载获得的功率为 如果RL和XL均可以独立变化，而其他参数不变时，则负载获得的最大功率的条件可由下式求得，即解得即或共轭匹配电路分析简明教程电路分析简明教程上式是负载获得最大功
15、率的条件，即负载阻抗与电源内阻抗互为共轭复数时，负载获得的功率最大。这就是通称的最大功率传输定理，也就是负载阻抗与电源内阻抗的匹配状态，这种匹配称为“共轭匹配”。此时，负载获得的最大功率为 在无线电工程中，往往要求实现共轭匹配，使信号源（电源）输出最大功率，即使负载获得最大功率。电路分析简明教程电路分析简明教程 (a)原电路(b)戴维宁等效电路 解解 先运用戴维南定理求出从右图(a)电路a、b端向左看进去的戴维宁等效电路，如图(b)所示，其中 例例 正弦稳态电路如右图(a)所示，若要使ZL获得最大功率，ZL应为何值？最大功率是多少？戴维宁等效电路电路分析简明教程电路分析简明教程ZL获得的最大功率为 为了使ZL获得最大功率，ZL应与 共轭匹配，即