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1、索引第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布第7节离散型随机变量及其分布列、数字特征1.理解取有限个理解取有限个值的离散型随机的离散型随机变量及其分布列的概念量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机理解并会求离散型随机变量的数字特征量的数字特征.考试要求知识诊断基础夯实内容索引考点突破题型剖析分层精练巩固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断 基础夯实1 1索引1.离散型随机变量离散型随机变量一一 般般 地地，对 于于 随随 机机 试 验 样 本本 空空 间 中中 的的 每每 个个 样 本本 点点，都都 有有_与与之之对应，我我们称称X为随随机机变量量；可可能能取
2、取值为有有限限个个或可以一一列或可以一一列举的随机的随机变量称量称为离散型随机离散型随机变量量.知识梳理唯一的实数唯一的实数X()索引2.离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列一一 般般 地地，设 离离 散散 型型 随随 机机 变 量量 X的的 可可 能能 取取 值 为 x1，x2，xn，我我 们 称称 _P(Xxi)pi，i1，2，n为X的概率分布列，的概率分布列，简称分布列称分布列.X取每一个值取每一个值xi的概率的概率索引3.离散型随机变量的分布列的性质离散型随机变量的分布列的性质(1)pi0(i1，2，n)；(2)_ 1.p1p2pn索引4.离散型随机变量的均值与方差离散型随机变
3、量的均值与方差若离散型随机变量若离散型随机变量X的分布列为的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipnx1p1x2p2xipixnpn平均水平平均水平索引偏离程度偏离程度索引5.均值与方差的性质均值与方差的性质(1)E(aXb)_.(2)D(aXb)_(a，b为常数常数).aE(X)ba2D(X)索引常用结论(1)若若X是随机是随机变量，量，YaXb，a，b是常数，是常数，则Y也是随机也是随机变量量.(2)E(X1X2)E(X1)E(X2)；D(X)E(X2)(E(X)2.索引1.思考辨析思考辨析(在括号内打在括号内打“”“”或或“”“”)(1)离离散散型型随随机机变量量的的概概率率分分布布
4、列列描描述述了了由由这个个随随机机变量量所所刻刻画画的的随随机机现象象.()(2)离离散散型型随随机机变量量的的分分布布列列中中，随随机机变量量取取各各个个值的的概概率率之之和和可可以以小小于于1.()(3)离散型随机离散型随机变量的各个可能量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的表示的事件是彼此互斥的.()(4)随随机机变量量的的方方差差和和标准准差差都都反反映映了了随随机机变量量取取值偏偏离离均均值的的平平均均程程度度，方差或方差或标准差越小，准差越小，则偏离偏离变量的平均程度越小量的平均程度越小.()解解析析对于于(2)，离离散散型型随随机机变量量所所有有取取值的的并并事事件件是是必必然然事
5、事件件，故故各各个个概概率之和等于率之和等于1，故不正确，故不正确.诊断自测索引2.(选修修三三P63例例1改改编)在在篮球球比比赛中中，罚球球命命中中1次次得得1分分，不不中中得得0分分.如如果果某某运运动员罚球命中的概率球命中的概率为0.8，那么他，那么他罚球球1次的得分次的得分X的均的均值为()A.0.2 B.0.4 C.0.8 D.1解析解析某运某运动员罚球球1次的得分次的得分为X，X的取的取值可能可能为0，1，P(X0)10.80.2，P(X1)0.8，E(X)00.210.80.8.C索引3.一一盒盒中中有有12个个乒乓球球，其其中中9个个新新的的、3个个旧旧的的，从从盒盒中中任任
6、取取3个个球球来来用用，用用完完后装回盒中，此后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机盒中旧球个数是一个随机变量量为X，则P(X4)的的值为_.索引4.已知随机变量已知随机变量X的分布列如下：的分布列如下：若若Y2X3，则E(Y)的的值为_.K A O D I A N T U P O T I X I N G P O U X I考点突破 题型剖析2 2索引考点一分布列的性质索引(2)设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布列为的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求求2X1的分布列；的分布列；解解由分布列的性由分布列的性质知，知，0.20.10.10.3m1，得，得m0.3.列表列表为
