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1、7.1空间点、直线、平面之间 的位置关系基础落实回扣基础知识训练基础题目题型突破典题深度剖析重点多维探究课时精练内容索引INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.四个公理、三个推论公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.公理3：经过 的三点，有且只有一个平面.推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 .知识梳理
2、两点不在同一条直线上平行2.空间两条直线的位置关系(1)位置关系的分类分类：共面直线 直线 直线异面直线：不同在 一个平面内，没有公共点定理：过平面内的一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线.(2)异面直线所成的角定义：设a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线aa，bb，把直线a与b所成的 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).平行相交任何锐角(或直角)范围：.定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.3.直线与平面的位置关系有 、_ 三种情况.4.平面与平面的位置关系有 、两种情况.直线在平面内直线与平面相交直线与平行相交平面平
3、行1.分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？提示不一定.因为异面直线不同在任何一个平面内.分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交.2.空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等吗？提示不一定.如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补.概念方法微思考题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.()(2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线.()(3)没有公共点的两条直线是异面直线.()(4)若a，b是两条直线，是两个平面，且a，b，则a，b是异面直
4、线.()基础自测题组二教材改编2.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为A.30 B.45C.60 D.90解析连结B1D1，D1C(图略)，则B1D1EF，故D1B1C即为所求的角.又B1D1B1CD1C，B1D1C为等边三角形，D1B1C60.3.如图，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为菱形；ACBD解析四边形EFGH为菱形，EFEH，ACBD.(2)当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为正方形.ACBD且ACBD解析四边形E
5、FGH为正方形，EFEH且EFEH，ACBD且ACBD.题组三易错自纠4.(2019上海市金山中学月考)设直线l与平面平行，直线m在平面上，那么A.直线l不平行于直线m B.直线l与直线m异面C.直线l与直线m没有公共点 D.直线l与直线m不垂直解析直线l与平面平行，由线面平行的定义可知：直线l与平面无公共点，又直线m在平面上，直线l与直线m没有公共点，故选C.5.已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是A.相交或平行 B.相交或异面C.平行或异面 D.相交、平行或异面解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面.6.如图为正方体表面的
6、一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为_.3解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行.故互为异面直线的有且只有3对.典题深度剖析重点多维探究题型突破平面基本性质的应用例1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；题型一师生共研证明如图，连结EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E，C
7、，D1，F四点共面.(2)CE，D1F，DA三线共点.证明EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示.则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA，CE，D1F，DA三线共点.思维升华SI WEI SHENG HUA共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.证两平面重合.(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.直接证明这些点都在同一条特定直线上.(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证
8、其他直线经过该点.跟踪训练1如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12.(1)求证：E，F，G，H四点共面；证明E，F分别为AB，AD的中点，EFBD.GHBD，EFGH.E，F，G，H四点共面.(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线.证明EGFHP，PEG，EG平面ABC，P平面ABC.同理P平面ADC.P为平面ABC与平面ADC的公共点.又平面ABC平面ADCAC，PAC，P，A，C三点共线.例2(1)(多选)是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m，n，且Am，A，则m，n的位置关系可能是A.垂直 B.
9、相交C.异面 D.平行判断空间两直线的位置关系题型二师生共研解析依题意，mA，n，m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.(2)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E2ED，CF2FA，则EF与BD1的位置关系是A.相交但不垂直 B.相交且垂直C.异面 D.平行解析连结D1E并延长，与AD交于点M，由A1E2ED，可得M为AD的中点，连结BF并延长，交AD于点N，因为CF2FA，可得N为AD的中点，空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.异面直线的判定可采用直接法或反证法；平行直线的判定可利用三角形(梯形)中位线的性质、
10、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系的判定往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.思维升华SI WEI SHENG HUA跟踪训练2(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是A.l与l1，l2都不相交B.l与l1，l2都相交C.l至多与l1，l2中的一条相交D.l至少与l1，l2中的一条相交解析由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交.故选D.(2)(多选)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，下列说法正确的有A.直线AM与CC1是相交直线
11、B.直线AM与BN是平行直线C.直线BN与MB1是异面直线 D.直线AM与DD1是异面直线解析因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故A错；取DD1的中点E，连结AE(图略)，则BNAE，但AE与AM相交，故B错；因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故C正确；同理D正确，故选CD.求两条异面直线所成的角题型三师生共研例3(2020南通模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，则异面
12、直线A1B与AD1所成角的余弦值为解析连结BC1，易证BC1AD1，则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.引申探究AB1，AA1t.用平移法求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角.(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角.(3)三求：解三角形，求出所作的角.思维升华SI WEI SHENG HUA跟踪训练3(2019西安质检)将正方形ABCD沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，直线AB与CD所成的角为A.90 B.60 C.45 D.30解析如图，取AC，BD，AD的中点，分别为O，M，N，则ONCD，MNAB，因为平面ABC
13、垂直于平面ACD，平面ABC平面ACDAC，BOAC，AC平面ACD，所以BO平面ACD，所以BOOD.所以ONM或其补角即为所求的角.所以BD2，所以ONMNOM1.所以OMN是等边三角形，ONM60.所以直线AB与CD所成的角为60.故选B.课 时 精 练1.四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为A.4 B.3 C.2 D.1123456789 10 11 12 13 14 15 16基础保分练解析首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面.2.已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的A.充分不必要条件 B.必
14、要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件123456789 10 11 12 13 14 15 16解析若直线a和直线b相交，则平面和平面相交；若平面和平面相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.123456789 10 11 12 13 14 15 163.(2020秦皇岛模拟)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C.若ab，则a，b与c所成的角相等D.若ab，bc，则ac解析若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，
15、则a，c相交、平行或异面；若ab，bc，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确.故选C.4.如图所示，平面平面l，A，B，ABlD，C，Cl，则平面ABC与平面的交线是A.直线ACB.直线ABC.直线CDD.直线BC解析由题意知，Dl，l，所以D，又因为DAB，所以D平面ABC，所以点D在平面ABC与平面的交线上.又因为C平面ABC，C，所以点C在平面与平面ABC的交线上，所以平面ABC平面CD.123456789 10 11 12 13 14 15 16123456789 10 11 12 13 14 15 165.如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1
16、的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是A.A，M，O三点共线 B.A，M，O，A1不共面C.A，M，C，O不共面 D.B，B1，O，M共面解析连结A1C1，AC(图略)，则A1C1AC，A1，C1，A，C四点共面，A1C平面ACC1A1，又M平面AB1D1，同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.A，M，O三点共线.MA1C，M平面ACC1A1，M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，123456789 10 11 12 13 14 15 166.(2019海南联考)在四棱锥PABCD中，所有侧棱长都为 ，底面是边长为 的正方形，O是P在平面ABCD内的
17、射影，M是PC的中点，则异面直线OP与BM所成角为A.30 B.45 C.60 D.90解析如图，由题意可知O是正方形ABCD的中心，取N为OC的中点，连结MN，所以OPMN，则BMN是异面直线OP与BM所成的角.因为OP平面ABCD，所以MN平面ABCD，则异面直线OP与BM所成的角为60.故选C.123456789 10 11 12 13 14 15 167.(多选)如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，下列四个命题中，正确的命题是A.BM与ED平行 B.CN与BE是异面直线C.CN与BM成60角 D.DM与BN垂直解析由题意画出正方体的图形如图，显然AB不正确；ANC60，即CN与B
