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1、1 / 10【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第七篇立体几何与精选高考数学大一轮复习第七篇立体几何与空间向量第空间向量第 3 3 节空间点直线平面之间的位置关系习题理节空间点直线平面之间的位置关系习题理【选题明细表】知识点、方法题号平面的基本性质3,6,14 点、线、面的位置关系1,4,5,11 异面直线所成的角2,7,8,9,10,12,13基础对点练(时间:30 分钟)1.(2016黑龙江大庆高三月考)下列说法正确的是( D )(A)若 a,b,则 a 与 b 是异面直线(B)若 a 与 b 异面,b 与 c 异面,则 a 与 c 异面(C)若 a,b 不同在平面 内,
2、则 a 与 b 异面(D)若 a,b 不同在任何一个平面内,则 a 与 b 异面解析:由异面直线的定义可知选 D.2.空间四边形两对角线的长分别为 6 和 8,所成的角为 45,连接各边中点所得四边形的面积是( A )(A)6 (B)12(C)12 (D)24解析: 如图,已知空间四边形 ABCD,对角线 AC=6,BD=8,易证四边形EFGH 为平行四边形,EFG 或FGH 为 AC 与 BD 所成的 45角,故S 四边形 EFGH=34sin 45=6,故选 A.3.若直线上有两个点在平面外,则( D )2 / 10(A)直线上至少有一个点在平面内(B)直线上有无穷多个点在平面内(C)直线
3、上所有点都在平面外(D)直线上至多有一个点在平面内解析:根据题意,两点确定一条直线,那么由于直线上有两个点在平面外,则直线在平面外,只能是直线与平面相交,或者直线与平面平行,那么可知直线上至多有一个点在平面内.选 D.4. (2016淄博实验阶段测试)如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M,N 分别是棱 C1D1,C1C 的中点.给出以下四个结论:直线 AM 与直线 C1C 相交;直线 AM 与直线 BN 平行;直线 AM 与直线 DD1 异面;直线 BN 与直线 MB1 异面.其中正确结论的序号为( B )(A)(B)(C)(D)解析:AM 与 C1C 异面,故错;AM 与 B
4、N 异面,故错;,正确.5.(2016福州质检)已知命题 p:a,b 为异面直线,命题 q:直线 a,b不相交,则 p 是 q 的( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件3 / 10解析:若直线 a,b 不相交,则 a,b 平行或异面,所以 p 是 q 的充分不必要条件,故选 A.6. 如图,ABCDA1B1C1D1 是长方体,O 是 B1D1 的中点,直线 A1C 交平面AB1D1 于点 M,则下列结论正确的是( A )(A)A,M,O 三点共线(B)A,M,O,A1 不共面(C)A,M,C,O 不共面(D)B,B1,O,M 共面解析:
5、连接 A1C1,AC,则 A1C1AC,所以 A1,C1,C,A 四点共面,所以A1C平面 ACC1A1,因为 MA1C,所以 M平面 ACC1A1,又 M平面AB1D1,所以 M 在平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的交线上,同理 O 在平面ACC1A1 与平面 AB1D1 的交线上,所以 A,M,O 三点共线.7.(2016洛阳一模)已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,AA1=2AB,则 CD与平面 BDC1 所成角的正弦值等于( A )(A)(B)(C)(D)解析: 如图所示,因为 BD平面 ACC1A1,所以平面 ACC1A1平面BDC1.在 RtCC1O 中,过 C 作
6、 CHC1O 于 H,连接 DH,则CDH 即为所求.令 AB=a,显然 CH=a,所以 sin CDH=,4 / 10即 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值为.8. (2016揭阳模拟)如图所示,在正三棱柱 ABCA1B1C1 中,D 是 AC的中点,AA1AB=1,则异面直线 AB1 与 BD 所成的角为 . 解析:如图,取 A1C1 的中点 D1,连接 B1D1,因为 D 是 AC 的中点,所以 B1D1BD,所以AB1D1 即为异面直线 AB1与 BD 所成的角.连接 AD1,设 AB=a,则 AA1=a,所以 AB1=a,B1D1=a,AD1=a.所以,在AB1D1 中,由余弦定
7、理得cos AB1D1=,所以AB1D1=60.答案:609. 如图所示,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,ACB=90,AA1=2,AC=BC=1,则异面直线 A1B 与 AC 所成角的余弦值是 . 解析:由于 ACA1C1,所以BA1C1(或其补角)就是所求异面直线所成的角.在BA1C1 中,A1B=,A1C1=1,BC1=,cos BA1C1=.5 / 10答案:能力提升练(时间:15 分钟)10.导学号 18702358 三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1 与 AC,AB 所成的角均为 60,BAC=90,且 AB=AC=AA1,则 A1B 与 AC1 所成角的正弦值为( D