7、X012342X113579索引 从而从而2X1的分布列的分布列为2X113579P0.20.10.10.30.3索引 求随机求随机变量量|X1|的分布列的分布列.解解由由知知m0.3，列表，列表为X01234|X1|10123所所以以P(1)P(X0)P(X2)0.20.10.3，P(0)P(X1)0.1，P(2)P(X3)0.3，P(3)P(X4)0.3，故故|X1|的分布列的分布列为0123P0.10.30.30.3索引分布列性分布列性质的两个作用的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的可求参数的值及及检查分布列的正确性分布列的正确性.(2)随随
8、机机变量量X所所取取的的值分分别对应的的事事件件是是两两两两互互斥斥的的，利利用用这一一点点可可以以求求随随机机变量在某个范量在某个范围内的概率内的概率.感悟提升索引训练训练1(1)设X是一个离散型随机是一个离散型随机变量，其分布列量，其分布列为则q_.索引(2)若随机变量若随机变量X的分布列如下表所示，则的分布列如下表所示，则a2b2的最小值为的最小值为_.索引考点二分布列的求法解解随机随机变量量X的所有可能取的所有可能取值为0，1，2，3.索引 随机随机变量量X的分布列的分布列为索引离散型随机离散型随机变量分布列的求解步量分布列的求解步骤感悟提升索引训训练练2 有有编号号为1，2，3，n的
9、的n个个学学生生，入入座座编号号为1，2，3，n的的n个个座座位位，每每个个学学生生规定定坐坐一一个个座座位位，设学学生生所所坐坐的的座座位位号号与与该生生的的编号号不不同同的的学学生生人人数数为X，已知，已知X2时，共有，共有6种坐法种坐法.(1)求求n的的值；解解因因为当当X2时，有，有C种方法，种方法，也即也即n2n120，解得解得n4或或n3(舍去舍去)，所以所以n4.索引(2)求随机求随机变量量X的分布列的分布列.解解因因为学生所坐的座位号与学生所坐的座位号与该生的生的编号不同的学生人数号不同的学生人数为X，由由题意可知意可知X的可能取的可能取值是是0，2，3，4，所以所以X的概率分
10、布列的概率分布列为索引考点三离散型随机变量的数字特征角度1期望、方差的计算例例3(2023新新乡质检)2023年年元元旦旦班班级联欢晚晚会会上上，某某班班设计了了一一个个摸摸球球表表演演节目目的的游游戏：在在一一个个纸盒盒中中装装有有红球球、黄黄球球、白白球球、黑黑球球各各1个个，这些些球球除除颜色色外外完完全全相相同同，同同学学不不放放回回地地每每次次摸摸出出1个个球球，若若摸摸到到黑黑球球，则停停止止摸摸球球，否否则就就要要将将纸盒盒中中的的球球全全部部摸摸出出才才停停止止.规定定摸摸到到红球球表表演演两两个个节目目，摸摸到到白白球球或或黄球表演黄球表演1个个节目，摸到黑球不用表演目，摸到
11、黑球不用表演节目目.(1)求求a同学摸球三次后停止摸球的概率；同学摸球三次后停止摸球的概率；索引(2)记X为a同同学学摸摸球球后后表表演演节目目的的个个数数，求求随随机机变量量X的的分分布布列列和和数数学学期期望望、方差方差.解解随机随机变量量X的可能取的可能取值为0，1，2，3，4.所以随机所以随机变量量X的分布列的分布列为索引索引角度2决策问题例例4(2021新新高高考考卷卷)某某学学校校组织“一一带一一路路”知知识竞赛，有有A，B两两类问题.每每位位参参加加比比赛的的同同学学先先在在两两类问题中中选择一一类并并从从中中随随机机抽抽取取一一个个问题回回答答，若若回回答答错误则该同同学学比比
12、赛结束束；若若回回答答正正确确则从从另另一一类问题中中再再随随机机抽抽取取一一个个问题回回答答，无无论回回答答正正确确与与否否，该同同学学比比赛结束束.A类问题中中的的每每个个问题回回答答正正确确得得20分分,否否则得得0分分；B类问题中中的的每每个个问题回回答答正正确确得得80分分,否否则得得0分分.已已知知小小明明能能正正确确回回答答A类问题的的概概率率为0.8，能能正正确确回回答答B类问题的的概概率率为0.6，且能正确回答，且能正确回答问题的概率与回答次序无关的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答若小明先回答A类问题，记X为小明的累小明的累计得分，求得分，求X的分布列；的分布列；索引
13、解解由由题意得意得X的所有可能取的所有可能取值为0，20，100，P(X0)10.80.2，P(X20)0.8(10.6)0.32，P(X100)0.80.60.48，所以所以X的分布列的分布列为X020100P0.20.320.48索引(2)为使累使累计得分的期望最大，小明得分的期望最大，小明应选择先回答哪先回答哪类问题？并？并说明理由明理由.解解当小明先回答当小明先回答A类问题时，由，由(1)可得可得E(X)00.2200.321000.4854.4.当小明先回答当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累小明的累计得分，得分，则Y的所有可能取的所有可能取值为0，80，100，P(Y0)10.6
14、0.4，P(Y80)0.6(10.8)0.12，P(Y100)0.60.80.48，索引 所以所以Y的分布列的分布列为Y080100P0.40.120.48E(Y)00.4800.121000.4857.6.因因为57.654.4，即即E(Y)E(X)，所以所以为使累使累计得分的期望最大，小明得分的期望最大，小明应选择先回答先回答B类问题.索引求离散型随机求离散型随机变量量的均的均值与方差的步与方差的步骤(1)理解理解的意的意义，写出，写出可能的全部可能的全部值；(2)求求取每个取每个值的概率；的概率；(3)写出写出的分布列；的分布列；(4)由均由均值的定的定义求求E()；(5)由方差的定由方
15、差的定义求求D().感悟提升索引索引 解解若若按按“项目目一一”投投资，设获利利为X1万万元元，X1的的所所有有可可能能取取值为300，150.则X1的分布列的分布列为若若按按“项目目二二”投投资，设获利利X2万万元元，X2的的所所有有可可能能取取值为500，300，0.则X2的分布列的分布列为：索引所以所以E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)，这说明明虽然然项目一、目一、项目二目二获利的期望利的期望值相等，但相等，但项目一更目一更稳妥妥.综上所述，建上所述，建议该投投资公司公司选择项目一投目一投资.FENCENGJINGLIAN GONGGUTISHENG分层精练 巩固提升3 3索引索
16、引12345678910 11 12 13 14 15 161.已知下列随机已知下列随机变量：量：10件件产品中有品中有2件次品，从中任件次品，从中任选3件，取到次品的件数件，取到次品的件数X；一一位位射射击选手手对目目标进行行射射击，击中中目目标得得1分分，未未击中中目目标得得0分分，该射射击选手在一次射手在一次射击中的得分中的得分X；一天内的温度一天内的温度X；在体育彩票的抽在体育彩票的抽奖中，一次中，一次摇号号产生的号生的号码数数X.其中其中X是离散型随机是离散型随机变量的是量的是()A.B.C.D.B【A级 基础巩固】索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16解
17、析解析中，中，X的可能取的可能取值为0，1，2，符合要求；，符合要求；中，中，X的可能取的可能取值为0，1，符合要求；，符合要求；中，一天的温度中，一天的温度变化是化是连续的，所以的，所以X不是离散型随机不是离散型随机变量；量；中中，在在体体育育彩彩票票的的抽抽奖中中，一一次次摇号号产生生的的号号码数数是是离离散散且且随随机机的的，符符合合要要求求.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 162.若随机变量若随机变量X的分布列为的分布列为CX123Pa2ba则X的均的均值E(X)等于等于()A.2ab B.a2b C.2 D.3解析解析E(X)1a22b3a4(ab)，由
18、分布列的性由分布列的性质可知可知2a2b1，所以所以E(X)2.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16B索引索引12345678910 11 12 13 14 15 164.已知随机变量已知随机变量X的分布列是的分布列是C索引索引12345678910 11 12 13 14 15 165.(2023福福州州模模拟)某某企企业业计计划划加加大大技技改改力力度度，需需要要换换一一台台设设备备，现现有有两两种种品品牌牌的的设设备备可可供供选选择择，A品品牌牌设设备备需需投投入入60万万元元，B品品牌牌设设备备需需投投入入90万万元元，企企业业对两种品牌设备的使用年限情况
19、进行了抽样调查：对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查：BA品牌的使用年限品牌的使用年限2345概率概率0.40.30.20.1B品牌的使用年限品牌的使用年限2345概率概率0.10.30.40.2更更换设备技改后，每年估技改后，每年估计可增加效益可增加效益100万元，从年均收益的角度分析万元，从年均收益的角度分析()A.不更不更换设备 B.更更换为A设备C.更更换为B设备 D.更更换为A或或B设备均可均可索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16解析解析设更更换为A品牌品牌设备使用年限使用年限为X，则E(X)20.430.340.250.13，更更换为A品牌品牌设
20、备年均收益年均收益为(310060)380(万元万元)；设更更换为B品牌品牌设备使用年限使用年限为Y，则E(Y)20.130.340.450.23.7，更更换为B品牌品牌设备年均收益年均收益为(3.710090)3.775.68(万元万元).8075.68，所以所以更更换为A品牌品牌设备.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(多多选)(2023宁波宁波质检)设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布列为的分布列为BDX0123P0.1q0.30.4若离散型随机若离散型随机变量量Y满足足Y2X1，则()A.q0.3 B.q0.2C.E(Y)5.1 D.E(Y)5
21、解析解析由由题表可知表可知q10.10.30.40.2，则E(X)00.110.220.330.42，所以所以E(Y)E(2X1)2E(X)15.故故选BD.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16AC解析解析记未使用未使用过的的乒乓球球为A，已使用，已使用过的的为B，任取任取3个球的所有可能是个球的所有可能是1A2B，2A1B，3A，A使用后成使用后成为B，故，故X的所有可能取的所有可能取值是是3，4，5，故，故A正确；正确；索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16所以所以X最有可能的取最有可能的取值是是4，故，故B错误，C正确；正确；索引
22、索引12345678910 11 12 13 14 15 168.已已知知甲甲盒盒内内有有大大小小相相同同的的1个个红球球和和3个个黑黑球球，乙乙盒盒内内有有大大小小相相同同的的2个个红球球和和4个黑球，个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取从甲、乙两个盒内各任取2个球个球.设为取出的取出的4个球中个球中红球的球的个个数数，则P(2)_.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 169.(2023长沙沙调研研)随机变量随机变量X的分布列如下：的分布列如下：X101Pabc其中其中a，b，c成等差数列，成等差数列，则P(|X|1)_，公差，公差d的取的取值范范围是是_.索引索引12
23、345678910 11 12 13 14 15 16解析解析a，b，c成等差数列，成等差数列，2bac，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16210.马老师从课本上抄录的一个随机变量马老师从课本上抄录的一个随机变量X的分布列如下表：的分布列如下表：X123P？！？尽尽管管“！”与与“？”处无无法法完完全全看看清清，但但能能肯肯定定两两个个“？”处的的数数值相相同同，据据此，此，E(X)_.解析解析设P(X1)P(X3)a，P(X2)b，则2ab1.于是于是E(X)a2b3a2(2ab)2.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 1611.(2
24、023南南京京模模拟)设箱箱子子里里装装有有同同样大大小小的的3个个红球球及及白白球球、黑黑球球、黄黄球球、绿球各球各1个个.(1)若甲从中一次性摸出若甲从中一次性摸出2个球，求两个球个球，求两个球颜色不相同的概率；色不相同的概率；索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16(2)若若乙乙从从中中一一次次性性取取出出3个个球球，设3个个球球中中的的红球球个个数数为X，求求随随机机变量量X的的概概率分布列及数学期望率分布列及数学期望值.解解随机随机变量量X的可能取的可能取值为0，1，2，3，所以随机所以随机变量量X的概率分布列的概率分布列为索引索引12345678910 1
