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1、课堂达标(三十六) 空间点、直线、平面之间的位置关系A根底稳固练1如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，那么这四个点不共面的一个图是()解析A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面答案D2(2022广西名校联考)m，l是直线，是平面，给出以下命题：假设l垂直于，那么l垂直于内的所有直线，假设l平行于，那么l平行于内的所有直线假设l，且l，那么假设m，l，且，那么ml其中正确的命题的个数是()A4B3C2D1解析对于，由线面垂直的定义可知正确；对于，假设l平行于内的所有直线，根据平行公理可得：内的所有直线都互相平行，显然是错误的，故错误；对于，根据面面垂直的判定定理可知正确；
2、对于，假设m，l，且，那么直线l与m无公共点，l与m平行或异面，故错误；应选C.答案C3空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为45，连接各边中点所得四边形的面积是()A6 B12C12 D24解析如图，空间四边形ABCD，设对角线AC6，BD8，易证四边形EFGH为平行四边形，EFG或FGH为AC与BD所成的45角，故S四边形EFGH34sin 456，应选A. 答案A4(2022浙江金丽衢十二校二联)a，b，c为三条不同的直线，且a平面，b平面，c.假设a与b是异面直线，那么c至少与a，b中的一条相交；假设a不垂直于c，那么a与b一定不垂直；假设ab，那么必有ac；假设ab，ac，那
3、么必有.其中正确的命题的个数是()A0 B1 C2 D3解析中假设a与b是异面直线，那么c至少与a，b中的一条相交，故正确；中平面平面时，假设bc，那么b平面，此时不管a，c是否垂直，均有ab，故错误；中当ab时，那么a平面，由线面平行的性质定理可得ac，故正确；中假设bc，那么ab，ac时，a与平面不一定垂直，此时平面与平面也不一定垂直，故错误，所以正确命题的个数是2.答案C5如图，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，那么以下结论正确的选项是()AA，M，O三点共线 BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面 DB，B1，O，M共面解析
4、连接A1C1，AC，那么A1C1AC，所以A1C1，C，A四点共面，所以A1C平面ACC1A1，因为MA1C，所以M平面ACC1A1，又M平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线答案A6正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，A1C1的中点，那么异面直线AE和CF所成的角的余弦值为()A. B. C. D.解析如图，设正方体的棱长为a，取线段AB的中点M，连接CM，MF，EF.那么MF綊AE，所以CFM即为所求角或所求角的补角在CFM中，MFCMa，CFa，根据余弦定理可得cosC
5、FM，所以可得异面直线AE与CF所成的角的余弦值为.应选C.答案C7(2022甘肃省兰州市二模)长方体ABCDA1B1C1D1中，B1C，C1D与底面ABCD所成的角分别为60和45，那么异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()A. B. C. D.解析如下图：B1B平面ABCD，BCB1是B1C与底面所成角，BCB160. C1C底面ABCD，CDC1是C1D与底面所成的角，CDC145.连接A1D，A1C1，那么A1DB1C.A1DC1或其补角为异面直线B1C与C1D所成的角不妨设BC1，那么CB1DA12，BB1CC1CD，C1D，A1C12.在等腰A1C1D中，cosA1DC1.应选
6、：A.答案A8.正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是_边形解析延长PQ或(QP)分别交BC延长线于E，交CD延长线于F，取C1D1中点M，连接RM，连接RE交BB1于S，连接MF交DD1于N，连接NQ，PS，那么六边形PQNMRS即为正方体ABCDA1B1C1D1的过P、Q、R三点的截面图形答案六9如下图，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，那么当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH是正方形解析易知EHBDFG，且EHBDFG，同理
7、EFACHG，且EFACHG，显然四边形EFGH为平行四边形要使平行四边形EFGH为菱形需满足EFEH，即ACBD；要使平行四边形EFGH为正方形需满足EFEH且EFEH，即ACBD且ACBD.答案ACBD；ACBD且ACBD10如下图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点BAC90，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值解(1)SABC222，故三棱锥PABC的体积为VSABCPA22. (2)如下图，取PB的中点E，连接DE，AE，那么DEBC，所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角在ADE中，DE2，AE，
8、AD2，那么cosADE.即异面直线BC与AD所成角的余弦值为.B能力提升练1空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，那么以下判断：MN(ACBD)；MN(ACBD)；MN(ACBD)；MN(ACBD)其中正确的选项是()A B C D解析如图，取BC的中点O，连接MO，NO，那么OMAC，ONBD.在MON中，MNOMON(ACBD)，正确答案D2(2022广州综合测试二)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，那么这个截面的面积为()A. B. C. D.解析设AA1的中点为N，那么MNBC1，连接MN，NB，BC1，M
9、C1，那么梯形MNBC1就是过C1，B，M正方体的截面，其面积为(2)，应选C.答案C3(2022郑州质检)如图，矩形ABCD中，AB2AD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE.假设M为线段A1C的中点，那么在ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的选项是_BM是定值；点M在某个球面上运动；存在某个位置，使DEA1C；存在某个位置，使MB平面A1DE.解析取DC中点F，连接MF，BF，MFA1D且MFA1D，FBED且FBED，所以MFBA1DE.由余弦定理可得MB2MF2FB22MFFBcosMFB是定值，所以M是在以B为圆心，MB为半径的球上，可得正确；由MFA1D与FBE
10、D可得平面MBF平面A1DE，可得正确；A1C在平面ABCD中的投影与AC重合，AC与DE不垂直，可得不正确答案4(2022南昌高三期末)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，ABC90，AC6，BCCC1，P是BC1上一动点，那么CPPA1的最小值为_解析连接A1B，将A1BC1与CBC1同时展平形成一个平面四边形A1BCC1，那么此时对角线CPPA1A1C到达最小，在等腰直角三角形BCC1中，BC12，CC1B45，在A1BC1中，A1B2，A1C16，BC12，A1CBCA1B2，即A1C1B90.对于展开形成的四边形A1BCC1，在A1C1C中，C1C，A1C16，A
11、1C1C135，由余弦定理有，CPPA1A1C5.答案55正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，ACBDP，A1C1EFQ.求证：(1)D、B、F、E四点共面；(2)假设A1C交平面DBFE于R点，那么P，Q，R三点共线证明(1)如下图，因为EF是D1B1C1的中位线，所以EFB1D1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1D1BD，所以EFBD.所以EF，BD确定一个平面即D、B、F、E四点共面(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，设平面A1ACC1确定的平面为 ，又设平面BDEF为.因为QA1C1，所以Q.又QEF，所以Q.那么Q是与的公共点，同理，P点也是与的公共点所以PQ.又A1CR，所以RA1C，那么R且R.那么RPQ，故P，Q，R三点共线C尖子生专练如下图，等腰直角三角形ABC中，A90，BC，DAAC，DAAB，假设DA1，且E为DA的中点求异面直线BE与CD所成角的余弦值解如下图，取AC的中点F，连接EF，BF，在ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，EFCD.BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角在RtEAB中，ABAC1，AEAD，BE.在RtEAF中，AFAC，AE，EF.在RtBAF中，AB1，AF，BF.在等腰三角形EBF中，cosFEB.异面直线BE与CD所成角的余弦值为.