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1、正弦定理与余弦定理的应用,高一年级数学,问题1请回顾、梳理解三角形的基本模型,解三角形,ASA,AAS,SSA,SAS,SSS,正弦定理,解三角形,ASA,AAS,SSA,SAS,SSS,余弦定理,正弦定理,唯一解,解三角形,ASA,AAS,SSA,SAS,SSS,余弦定理,正弦定理,唯一解,解三角形,ASA,AAS,SSA,SAS,SSS,余弦定理,唯一解,正弦定理,唯一解,解三角形,ASA,AAS,SSA,SAS,SSS,可能不唯一,余弦定理,唯一解,正弦定理,唯一解,解三角形,ASA,AAS,SSA,SAS,SSS,可能不唯一,余弦定理,唯一解,问题2请思考给出米尺和测量角度的工具，如何
2、测量河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离试说明测量方案与计算方法,一点不可达的两点间距离的测量,S,一点不可达的两点间距离的测量,S测量测量条件工具,测量方案,一点不可达的两点间距离的测量,S测量测量条件工具选点；测量方案,一点不可达的两点间距离的测量,S测量测量条件工具选点；ASA测量方案,一点不可达的两点间距离的测量,S,测量测量条件工具,正弦定理,内角和定理,选点；ASA,测量方案,计算方法,问题3请思考给出米尺和测量角度的工具，如何测量不可到达的两点间的距离,例1如图，故宫所示角楼，顶端与底部不能到达，不能直接测量假设给你米尺和测量角度的工具，思考如何在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度
3、，并写出方案，给出有关的计算方法,例1如图，故宫所示角楼，顶端与底部不能到达，不能直接测量假设给你米尺和测量角度的工具，思考如何在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度，并写出方案，给出有关的计算方法,分析：问题实质为用米尺和测量角度的工具，怎样得到不便到达的两点之间的距离在对面的岸边选定一点进行测量，问题转化为测量一点不可达的两点间距离,第一步：在对面的岸边选定一点C，用测量角度,解：测量方案如下，设角楼顶端为A，底部为BA,B,C,的仪器测量出ACB=目的：转化为测量两个一点不可达的两点间距离问题；在ACB中由余弦定理可算,第二步：,再选定一点D，用米尺测量出CD=m,目的：构造两个有公共边的三
4、角形，含有测量对象，计算一点不可达的两点间距离,A,B,D,C,m,第三步：,在BCD中，用测量角度仪器测量,出BCD=，BDC=目的：转化为ASA条件下的解三角,形问题；在BCD中，由正弦定理可以计算,A,B,D,C,m,第四步：,在ACD中，用测量角度仪器测量,出ACD=，ADC=目的：转化为ASA条件下的解三角,形问题；在ACD中，由正弦定理可以计算,A,B,D,C,m,第一步：选定一点C，测量ACB=；第二步：选定一点D，测量CD=m；,第三步：测量BCD=，BDC=；第四步：测量ACD=，ADC=,解：测量方案如下，设角楼顶端为A，底部为BA,B,D,C,m,解：在BCD中，有,A,
5、B,D,C,m,CBD,mBCsin()sin,即BC,msinsin(),解：在BCD中，有,A,B,D,C,m,CBD,mBCsin()sin,即BC,msinsin(),msinsin(),在ACD中，同理AC,解：在BCD中，有,CBD,mBCsin()sin,即BC,msinsin(),msinsin(),A,B,D,C,m,在ACB中，由余弦定理可得AB的长，AB2AC2BC22ACBCcos,在ACD中，同理AC,解：在BCD中，有,CBD,mBCsin()sin,即BC,msinsin(),在ACD中，同理AC,msinsin(),在ACB中，由余弦定理可得AB的长，AB2AC
6、2BC22ACBCcos,A,B,D,C,m,关注图中三角形为不在同一平面上的三角形；关注图中两个观测点，1个观测距离5个观测角的作用,反思,两点不可达的两点间距离的测量测量方案计算方案,反思,两点不可达的两点间距离的测量测量方案计算方案,不可测S,反思,一点不可达S,选点测A,两点不可达的两点间距离的测量测量方案计算方案,不可测S,选点测ASA,反思,一点不可达S,选点测A,两点不可达的两点间距离的测量测量方案计算方案不可测S,内角和定理,选点测ASA,反思,一点不可达S,选点测A,两点不可达的两点间距离的测量测量方案计算方案不可测S,内角和定理,选点测ASA,正弦定理,反思,一点不可达S,
