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1、高一年级 数学正弦定理、余弦定理的简单运用一、知识概要正弦定理余弦定理知识结构面积公式正弦定理余弦定理知识结构面积公式正弦定理余弦定理解三角形知识结构面积公式正弦定理余弦定理解三角形知识结构实际应用面积公式正弦定理余弦定理求相关几何量解三角形知识结构实际应用判断三角形形状相关最值问题面积公式正弦定理余弦定理求相关几何量解三角形知识结构实际应用判断三角形形状相关最值问题面积公式正弦定理余弦定理求相关几何量解三角形知识结构实际应用判断三角形形状相关最值问题一、正弦定理二、余弦定理重要定理一、正弦定理二、余弦定理重要定理一、正弦定理二、余弦定理重要定理一、正弦定理定理的功能：已知两角一边 重要定理一
2、、正弦定理定理的功能：已知两角一边 重要定理一、正弦定理定理的功能：已知两角一边 已知两边及一边对角重要定理解三角形解三角形角 为锐角时当 时，三角形无解；解三角形角 为锐角时当 时，三角形无解；当 时，三角形有唯一解；解三角形角 为锐角时当 时，三角形无解；当 时，三角形有唯一解；当 时，三角形有两解；解三角形角 为锐角时当 时，三角形无解；当 时，三角形有唯一解；当 时，三角形有两解；当 时，三角形有唯一解.角 为锐角时解三角形当 时，三角形无解；角 为直角时解三角形当 时，三角形无解；当 时，三角形有唯一解.角 为直角时解三角形当 时，三角形无解；角 为钝角时解三角形当 时，三角形无解；
3、当 时，三角形有唯一解.角 为钝角时解三角形一、正弦定理定理的功能：已知两边及夹角 重要定理一、正弦定理定理的功能：已知两边及夹角 重要定理一、正弦定理定理的功能：已知两边及夹角 重要定理一、正弦定理定理的功能：已知两边及夹角 重要定理一、正弦定理定理的功能：已知两边及夹角 重要定理一、正弦定理定理的功能：已知两边及夹角 重要定理一、正弦定理定理的功能：已知两边及夹角 重要定理正弦定理不够方便二、余弦定理重要定理公式功能：已知两边及夹角 重要定理公式功能：已知两边及一边对角 重要定理公式功能：已知两边及一边对角 重要定理公式功能：已知两边及一边对角 重要定理公式功能：已知两边及一边对角 重要定
4、理公式功能：已知两角及一边 重要定理公式功能：已知两角及一边 重要定理公式功能：已知两角及一边 重要定理余弦定理不够方便公式功能：已知三边重要定理公式功能：已知三边重要定理公式功能：已知三边重要定理公式功能：已知三边 重要定理定理小结已知两角及一边已知三边已知两边及夹角已知两边及一边对角余弦定理正弦定理定理小结已知两角及一边已知三边已知两边及夹角已知两边及一边对角余弦定理正弦定理定理小结已知两角及一边已知三边已知两边及夹角已知两边及一边对角余弦定理正弦定理定理小结已知两角及一边已知三边已知两边及夹角已知两边及一边对角余弦定理正弦定理定理小结已知两角及一边已知三边已知两边及夹角已知两边及一边对角
5、余弦定理正弦定理定理小结已知两角及一边已知三边已知两边及夹角已知两边及一边对角余弦定理正弦定理二、典型例题 例：在 中，已知 ，求边 的值.例：在 中，已知 ，求边 的值.【分析】例：在 中，已知 ，求边 的值.【分析】已知两角及一边正弦定理 例：在 中，已知 ，求边 的值.【分析】已知两角及一边求边b求边c 例：在 中，已知 ，求边 的值.【分析】已知两角及一边求边b求角C求边c 例：在 中，已知 ，求边 的值.【分析】已知两角及一边求边b求角C求边c 例：在 中，已知 ，求边 的值.【分析】已知两角及一边求角C求边c内角和定理 例：在 中，已知 ，求边 的值.【分析】已知两角及一边正弦定理
6、求角C求边c内角和定理 例：在 中，已知 ，求边 的值.【解答】例：在 中，已知 ，求边 的值.【解答】因为 ，例：在 中，已知 ，求边 的值.【解答】因为 ，根据正弦定理 ，例：在 中，已知 ，求边 的值.【解答】因为 ，根据正弦定理 ，得 .例：在 中，已知 ，求边 的值.【解答】因为 ，根据正弦定理 ，得 .解得 .【小结】已知两角及一边正弦定理内角和定理【小结】已知两角及一边正弦定理求第三角内角和定理【小结】已知两角及一边正弦定理求第三角求其它边内角和定理 例：在 中，已知 ，求角 的值.例：在 中，已知 ，求角 的值.【分析】已知三边求角C 例：在 中，已知 ，求角 的值.【分析】已