8、)(A)1(B)(C)(D)解析: 如图所示,把三棱柱补成四棱柱 ABDCA1B1D1C1,连接 BD1,则BD1AC1,则A1BD1 就是异面直线 A1B 与 AC1 所成的角,设 AB=a,在A1BD1 中,A1B=a,BD1=a,A1D1=a,所以 sin A1BD1=.11.(2016福建六校联考)设 a,b,c 是空间中的三条直线,下面给出四个命题:若 ab,bc,则 ac;若 ab,bc,则 ac;若 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 相交;若 a平面 ,b平面 ,则 a,b 一定是异面直线.上述命题中正确的命题是 (写出所有正确命题的序号). 解析:由公理 4
9、知正确;当 ab,bc 时,a 与 c 可以相交、平行或异面,故错;当 a 与 b 相交,b 与 c 相交时,a 与 c 可以相交、平行,也可以异面,故错;a,b,并不能说明 a 与 b“不同在任何一个平面内”,故错.6 / 10答案:12.(2015四川卷) 如图,四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点 M 在线段 PQ 上,E,F 分别为 AB,BC 的中点.设异面直线 EM 与 AF 所成的角为 ,则 cos 的最大值为 .解析:如图,建立空间直角坐标系 Axyz,设 AB=2,QM=m(0m2),则 F(2,1,0),E(1,0,0),M(0,m,2)
10、,=(2,1,0),=(1,-m,-2),cos =|cos|=|=|=.设 y=(0m2),则 y=.当 0m2 时,y0,7 / 10所以 y=在0,2上单调递减.所以当 m=0 时,y 取最大值,此时 cos 取最大值,(cos )max=.答案:13. 导学号 18702359 已知三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱长和底面边长均为 2,A1 在底面 ABC 内的射影 O 为底面ABC 的中心,如图所示.(1)连接 BC1,求异面直线 AA1 与 BC1 所成角的大小;(2)连接 A1C,A1B,求三棱锥 C1BCA1 的体积.解:(1)连接 AO,并延长与 BC 交于点 D,则 D
11、是 BC 边上的中点.因为点 O 是正ABC 的中心,且 A1O平面 ABC,所以 BCAD,BCA1O.因为 ADA1O=O,所以 BC平面 ADA1.所以 BCAA1.又 AA1CC1,所以异面直线 AA1 与 BC1 所成的角为BC1C.因为 CC1BC,BC=CC1=B1C1=BB1=2,即四边形 BCC1B1 为正方形,所以异面直线 AA1 与 BC1 所成角的大小为.(2)因为三棱柱的所有棱长都为 2,8 / 10所以可求得 AD=,AO=AD=,A1O=.所以=SABCA1O=2,=-=.所以=.14.导学号 18702361 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F
12、分别为D1C1,C1B1 的中点,ACBD=P,A1C1EF=Q.求证:(1)D,B,E,F 四点共面;(2)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点,则 P,Q,R 三点共线.证明:(1) 如图所示,因为 EF 是D1B1C1 的中位线,所以 EFB1D1.在正方体 AC1 中,B1D1BD,所以 EFBD.所以 EF,BD 确定一个平面.即 D,B,F,E 四点共面.(2)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,设平面 A1ACC1 确定的平面为 ,又设平面 BDEF 为 .因为 QA1C1,所以 Q.又 QEF,所以 Q.则 Q 是 与 的公共点,同理,P 点也是 与 的公共点.9 /
13、 10所以 =PQ.又 A1C=R,所以 RA1C,R 且 R.则 RPQ,故 P,Q,R 三点共线.好题天天练1. 导学号 18702362 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 BC1,CD1 的中点,则下列判断正确的是 .(填所有正确结论的序号) MN 与 CC1 垂直;MN 与 AC 垂直;MN 与 BD 平行;MN 与 A1B1 平行.解题关键:连接 B1C,则点 M 是 B1C 的中点,根据三角形的中位线,证明 MNB1D1.解析: 连接 B1C,B1D1,则点 M 是 B1C 的中点,MN 是B1CD1 的中位线,所以 MNB1D1,因为 CC1B1D1,ACB1D1,BDB1D1,所以 MNCC1,MNAC,MNBD,故正确.又因为 A1B1 与 B1D1 相交,所以 MN 与 A1B1 不平行,因此错误.答案:2. 一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:ABEF;10 / 10AB 与 CM 所成的角为 60;EF 与 MN 是异面直线;MNCD.以上四个结论中,正确结论的序号是 . 解题关键:把平面展开图还原为正方体,观察正方体进行判断.解析: 把正方体的平面展开图还原成原来的正方体, 如图所示,则ABEF,EF 与 MN 为异面直线,ABCM,MNCD,故正确.答案: