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1、第三节离散型随机变量及其分布列第三节离散型随机变量及其分布列第十二章第十二章内容索引0102强强基础基础 增增分策略分策略增素增素能能 精精准突破准突破课标解读衍生考点核心素养1.结合古典概型,了解事件的独立性,了解条件概率及其与独立性的关系,能计算简单随机事件的条件概率,会利用乘法公式计算概率.2.通过具体实例,了解离散型随机变量的概念,理解离散型随机变量分布列,了解超几何分布,并能解决简单的实际问题.1.事件的相互独立性的判断2.事件的相互独立性的概率3.条件概率4.随机变量分布列的性质5.离散型随机变量的分布列1.数据分析2.数学建模3.逻辑推理4.数学运算强强基础基础 增增分策略分策略
2、1.事件的相互独立性(1)定义:对两个事件A,B,如果P(AB)=,则称事件A与事件B相互独立.P(A)P(B)2.条件概率 在古典概型中,若用n(A)和n(AB)分别表示事件A和事件AB所包含的基本事件的个数,则P(B|A)=.P(B|A)+P(C|A)3.离散型随机变量及其分布列 微点拨分两类:离散型随机变量和连续型随机变量1.随机变量的特点(1)随机变量将随机事件的结果数量化;(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值;(3)在试验之前不可能确定取何值.2.利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值.3.随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用这一点可以求相关事件的概率.4.超几何
3、分布一般地,设有N件产品,其中有M(MN)件次品.从中任取n(nN)件产品,用X表示取出的n件产品中次品的件数,那么P(X=k)=(其中k为非负整数).如果一个随机变量的分布列由上式确定,则称X服从参数为N,M,n的超几何分布.微点拨超几何分布中的随机变量为抽到的某类个体的个数,主要特征为:(1)考察对象分两类;(2)已知各类对象的个数;(3)从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的概率分布,超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.增素增素能能 精精准突破准突破考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五考点一考点一事件的相互独立性的判断事件的相
4、互独立性的判断典例突破例1.(2021新高考,8)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则()A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五答案:B 考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五反思感悟判断事件A,B的独立性的方法(1)若事件A是否发生和事件B是否发生没有关系,则事
5、件A与事件B相互独立;(2)利用事件A与事件B相互独立的定义,即若P(AB)=P(A)P(B),则事件A与事件B相互独立.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五对点训练1(2021福建龙岩期末)现有5个相同的小球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机抽取两次,每次抽取一个球,记:事件A表示“第一次取出的球数字是2”,事件B表示“第二次取出的球数字是3”,事件C表示“两次取出的球的数字之和是8”,事件D表示“两次取出的球的数字之和为6”,则下列选项正确的是()A.事件A和事件C相互独立B.事件B和事件C相互独立C.事件B和事件D相互独立D.事件C和事件D相互独立
6、考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五答案:C 考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五考点二考点二事件的相互独立性的概率事件的相互独立性的概率典例突破例2.(2020全国,理19)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 .(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场
7、比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.比赛四场结束,共有三种情况:考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五反思感悟求复杂事件的概率,应先列出题中涉及的各事件,并用适当的符号表示,再理清各事件之间的关系,最后根据事件之间的关系选取相应的公式进行计算.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五对点训练2(2019全国,理18)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分.当某局打成1010平后
8、,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方1010平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.(1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五解:(1)X=2就是1010平后,两人又打了两个球该局比赛结束,则这两个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.50.4+(1-0.5)(1-0.4)=0.5.(2)X=4且甲获胜,就是1010平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个
9、球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为0.5(1-0.4)+(1-0.5)0.40.50.4=0.1.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五考点三考点三条件概率条件概率典例突破例3.(2021山东滨州二模)为增进全体党员干部职工对党史知识的了解,某单位组织开展党史知识竞赛活动,以支部为单位参加比赛,某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题),不放回地依次随机抽取2道题作答,设事件A为“第1次抽到选择题”,事件B为“第2次抽到选择题”,则下列结论中不正确的是()考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五答案:D解析:
10、由题意,事件A为“第1次抽到选择题”,事件B为“第2次抽到选择题”,考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五反思感悟条件概率的3种求法 考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五对点训练3甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询这三个项目,每人限报其中一项,记事件A为“恰有2名同学所报项目相同”,事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则P(B|A)=()答案:A解析:事件AB为“4名同学所报项目恰有2名同学所报项目相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考