7、知三边余弦定理求角C 例：在 中，已知 ，求角 的值.【分析】已知三边余弦定理求角C 例：在 中，已知 ，求角 的值.【解答】例：在 中，已知 ，求角 的值.【解答】因为 ，所以根据余弦定理得 .例：在 中，已知 ，求角 的值.【解答】因为 ，所以根据余弦定理得 .因为 ，解得 .【小结】已知三边余弦定理【小结】已知三边求任意角余弦定理 例：在 中，已知 ，求边 的值.例：在 中，已知 ，求边 的值.【分析】已知两边及一边对角正弦定理余弦定理 例：在 中，已知 ，求边 的值.【分析】已知两边及一边对角正弦定理 例：在 中，已知 ，求边 的值.【分析】求角B已知两边及一边对角正弦定理 例：在 中
8、，已知 ，求边 的值.【分析】内角和定理求角B求角C已知两边及一边对角正弦定理 例：在 中，已知 ，求边 的值.【分析】内角和定理求角B求边c求角C已知两边及一边对角正弦定理 例：在 中，已知 ，求边 的值.【解答】由 ，例：在 中，已知 ，求边 的值.【解答】由 ，可得 ，所以 .例：在 中，已知 ，求边 的值.【解答】由 ，可得 ，所以 .因为 ，所以 .例：在 中，已知 ，求边 的值.【解答】由 ，可得 ，所以 .因为 ，所以 .解得 .所以 .例：在 中，已知 ，求边 的值.【解答】由 ，可得 ，所以 .因为 ，所以 .解得 .所以 .例：在 中，已知 ，求边 的值.【分析】已知两边及
9、一边对角余弦定理 例：在 中，已知 ，求边 的值.【分析】已知两边及一边对角余弦定理 例：在 中，已知 ，求边 的值.【分析】求边c已知两边及一边对角余弦定理 例：在 中，已知 ，求边 的值.【解答】由余弦定理 ，例：在 中，已知 ，求边 的值.【解答】由余弦定理 ，代入数值 ，例：在 中，已知 ，求边 的值.【解答】由余弦定理 ，代入数值 ，得 .例：在 中，已知 ，求边 的值.【解答】由余弦定理 ，代入数值 ，得 .因为 ，所以 .例：在 中，已知 ，求边 的值.【解答】由余弦定理 ，代入数值 ，得 .因为 ，所以 .【小结】已知两边及一边对角正弦定理余弦定理【小结】已知两边及一边对角正弦
10、定理求第三边余弦定理【小结】已知两边及一边对角求其它角求第三边正弦定理余弦定理 例：在 中，求角 的值.例：在 中，求角 的值.【分析】已知一组边角关系求角B 例：在 中，求角 的值.【分析】已知一组边角关系边角转化求角B 例：在 中，求角 的值.【分析】已知一组边角关系正弦定理边角转化余弦定理求角B 例：在 中，求角 的值.【分析】已知一组边角关系正弦定理边角转化求角B 例：在 中，求角 的值.【分析】三个角的关系已知一组边角关系正弦定理边角转化求角B 例：在 中，求角 的值.【解答】例：在 中，求角 的值.【解答】由正弦定理得 ，.例：在 中，求角 的值.【解答】由正弦定理得 ，所以 .例
11、：在 中，求角 的值.【解答】由正弦定理得 ，所以 .例：在 中，求角 的值.【解答】由正弦定理得 ，所以 .化简得 .例：在 中，求角 的值.【解答】即 .例：在 中，求角 的值.【解答】即 .因为 ，所以 .例：在 中，求角 的值.【解答】即 .因为 ，所以 .所以 .即 .例：在 中，求角 的值.【解答】即 .因为 ，所以 .所以 .即 .因为 ，所以 .例：在 中，求角 的值.【分析】已知一组边角关系边角转化余弦定理求角B 例：在 中，求角 的值.【分析】三边关系已知一组边角关系边角转化余弦定理求角B 例：在 中，求角 的值.【解答】例：在 中，求角 的值.【解答】由余弦定理可得 ，整
12、理得 .例：在 中，求角 的值.【解答】由余弦定理可得 ，整理得 .所以 .例：在 中，求角 的值.【解答】由余弦定理可得 ，整理得 .所以 .因为 ，所以 .【小结】已知边角关系正弦定理边角转化余弦定理解三角形【小结】已知边角关系正弦定理边角转化余弦定理三边与三角正弦整体互化解三角形单角余弦化边【小结】已知边角关系正弦定理边角转化余弦定理三边与三角正弦整体互化解三角形单角余弦化边 例：在 中，求角 的值.例：在 中，求角 的值.【分析】已知三个角的正弦比求角C 例：在 中，求角 的值.【分析】已知三个角的正弦比求角C三边比 例：在 中，求角 的值.【分析】已知三个角的正弦比求角C三边比正弦定
