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1、高一年级 数学正弦定理、余弦定理应用举例复习回顾余弦定理余弦定理余弦定理余弦定理正弦定理余弦定理正弦定理新课探究测量工具测量工具测量工具测量工具在视线与水平线所成的角中在视线与水平线所成的角中 我们称视线在水平线上方的角叫仰角,仰角在视线与水平线所成的角中 我们称视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫做俯角.仰角俯角在视线与水平线所成的角中 我们称视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫做俯角.例如图中就分别是仰角45仰角45俯角在视线与水平线所成的角中 我们称视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫做俯角.例如图中就分别是仰角45和俯角30.30仰角45俯角在水平方向上西
2、东南北在水平方向上 我们称:指北或指南方向线指北方向线西东南北在水平方向上 我们称:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角,叫方向角.指北方向线西东南在水平方向上 我们称:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角,叫方向角.例如图中就是北偏西30指北方向线西东南在水平方向上 我们称:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角,叫方向角.例如图中就是北偏西30和北偏东45.指北方向线西东南除此之外 对于竖直方向的夹角和水平方向的夹角,经纬仪也可以进行测量.除此之外 对于竖直方向的夹角和水平方向的夹角,经纬仪也可以进行测量.例如图中对于高度不同的两个点A,B,除此之外
3、 对于竖直方向的夹角和水平方向的夹角,经纬仪也可以进行测量.例如图中对于高度不同的两个点A,B,经纬仪可以测量出它们在同一水平面上的 O除此之外 对于竖直方向的夹角和水平方向的夹角,经纬仪也可以进行测量.例如图中对于高度不同的两个点A,B,经纬仪可以测量出它们在同一水平面上的投影C,D和观测点O所成的夹角,除此之外 对于竖直方向的夹角和水平方向的夹角,经纬仪也可以进行测量.例如图中对于高度不同的两个点A,B,经纬仪可以测量出它们在同一水平面上的投影C,D和观测点O所成的夹角,即COD的大小.除此之外 对于竖直方向的夹角和水平方向的夹角,经纬仪也可以进行测量.例如图中对于高度不同的两个点A,B,
4、经纬仪可以测量出它们在同一水平面上的投影C,D和观测点O所成的夹角,即COD的大小.例题解析例1.某海域A处的灯塔甲获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援.灯塔甲立即把消息告知位于其南偏西30相距7海里的C处的乙船.那么,乙船前往营救遇险渔船时需要航行的最小距离是多少海里(精确到1海里)？航行目标方向线的方向是北偏东多少度(精确到1)？例1.某海域A处的灯塔甲获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援.灯塔甲立即把消息告知位于其南偏西30相距7海里的C处的乙船.那么,乙船前往营救遇险渔船时需要航行的最小距离是多少海里(精确到1海里)？航行目标方向
5、线的方向是北偏东多少度(精确到1)？例1.某海域A处的灯塔甲获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援.灯塔甲立即把消息告知位于其南偏西30相距7海里的C处的乙船.例1.某海域A处的灯塔甲获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援.灯塔甲立即把消息告知位于其南偏西30相距7海里的C处的乙船.例1.某海域A处的灯塔甲获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援.灯塔甲立即把消息告知位于其南偏西30相距7海里的C处的乙船.例1.某海域A处的灯塔甲获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援.灯塔甲立即把消息告知位于
6、其南偏西30相距7海里的C处的乙船.20海里例1.某海域A处的灯塔甲获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援.灯塔甲立即把消息告知位于其南偏西30相距7海里的C处的乙船.20海里例1.某海域A处的灯塔甲获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援.灯塔甲立即把消息告知位于其南偏西30相距7海里的C处的乙船.20海里7海里例1.某海域A处的灯塔甲获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援.灯塔甲立即把消息告知位于其南偏西30相距7海里的C处的乙船.20海里7海里20海里7海里20海里7海里.由余弦定理,20海里7海里.由余弦定理,
7、.20海里7海里.由余弦定理,.所以 (海里).20海里7海里.由余弦定理,.所以 (海里).由正弦定理,20海里7海里.由余弦定理,.所以 (海里).由正弦定理,20海里7海里.,由余弦定理,.所以 (海里).由正弦定理,20海里7海里.,由余弦定理,.所以 (海里).所以 .由正弦定理,20海里7海里.,由余弦定理,.所以 (海里).方向：北偏东由正弦定理,20海里7海里.,所以 .,由余弦定理,.所以 (海里).方向：北偏东距离：24海里.由正弦定理,20海里7海里.所以 .,分析分析建模分析建模求解分析建模求解检验分析建模求解检验所求三角形余弦定理例2.A,B两点都在河的对岸(不可到达
