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1、第三节命题及其关系、充要条件第三节命题及其关系、充要条件第一章第一章内容索引0102强强基础基础 增增分策略分策略增素增素能能 精精准突破准突破课标解读衍生考点核心素养1.理解命题的概念.2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.1.命题及其相关关系2.充分、必要条件的判定3.充分、必要条件的应用1.数学抽象2.逻辑推理强强基础基础 增增分策略分策略1.命题 概念可以判断、用文字或符号表述的语句叫作命题特点(1)能判断真假;(2)陈述句分类命题、命题真假真假2.四种命题及其关系(1)四种命题的表示及相互之
2、间的关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题,它们有的真假性.两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性.相同没有关系微思考在四种形式的命题中,真命题的个数可能是多少?提示:只能为0,2,4.3.充分条件、必要条件与充要条件的概念 充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分又不必要微点拨1.p是q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件.其他情况依次类推.2.要注意A是B的充分不必要条件与A的充分不必要条件是B两者的不同.3.在判断充分、必要条件的时候,一定要从p能否推出q,q能否推出p两方面去判断.常用结论1.充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性:若p是q的充分条件,则q是p
3、的必要条件,即“pq”“qp”.(2)传递性:若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分(必要)条件,即“pq且qr”“pr”(“pq且qr”“pr”).2.若条件p,q以集合的形式出现,即A=x|p(x),B=x|q(x),则(1)若AB,则p是q的充分不必要条件;(2)若AB,则p是q的必要条件;(3)若AB,则p是q的必要不充分条件;(4)若A=B,则p是q的充要条件.(5)若AB且AB,则p是q的既不充分又不必要条件.增素增素能能 精精准突破准突破考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一命命题及其相关关系及其相关关系典例突破例1.(1)已知原命题为“若
4、 (a+b)2,则xa2+b2”,则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是()A.逆命题与否命题均为真命题B.逆命题为假命题,否命题为真命题C.逆命题为假命题,逆否命题为真命题D.否命题为假命题,逆否命题为真命题考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)A(2)A解析:(1)从原命题的真假入手,由于anan+1anan为递减数列,即原命题和逆命题均为真命题,又因为原命题与其逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假,则原命题的逆命题、否命题和逆否命题均为真命题.考点一考点一考点二考点二考点三考点三突破技巧判断命题真假的2种方法 直接判断判断一个命题为真命题,要给出严格的推理证明;说明
5、一个命题是假命题,只需举出一个反例即可间接判断根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当直接判断一个命题的真假不易进行时,可转化为判断其逆否命题的真假提醒(1)对于不是“若p,则q”形成的命题,需先改写;(2)当命题有大前提时,写其他三种命题时需保留大前提.考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练1(1)(2021重庆巴蜀中学月考)下列说法中不正确的是()A.命题“若AB=B,则AB=A”的逆否命题为真命题B.“矩形的两条对角线相等”的否命题为假命题C.“已知a,b,mR,若am2bm2,则a0”是假命题(2)命题p:若ma-2,则m-1.若p的逆否命题为真命题,
6、则a的取值范围是.考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)C(2)(-,1)解析:(1)对于选项A,AB=B时,BA,此时AB=A,是真命题,它的逆否命题也为真命题,故A正确;对于选项B,“矩形的两条对角线相等”的否命题是“如果四边形不是矩形,则它的对角线不相等”,它是假命题,如等腰梯形的对角线相等,故B正确;对于选项C,a,b,mR,若am2bm2,则ab,它的逆命题是“若ab,则am2bm2”,它是假命题,因为m=0时,am20是假命题,故D正确.(2)因为p的逆否命题为真命题,所以p为真命题,所以a-2-1,即a3”是“x24”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条
7、件D.既不充分又不必要条件考点一考点一考点二考点二考点三考点三(3)“x2或y3”是“x+y5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)B(2)A(3)B解析:(1)直线l,若=l1,使ll1,则l,但,相交,故“l”不能推出“”;直线l,且时,l,故“”能推出“l”;故“l”是“”的必要不充分条件.(2)解不等式|x+1|3可得x+13,解得x2,解不等式x24,可得x2.因为x|x2x|x2,因此“|x+1|3”是“x24”的充分不必要条件.(3)利用互为逆否命题的关系,命题等价于判断“x+y=5”是“x
8、=2且y=3”的什么条件,显然为必要不充分条件.考点一考点一考点二考点二考点三考点三突破技巧判断充分必要条件的3种方法 定义法直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假,在判断时,确定条件是什么、结论是什么集合法利用集合中包含思想判定,抓住“以小推大”的技巧,即小范围推得大范围,即可解决充分必要性的问题等价转化法适用于不易直接正面判断的情况,可先将命题转化为另一个等价的又易于判断真假的命题再去判断,常用的是“逆否等价法”考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练2(1)(2021海南海口高考调研)已知函数f(x)=kx+b(k0),则“f(0)=0”是“函数f(x)为奇函数”的()A.充分不
9、必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件(2)(2021山东济南一模)设集合A=,B=x|x+10,则“xA”是“xB”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)C(2)B解析:(1)因为f(0)=0,所以b=0,函数f(x)为奇函数;反之,有f(-x)=-kx+b=-f(x)=-kx-b=0,所以b=0.所以“f(0)=0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件.(2)由0,则(x-1)x0,解得0 x1,即A=x|0 x0,得x-1,即B=x|x-1,AB,即“xA”是“xB”的充分不必
10、要条件.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点三考点三充分、必要条件的充分、必要条件的应用用典例突破例3.已知P=x|x2-8x-200,非空集合S=x|1-mx1+m.若xP是xS的必要条件,则m的取值范围为.答案:0,3解析:由x2-8x-200,得-2x10,P=x|-2x10.xP是xS的必要条件,则SP,故当0m3时,xP是xS的必要条件.考点一考点一考点二考点二考点三考点三变式训练(1)本例3中条件“若xP是xS的必要条件”变为“xP是xS的充分不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围.(2)本例3条件不变,问是否存在实数m,使xP是xS的充要条件?如果存在,求出m的值,如
11、果不存在,请说明理由.考点一考点一考点二考点二考点三考点三解:(1)由例题知P=x|-2x10.xP是xS的充分不必要条件,PS且S P.-2,101-m,1+m.m9,则m的取值范围是9,+).(2)不存在.理由如下:由例题知P=x|-2x10.若xP是xS的充要条件,则P=S,考点一考点一考点二考点二考点三考点三突破技巧根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练3(1)(2021河南开封三模)“方程=1表示双曲线”的一个必要不充分条件为()A.m(-,-1)(1,+)B.m(-,-2)(1,+)C.m(-,-2)D.m(1,+)(2)若不等式m-1xm+1成立的充分不必要条件是,则实数m的取值范围是.考点一考点一考点二考点二考点三考点三