25、1 12 13 14 15 16专业性性别中文中文英英语数学数学体育体育男男n1m1女女1111索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16(1)求求m，n的的值；索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16(2)求求选出的出的3名同学恰名同学恰为专业互不相同的男生的概率；互不相同的男生的概率；索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16(3)设X为选出出的的3名名同同学学中中是是女女生生或或专业为数数学学的的人人数数，求求随随机机变量量X的的分分布布列列、数学期望及方差数学期望及方差.解解由由题意意可可知知，这10名名学学生生
26、中中是是女女生生或或专业为数数学学的的人人数数为7，X所所有有可可能能取取值为0，1，2，3，故故X的分布列的分布列为：索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16B【B级 能力提升】索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16A中的方差中的方差D(X)0.65；B中的方差中的方差D(X)1.85；C中的方差中的方差D(X)1.05；D中的方差中的方差D(X)1.45.可知可知B的情形的情形对应样本的本的标准差最大准差最大.索引索引12345678910 11 12 13 14 15
27、1614.(多多选)(2023杭州杭州质检)已知随机变量已知随机变量的分布列如下：的分布列如下：AC012Pbaba索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16E()0.52a，0a0.5.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 1615.(多多选)(2023东莞莞质检)设随机变量设随机变量的分布列如表：的分布列如表：ABD1232 0232 024Pa1a2a3a2 023a2 024索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16对于于D，令，令SkP(k)k2a
28、k，则ak1Sk1Sk(k1)2ak1k2ak，即即(n1)an(n1)an1(n2)，故，故D正确正确.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 1616.某某学学校校组织“纪念念共共青青团成成立立100周周年年”知知识竞赛，有有A，B，C三三类问题，每每位位参参加加比比赛的的同同学学需需要要先先选择一一类并并从从中中随随机机抽抽取取一一个个问题回回答答，只只有有答答对当当前前的的问题才才有有资格格从从下下一一类问题中中再再随随机机抽抽取取一一个个问题回回答答.A类问题中中的的每每个个问题回回答答正正确确得得10分分，否否则得得0分分：B类问题中中的的每每个个问题回回答答
29、正正确确得得20分分，否否则得得0分分，C类问题中中的的每每个个问题回回答答正正确确得得30分分，否否则得得0分分，已已知知小小康康同同学学能能正正确确回回答答A类问题的的概概率率为0.8，能能正正确确回回答答B类问题的的概概率率为0.6，能能正正确确回回答答C类问题的的概概率率为0.4，且且能能正正确确回回答答问题的的概概率率与与回回答答次次序序无关无关.(1)若小康按照若小康按照CBA的的顺序答序答题，记X为小康的累小康的累计得分，求得分，求X的分布列；的分布列；索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16解解由由题意可知，意可知，X的所有可能取的所有可能取值为0，3
30、0，50，60，P(X0)10.40.6，P(X30)0.4(10.6)0.16，P(X50)0.40.6(10.8)0.048，P(X60)0.40.60.80.192.故故X的分布列的分布列为：X0305060P0.60.160.0480.192索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16(2)相相比比较小小康康自自选的的CBA的的答答题顺序序，小小康康的的朋朋友友小小乐认为按按照照ABC的的顺序序答答题累累计得分期望更大，小得分期望更大，小乐的判断正确的判断正确吗？并？并说明理由明理由.解解由由(1)可知可知E(X)00.6300.16500.048600.19218.72，若按照若按照ABC顺序答序答题，记Y为小康答小康答题的累的累计得分，得分，则Y所有可能取所有可能取值为0，10，30，60，P(Y0)10.80.2，P(Y10)0.8(10.6)0.32，P(Y30)0.80.6(10.4)0.288，P(Y60)0.80.60.40.192，故故E(Y)00.2100.32300.288600.19223.36，E(X)E(Y)，则小小乐的判断正确的判断正确.