8、),设计一种测量A,B两点间距离的方法,并求出A,B两点间的距离.例2.A,B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A,B两点间距离的方法,并求出A,B两点间的距离.例2.A,B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A,B两点间距离的方法,并求出A,B两点间的距离.例2.A,B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A,B两点间距离的方法,并求出A,B两点间的距离.基点例2.A,B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A,B两点间距离的方法,并求出A,B两点间的距离.例2.A,B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A,B两点间距离的方法,并求出A,B两点间的距离.例2.A,
9、B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A,B两点间距离的方法,并求出A,B两点间的距离.例2.A,B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A,B两点间距离的方法,并求出A,B两点间的距离.例2.A,B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A,B两点间距离的方法,并求出A,B两点间的距离.例2.A,B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A,B两点间距离的方法,并求出A,B两点间的距离.例2.A,B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A,B两点间距离的方法,并求出A,B两点间的距离.例2.A,B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A,B两点间距离的方法,并求出A,B
10、两点间的距离.例2.A,B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A,B两点间距离的方法,并求出A,B两点间的距离.AB=？ABCABDAB=？ABCABDAB=？CD=aABCABDAB=？CD=aACDBCDABCABDACADAB=？CD=aACDBCDABCABDACBCADBDAB=？CD=aACDBCDABCABDACBCADBDAB=？CD=aACDBCDABCABDACBCADBDAB=？CD=aACDBCDABCABDACBCADBDAB=？方案一方案二CD=aACDBCDABCACBCAB=？CD=aACDBCD方案1ACD中,ABCACBCAB=？CD=aACDBCD方
11、案1ACD中,.ABCACBCAB=？CD=aACDBCD方案1ACD中,.BCD中,ABCACBCAB=？CD=aACDBCD方案1ACD中,.BCD中,.ABCACBCAB=？CD=aACDBCD方案1ACD中,.BCD中,.ABC中,余弦定理求ABABCACBCAB=？CD=aACDBCD方案1ABDADBDAB=？CD=aACDBCD方案2ABDADBDAB=？CD=aACDBCD方案2ACD中,.ABDADBDAB=？CD=aACDBCD方案2ACD中,.ACD中,.BCD中,ABDADBDAB=？CD=aACDBCD方案2ACD中,.BCD中,.ABDADBDAB=？CD=aACD
12、BCD方案2ACD中,.BCD中,.ABD中,余弦定理求ABABDADBDAB=？CD=aACDBCD方案2已知所求已知所求要求什么？所需条件已知所求要求什么？所需条件新的所求已知所求要求什么？能求什么？所需条件可得结论新的所求已知所求要求什么？能求什么？所需条件可得结论新的已知新的所求已知所求要求什么？能求什么？怎么求？所需条件可得结论新的已知新的所求ABCABDACBCADBDAB=？方案一方案二CD=aACDBCDABCACBCAB=？CD=aACDBCD方案1ABCACBCAB=？CD=aACDBCD方案1ABCACBCAB=？CD=aACDBCD方案1所求三角形所求三角形条件不够所求
13、三角形可求三角形条件不够公共边所求三角形可求三角形条件不够公共边正弦定理例2.A,B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A,B两点间距离的方法,并求出A,B两点间的距离.例2.A,B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A,B两点间距离的方法,并求出A,B两点间的距离.基线例3.求旗杆AB的高度.例3.求旗杆AB的高度.选定测量基点C.例3.求旗杆AB的高度.选定测量基点C.测量仰角ACB的大小以及BC两点间距离.例3.求旗杆AB的高度.选定测量基点C.测量仰角ACB的大小以及BC两点间距离.计算旗杆的高度 例3.求旗杆AB的高度.选定测量基点C.测量仰角ACB的大小以及BC两点间距
14、离.计算旗杆的高度 例3.求旗杆AB的高度.选定测量基点C.测量仰角ACB的大小以及BC两点间距离.计算旗杆的高度 例3.求旗杆AB的高度.选定测量基点C.测量仰角ACB的大小以及BC两点间距离.计算旗杆的高度 所求三角形直角三角形所求三角形直角三角形其他三角形所求三角形直角三角形其他三角形余弦定理正弦定理例4.AB是底部点B不可到达的一座山,点A为山的最高点,点B为点A在水平面上的投影.设计一种测量山高的方法,并计算出山的高度.例4.AB是底部点B不可到达的一座山,点A为山的最高点,点B为点A在水平面上的投影.设计一种测量山高的方法,并计算出山的高度.例4.AB是底部点B不可到达的一座山,点