18、M成60角，C正确；因为BCDM，CNDM，BCCNC，BC，CN平面BCN，所以DM平面BCN，又BN平面BCN，所以DMBN，所以D正确.故选CD.123456789 10 11 12 13 14 15 16123456789 10 11 12 13 14 15 168.(多选)关于正方体ABCDA1B1C1D1有如下四个说法，其中正确的说法是A.若点P在直线BC1上运动时，三棱锥AD1PC的体积不变B.若点P是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则P点 的轨迹是直线A1D1C.若点P在线段BC1(含端点)上运动时，直线AP与DC所成角 的范围为D.若点P在线段BC1(含端点)
19、上运动时，直线AP与D1C所成的角一定是锐角解析对于A，由BC1AD1，可得BC1平面AD1C，则P到平面AD1C的距离不变，由AD1C的面积为定值，可知点P在直线BC1上运动时，三棱锥AD1PC的体积不变，故A正确；对于B，若点P是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则P点的轨迹是平面A1BCD1与平面A1B1C1D1的交线A1D1，故B正确；对于C，直线AP与DC所成角即为PAB，所以其中说法正确的是A，B.123456789 10 11 12 13 14 15 169.正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有_条.123456789 10 11 12 13 14 1
20、5 166解析如图，在正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有BB1，DD1，A1B1，A1D1，D1C1，B1C1，共6条.10.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为_.123456789 10 11 12 13 14 15 16解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连结C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以ADBC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1DAD.因为
21、圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，123456789 10 11 12 13 14 15 1611.如图所示，A是BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点.(1)求证：直线EF与BD是异面直线；123456789 10 11 12 13 14 15 16证明假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是BCD所在平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.(2)若ACBD，ACBD，求EF与BD所成的角.123456789 10 11 12 13 14 15 16解取CD的中点G，连结EG，FG，则A
22、CFG，EGBD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角.又因为ACBD，则FGEG.即异面直线EF与BD所成的角为45.12.如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点.已知BAC ，AB2，AC ，PA2.求：(1)三棱锥PABC的体积；123456789 10 11 12 13 14 15 16123456789 10 11 12 13 14 15 16(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.解如图，取PB的中点E，连结DE，AE，则EDBC，所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角.123456789 10 11 12 13 14 15
23、1613.(2019湖南省长沙市湖南师范大学附属中学模拟)已知平面平面直线l，点A，C，点B，D，且A，B，C，Dl，点M，N分别是线段AB，CD的中点，则下列说法正确的是A.当|CD|2|AB|时，M，N不可能重合B.M，N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C.当直线AB，CD相交，且ACl时，BD可与l相交D.当直线AB，CD异面时，MN可能与l平行技能提升练解析A选项：当|CD|2|AB|时，若A，B，C，D四点共面且ACBD时，则M，N两点能重合，可知A错误；B选项：若M，N可能重合，则ACBD，故ACl，此时直线AC与直线l不可能相交，可知B正确；C选项：当AB与CD相交，直线A
24、Cl时，直线BD与l平行，可知C错误；D选项：当AB与CD是异面直线时，MN不可能与l平行，可知D错误.故选B.123456789 10 11 12 13 14 15 1614.平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为123456789 10 11 12 13 14 15 16解析如图所示，设平面CB1D1平面ABCDm1，平面CB1D1，则m1m，又平面ABCD平面A1B1C1D1，平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1，B1D1m，同理可得CD1n.故m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成
25、角的大小相等，即CD1B1的大小.又B1CB1D1CD1(均为面对角线)，123456789 10 11 12 13 14 15 16123456789 10 11 12 13 14 15 16拓展冲刺练解析如图所示，将PB平移到EB1的位置，C1点在以D为圆心，半径为1的圆上运动.则B1EC1就是所求线线角，根据三角形中，大角对大边，EB1，EC1为定值，故最值由B1C1来确定，故当C1在C处线线角最小，在C2处线线角最大.123456789 10 11 12 13 14 15 16123456789 10 11 12 13 14 15 1616.如图所示，三棱柱ABCA1B1C1的底面是边
26、长为2的正三角形，侧棱A1A底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC2FB2.(1)当点M在何位置时，BM平面AEF?123456789 10 11 12 13 14 15 16解方法一如图所示，取AE的中点O，连结OF，过点O作OMAC于点M.因为ECAC，OM，EC平面ACC1A1，所以OMEC.又因为EC2FB2，ECFB，所以四边形OMBF为矩形，BMOF.因为OF平面AEF，BM平面AEF，故BM平面AEF，此时点M为AC的中点.方法二如图所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连结PQ，PB，BQ.因为EC2FB2，所以四边形PEFB为平行四边形，
27、所以PBEF，PQAE，又AE，EF平面AEF，PQ，PB平面AEF，所以PQ平面AFE，PB平面AEF，因为PBPQP，PB，PQ平面PBQ，又因为BQ平面PBQ，所以BQ平面AEF.故点Q即为所求的点M，所以PEBF且PEBF，所以平面PBQ平面AEF.此时点M为AC的中点.123456789 10 11 12 13 14 15 16123456789 10 11 12 13 14 15 16(2)若BM平面AEF，判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦值.解由(1)知，BM与EF异面，OFE(或MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角.2023/11/2858谢谢观赏勤能补拙，学有成就！