7、选点测A,两点不可达的两点间距离的测量测量方案计算方案不可测S,内角和定理,选点测ASA,正弦定理,反思,一点不可达S,选点测A,两点不可达的两点间距离的测量测量方案计算方案不可测S余弦定理,例2如图所示，A，B是某沼泽地上不便到达的两点，C，D是可到达的两点，已知A，B，C，D都在水平面上，且已经测得ACB45BCD30,CDA45CD100m,BDA15求AB的长,例2如图所示，A，B是某沼泽地上不便到达的两点，C，D是可到达的两点，已知A，B，C，D都在水平面上，且已经测得ACB45BCD30,CDA45CD100m,BDA15求AB的长,分析：问题为平面上不便到达的两点之间的距离的测量
8、明确两观测点C，D，梳理数据,分析：问题为平面上不便到达的两点之间的距离的测量明确两观测点C，D，梳理数据(1)C点：ACB；D点：BCD，ACD；,分析：问题为平面上不便到达的两点之间的距离的测量明确两观测点C，D，梳理数据C点：ACB；D点：BCD，ACD；D点：ADB；C点：BCD，ACD,解：已知A，B，C，D都在水平面上，在BCD中，,BDCBDACDA60,CBD180BCDBDC90即，在RtBCD中，有BC100cos30503m,在ACD中，有,CAD60,sin45sin60,AC100,由正弦定理，得6,3,即AC100,在ACD中，有,CAD60,sin45sin60,
9、AC100,3,在ABC中，BC50由余弦定理,AB2AC2BC22ACBCcos45化简得AB212500解得AB501533,由正弦定理，得6,3,即AC100,反思：,ABD,AB,ABC,反思：,ABD,AB,ABC,AD,BD,ADB,反思：,ABD,AB,ABC,AD,BD,ADB,CAD,CBD,反思：,ABD,AB,ABC,AD,BD,ADB,CAD,CBD,ACDCD,ADC,反思：,ABD,AB,ABC,AD,BD,ADB,CAD,CBD,ACDCD,ADCBCDCDBDC,反思：第一，关注测量观点下数据的整理与分析；第二，关注基于解三角形元素间关系的分析；第三，关注空间图
10、形与平面图形的识别；第四，关注正、余弦定理及解直角三角形的综合应用,例3如图，据台风监测数据显示，当前台风中心位于海滨,判断城市A是否会受到上述台风的影响如果,30P,A60,城市A的东偏南60方向、距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北,30方向移动如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为1003km,会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由(将问题涉及范围内的地球表面看成平面.),例3如图，据台风监测数据显示，当前台风中心位于海滨,判断城市A是否会受到上述台风的影响如果,30P,A60,城市A的东偏南60方向、距城市A300km的海面点P处，并以20k
11、m/h的速度向西偏北,30方向移动如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为1003km,会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由(将问题涉及范围内的地球表面看成平面.),P,30,A60,分析：用数学语言描述城市A受到台风的影响问题“城市A受到台风的影响”，即城市A在以台风为中心，半径为1003km的的圆形区域内,设台风中心在某时刻到达位置为Q，则QA1003,分析：用数学语言描述城市A受到台风影响的时间,本题“城市A受到台风影响的时间”，即城市A进入台风影响区域以及离开台风影响区域的时间之差只需计算当,P,A60,QA=1003时，台风中心移动距离PQ，30为平面上不便到达的两
12、点之间的距离的问题,30P,A60,解：设台风中心在xh后到达位置Q，且AQ1003km,解：设台风中心在xh后到达位置Q，且AQ1003km,P,A60,Q30,解：设台风中心在xh后到达位置Q，且AQ1003km,P,在AQP中，APQ30，AP300km，PQ20 xkmA60,Q30,解：设台风中心在xh后到达位置Q，且AQ1003km,20 x,1003300sin30sinAQP,sinPAQ,在AQP中，APQ30，AP300km，PQ20 xkm,A,P,60,Q30,(法一)由正弦定理，得,解：设台风中心在xh后到达位置Q，且AQ1003km,1003300sin30,20