11、点五考点五考点四考点四离散型随机离散型随机变量分布列的性量分布列的性质典例突破例4.(1)(2021浙江杭州模拟)设随机变量X的概率分布列为则P(|X-3|=1)=.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五(2)已知随机变量X的概率分布如下.则P(X=10)=()考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五反思感悟离散型随机变量分布列性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要注意检验,保证每个概率值均为非负数.(2)求随机变量在某个范围内的概率,根据分布列,将所求范围内随机变量对
12、应的概率值相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五对点训练4某电话亭中装有一部公用电话,在观察使用这部电话的人数时,设在某一时刻,有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P(n),P(n)与时刻t无关,统计得到:P(n)=那么在某一时刻,这个电话亭一个人也没有的概率P(0)的值为()考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五答案:A解析:由P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)=1,考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五考点五考点五求离散型随机求离散型随机变量的分布列量的分布
13、列(多考向探究多考向探究)考向考向1.与互斥事件、相互独立事件有关的分布列与互斥事件、相互独立事件有关的分布列典例突破例5.(2021江苏通州三模)某校团委组织“航天知识竞赛”活动,每位参赛者第一关需回答三个问题,第一个问题回答正确得10分,回答错误得0分;第二个问题回答正确得10分,回答错误得-10分;第三个问题回答正确得10分,回答错误得-10分.规定,每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于20分就算闯关成功.若每位参赛者回答前两个问题正确的概率都是 ,回答第三个问题正确的概率都是 ,且各题回答正确与否相互之间没有影响.(1)求参赛者甲仅回答正确两个问题的概率;(2)求参赛者甲回答这三个问
14、题的总得分的分布列、数学期望和闯关成功的概率.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五解:(1)设事件Ai为参赛者甲回答正确第i个问题(i=1,2,3),所以参赛者甲仅回答正确两个问题的概率考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五(2)由题意,所有可能取值为-20,-10,0,10,20,30,考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五所以的分布列为 考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五反思感悟离散型随机变量分布列的求解步骤 考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五对点训练5在某校的校园歌手大
15、赛决赛中,有6位参赛选手(1号至6号)登台演出,由现场的100位同学投票选出最受欢迎的歌手,各位同学须彼此独立地在投票器上选出3位候选人,其中甲同学是1号选手的同班同学,必选1号,另在2号至6号选手中随机选2名;乙同学不欣赏2号选手,必不选2号,在其他5位选手中随机选出3名;丙同学对6位选手的演唱没有偏爱,因此在1号至6号选手中随机选出3名.(1)求甲同学选中3号且乙同学未选中3号选手的概率;(2)设3号选手得到甲、乙、丙三位同学的票数之和为X,求X的分布列和数学期望.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五解:设A表示事件“甲同学选中3号选手”,B表示事件“乙同学选中3号
16、选手”,C表示事件“丙同学选中3号选手”.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五考向考向2.变量取量取值概率概率为古典概型的分布列古典概型的分布列典例突破例6.某校举办校园科技文化艺术节,在同一时间安排生活趣味数学和校园舞蹈赏析两场讲座.已知A,B两学习小组各有5位同学,每位同学在两场讲座任意选听一场.若A组1人选听生活趣味数学,其余4人选听校园舞蹈赏析;B组2人选听生活趣味数学,其余3人选听校园舞蹈赏析.(1)若从此10人中任意选出3人,求选出的3人中恰有2人选听校园舞蹈赏析的概率;(2)若从A,B两组中各任选
17、2人,设X为选出的4人中选听生活趣味数学的人数,求X的分布列及数学期望.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五反思感悟求变量取值概率为古典概型的分布列的两个注意点1.要注意应用计数原理、排列组合的知识求基本事件总数及事件A包含的基本事件的个数,然后应用古典概型的概率公式求解.2.求出分布列后,注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五对点训练6某探险队分为四个小组探险甲、乙、丙三个区域,若每个小组只能探险一个区域,且每个小组选择任何一个区域是等可
18、能的.(1)求恰有2个小组探险甲区域的概率;(2)求被探险区域的个数X的分布列和数学期望.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五考向考向3.超几何分布超几何分布典例突破例7.(2021江苏新高考基地联考)大闸蟹又名金爪蟹,蟹身青壳白肚,体大膘肥,肉质鲜美,营养丰富,深受消费者喜爱.某水产品超市购进一批质量为100千克的大闸蟹,随机抽取了50只统计其质量,得到的结果如下表所示:规格中蟹大蟹特大蟹质量/克160,180)180,200)200,220)220,240)240,260)260,280数量/只32152073(1)试用每组数据的中点值来估计该批大闸蟹有多少只?(所
19、得结果四舍五入保留整数)(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只,记质量在区间260,280内的大闸蟹数量为X,求X的分布列和数学期望.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五解:(1)50只大闸蟹的平均质量为 (1703+1902+21015+23020+2507+2703)=224(克),所以水产品超市购进的100千克大闸蟹只数约为100 000224446.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五反思感悟求超几何分布的分布列的步骤第一步:验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N,M,n的值;第二步:根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率;第三步:用表格的形式列出分布列.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五对点训练7(2021福建三明期中)吃粽子是我国端午节的传统习俗,现有一盘子,装有10个粽子,其中红豆粽2个,肉粽3个,蛋黄粽5个,假设这三种粽子除馅料外完全相同.从中任意选取3个.(1)求选取的3个粽子中恰有1个肉粽的概率;(2)设表示取到的红豆粽个数,求的分布列,并求“所选3个粽子中红豆粽不少于1个”的概率.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点五考点五