15、A为山的最高点,点B为点A在水平面上的投影.设计一种测量山高的方法,并计算出山的高度.例4.AB是底部点B不可到达的一座山,点A为山的最高点,点B为点A在水平面上的投影.设计一种测量山高的方法,并计算出山的高度.例4.AB是底部点B不可到达的一座山,点A为山的最高点,点B为点A在水平面上的投影.设计一种测量山高的方法,并计算出山的高度.例4.AB是底部点B不可到达的一座山,点A为山的最高点,点B为点A在水平面上的投影.设计一种测量山高的方法,并计算出山的高度.例4.AB是底部点B不可到达的一座山,点A为山的最高点,点B为点A在水平面上的投影.设计一种测量山高的方法,并计算出山的高度.在ACD中
16、,由正弦定理,由正弦定理,由正弦定理,故.由正弦定理,故在直角ACB中,.由正弦定理,故在直角ACB中,.例4.AB是底部点B不可到达的一座山,点A为山的最高点,点B为点A在水平面上的投影.设计一种测量山高的方法,并计算出山的高度.例4.AB是底部点B不可到达的一座山,点A为山的最高点,点B为点A在水平面上的投影.设计一种测量山高的方法,并计算出山的高度.所求三角形所求三角形条件不够所求三角形可求三角形条件不够公共边所求三角形可求三角形条件不够公共边正弦定理例5.AB是底部点B不可到达的一座山,点A为山的最高点,点B为点A在水平面上的投影.在一条笔直的公路CD上的C,D两点处测得A点仰角的大小
17、分别是 和 ,若CD两点间距离为a,设计一种测量山高的方法,并计算出山的高度.例5.AB是底部点B不可到达的一座山,点A为山的最高点,点B为点A在水平面上的投影.在一条笔直的公路CD上的C,D两点处测得A点仰角的大小分别是 和 ,若CD两点间距离为a,设计一种测量山高的方法,并计算出山的高度.例5.AB是底部点B不可到达的一座山,点A为山的最高点,点B为点A在水平面上的投影.在一条笔直的公路CD上的C,D两点处测得A点仰角的大小分别是 和 ,若CD两点间距离为a,设计一种测量山高的方法,并计算出山的高度.例5.AB是底部点B不可到达的一座山,点A为山的最高点,点B为点A在水平面上的投影.在一条
18、笔直的公路CD上的C,D两点处测得A点仰角的大小分别是 和 ,若CD两点间距离为a,设计一种测量山高的方法,并计算出山的高度.例5.AB是底部点B不可到达的一座山,点A为山的最高点,点B为点A在水平面上的投影.在一条笔直的公路CD上的C,D两点处测得A点仰角的大小分别是 和 ,若CD两点间距离为a,设计一种测量山高的方法,并计算出山的高度.例5.AB是底部点B不可到达的一座山,点A为山的最高点,点B为点A在水平面上的投影.在一条笔直的公路CD上的C,D两点处测得A点仰角的大小分别是 和 ,若CD两点间距离为a,设计一种测量山高的方法,并计算出山的高度.例5.AB是底部点B不可到达的一座山,点A
19、为山的最高点,点B为点A在水平面上的投影.在一条笔直的公路CD上的C,D两点处测得A点仰角的大小分别是 和 ,若CD两点间距离为a,设计一种测量山高的方法,并计算出山的高度.例5.AB是底部点B不可到达的一座山,点A为山的最高点,点B为点A在水平面上的投影.在一条笔直的公路CD上的C,D两点处测得A点仰角的大小分别是 和 ,若CD两点间距离为a,设计一种测量山高的方法,并计算出山的高度.在ABC中,在ABC中,.在ABC中,.在ABD中,在ABC中,.在ABD中,.在ABC中,.在BCD中,在ABD中,.在ABC中,.在BCD中,.在ABD中,.所求三角形所求三角形条件不够所求三角形可求三角形
20、条件不够公共边所求三角形可求三角形条件不够公共边余弦定理例5.AB是底部点B不可到达的一座山,点A为山的最高点,点B为点A在水平面上的投影.在一条笔直的公路CD上的C,D两点处测得A点仰角的大小分别是 和 ,若CD两点间距离为a,设计一种测量山高的方法,并计算出山的高度.例5.AB是底部点B不可到达的一座山,点A为山的最高点,点B为点A在水平面上的投影.在一条笔直的公路CD上的C,D两点处测得A点仰角的大小分别是 和 ,若CD两点间距离为a,设计一种测量山高的方法,并计算出山的高度.在BCD中,在BCD中,由正弦定理 .可以计算出在BCD中,由正弦定理 .可以计算出或 .在BCD中,由正弦定理
21、 .可以计算出或 .所以在BCD中,由正弦定理 .可以计算出或 .所以或者 .在BCD中,由正弦定理 .所求三角形所求三角形条件不够所求三角形可求三角形条件不够公共边所求三角形可求三角形条件不够公共边正弦定理所求三角形所求三角形条件不够所求三角形可求三角形条件不够公共边所求三角形可求三角形条件不够公共边余弦定理正弦定理归纳总结所求三角形条件足够所求三角形条件足够所求三角形直角三角形条件足够所求三角形直角三角形其他三角形条件足够所求三角形直角三角形其他三角形余弦定理条件足够所求三角形直角三角形其他三角形余弦定理正弦定理条件足够所求三角形条件不够直角三角形其他三角形余弦定理正弦定理条件足够所求三角形可求三角形条件不够直角三角形其他三角形公共边余弦定理正弦定理条件足够所求三角形可求三角形条件不够直角三角形其他三角形公共边余弦定理正弦定理解决实际问题的步骤分析解决实际问题的步骤分析建模解决实际问题的步骤分析建模求解解决实际问题的步骤解决实际问题的步骤分析建模求解检验课后作业作业1.一艘船向正北航行,航行速度的大小为32.2 n mile/h,在A处看灯塔S在船的北偏东20的方向上.30min后,船航行到B处,在B处看灯塔在船的北偏东65的方向上.已知距离此灯塔6.5 n mile以外的海区为航行安全区域,这艘船可以继续沿正北方向航行吗？北SAB6520感谢聆听再见