13、x,解得,sinAQP300sin30,sinPAQ3,2,1003,sinAQP,在AQP中，APQ30，AP300km，PQ20 xkm,所以AQP60或AQP120,A,P,60,Q30,(法一)由正弦定理，得,当AQP120时，此时PAQ30，,P,因此PQ20 x1003即x53A60,Q30,当AQP120时，此时PAQ30，,3,sin30,因此PQ20 x100,即x103,因此PQ20 x1003即x53当AQP60时，此时PAQ90，,A,60,Q30P,当AQP120时，此时PAQ30，,3,sin30,因此PQ20 x100,即x10,A,60,Q30P,3(Q),因此
14、PQ20 x1003即x53当AQP60时，此时PAQ90，,当AQP120时，此时PAQ30，,3,sin30,因此PQ20 x100,即x10,由图可知，城市A会在5,3h后受到影响，,1035353(h),持续时间为,A,30P,60,Q,3(Q),因此PQ20 x1003即x53当AQP60时，此时PAQ90，,解：设台风中心在xh后到达位置Q，且AQ1003km,在AQP中，APQ30，AP300km，PQ20 xkm,A,P,60,Q30,(法二)由余弦定理，得,解：设台风中心在xh后到达位置Q，且AQ1003km,在AQP中，APQ30，AP300km，PQ20 xkm,A,P,
15、60,Q30,(法二)由余弦定理，得AQ2AP2PQ22APPQcosAPQ化简，得PQ23003PQ600000,解：设台风中心在xh后到达位置Q，且AQ1003km,在AQP中，APQ30，AP300km，PQ20 xkm,A,30P,60,Q,(法二)由余弦定理，得AQ2AP2PQ22APPQcosAPQ化简，得PQ23003PQ600000解得PQ1003或PQ2003,3,解得x10,即城市A会在5,3h后受到影响，1035353(h),持续时间为,A,30P,60,Q,3(Q),3,x5,当PQ1003时，此时20 x1003解得当PQ2003时，此时20 x200,P,30,A6
16、0,分析：用数学语言描述城市A受到台风的影响问题“城市A受到台风的影响”，即城市A在以台风为中心，半径为1003km的的圆形区域内,设台风中心在某时刻到达位置为Q，则QA1003,A,P,60,Q30,解：设台风中心在xh后到达位置Q，,在AQP中，APQ30，AP300km，PQ20 xkm,(法三)由余弦定理，得AQ23002(20 x)2230020 xcos30,x2,代入化简153x1500,3,又城市A受到台风影响，则AQ100,A,P,60,Q30,解：设台风中心在xh后到达位置Q，在AQP中，APQ30，AP300km，PQ20 xkm,(法三)由余弦定理，得AQ23002(2
17、0 x)2230020 xcos30,x2,代入化简153x1500解得,又城市A受到台风影响，则AQ100,53x103,解：设台风中心在xh后到达位置Q，在AQP中，APQ30，AP300km，PQ20 xkm,(法三)由余弦定理，得AQ23002(20 x)2230020 xcos30,A,30P,60,Q,3(Q),x2,代入化简153x1500解得,又城市A受到台风影响，则AQ100,53x103,所以，城市A会受到影响，持续时间为53h,解：设台风中心在xh后到达位置Q，在AQP中，APQ30，AP300km，PQ20 xkm,(法三)由余弦定理，得AQ23002(20 x)223
18、0020 xcos30,A,30P,60,Q,3(Q),(2),A,P,30,60,Q,(Q),反思：用数学语言描述“城市A受到台风影响的时间”满足条件的台风中心移动距离有两解实质为,(3)PQ2300,3PQ600000,3,2,sinAQP,(1)hAPsin30150,平面上不便到达的两点之间的距离的测量hAQAP,课上小结不能到达底部的物体的高度问题不能到达的同一水平面上两点间的距离问题运动变化过程中两动点间的行程（距离）问题,1.如图，勘探人员朝一座山行进时，前后两次测得山顶的仰角分别为30和45，两个观测点C，D之间的距离为200m，求此山的高度AB（测量仪的高度忽略不计，A，B，C，D都在一个平面内，ABC是一个直角三角形）,课后作业,课后作业2.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D现测得BCD=，BDC=，CD=s，并在点C测得塔顶D的仰角为，求塔高AB,3.为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量已知四点A，B，M，N在同一个铅垂平面内飞机能够测量的数据有俯角和A，B之间的距离请设计一个方案，包括指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤,谢谢观看,