13、理 例：在 中，求角 的值.【分析】已知三个角的正弦比求角C三边比正弦定理 例：在 中，求角 的值.【分析】已知三个角的正弦比求角C正弦定理三边比余弦定理 例：在 中，求角 的值.【解答】例：在 中，求角 的值.【解答】因为 ，所以根据正弦定理得 .例：在 中，求角 的值.【解答】因为 ，所以根据正弦定理得 .不妨设 ，例：在 中，求角 的值.【解答】因为 ，所以根据正弦定理得 .不妨设 ，所以 ，.例：在 中，求角 的值.【解答】由余弦定理可得，例：在 中，求角 的值.【解答】由余弦定理可得，.例：在 中，求角 的值.【解答】由余弦定理可得，.因为 ，所以 .【小结】已知三个角的正弦比求任意
14、角正弦定理三边比余弦定理 例：在 中，已知 ，求边 的值.例：在 中，已知 ，求边 的值.【分析】例：在 中，已知 ，求边 的值.【分析】求边b已知两个边的等式及一个角 例：在 中，已知 ，求边 的值.【分析】求边b已知两个边的等式及一个角余弦定理 例：在 中，已知 ，求边 的值.【分析】求边b已知两个边的等式及一个角余弦定理 例：在 中，已知 ，求边 的值.【分析】求边b已知两个边的等式及一个角余弦定理 例：在 中，已知 ，求边 的值.【分析】求边b已知两个边的等式及一个角余弦定理 例：在 中，已知 ，求边 的值.【分析】求边b已知两个边的等式及一个角余弦定理 例：在 中，已知 ，求边 的值
15、.【解答】例：在 中，已知 ，求边 的值.【解答】根据余弦定理 ，可得 ，解得 .【小结】已知两组关于边的等式及一角求任意边【小结】已知两组关于边的等式及一角求任意边已知两边及一角【小结】已知两组关于边的等式及一角求任意边余弦定理已知两边及一角【小结】已知两组关于边的等式及一角求任意边余弦定理已知两边及一角方程思想 例：在锐角 中，求角 的值.例：在锐角 中，求角 的值.【分析】已知条件结构特征不明显 例：在锐角 中，求角 的值.【分析】已知条件结构特征不明显正弦定理边角转化余弦定理 例：在锐角 中，求角 的值.【分析】已知条件结构特征不明显正弦定理边角转化余弦定理寻找方向 例：在锐角 中，求
16、角 的值.【分析】已知条件结构特征不明显边角转化余弦定理寻找方向 例：在锐角 中，求角 的值.【解答】例：在锐角 中，求角 的值.【解答】因为 ，例：在锐角 中，求角 的值.【解答】因为 ，由余弦定理可得 .例：在锐角 中，求角 的值.【解答】因为 ，所以 .例：在锐角 中，求角 的值.【解答】因为 ，所以 .可得 .例：在锐角 中，求角 的值.【分析】已知条件结构特征不明显边角转化余弦定理已知两边及一边对角 例：在锐角 中，求角 的值.【分析】已知条件结构特征不明显边角转化余弦定理已知两边及一边对角求角 例：在锐角 中，求角 的值.【分析】已知条件结构特征不明显正弦定理边角转化余弦定理已知两
17、边及一边对角求角 例：在锐角 中，求角 的值.【解答】由正弦定理可得 ，例：在锐角 中，求角 的值.【解答】由正弦定理可得 ，所以 .例：在锐角 中，求角 的值.【解答】由正弦定理可得 ，所以 .由 为锐角，可得 .【小结】已知条件结构特征不明显【小结】已知条件结构特征不明显正弦定理边角转化余弦定理【小结】已知条件结构特征不明显正弦定理边角转化余弦定理条件结构特征明显【小结】已知条件结构特征不明显正弦定理边角转化余弦定理条件结构特征明显解三角形三、课堂小结课堂小结 正弦定理余弦定理课堂小结 正弦定理余弦定理具体问题课堂小结 正弦定理余弦定理具体问题分析条件课堂小结 正弦定理余弦定理解三角形具体问题分析条件课堂小结 正弦定理边角转化余弦定理解三角形具体问题分析条件课堂小结 正弦定理边角转化余弦定理等价条件解三角形具体问题分析条件课堂小结 正弦定理边角转化余弦定理等价条件解三角形具体问题分析条件课堂小结 正弦定理边角转化余弦定理等价条件解三角形具体问题分析条件四、课后作业（1）在 中，求角 的值.（2）在 中，求角 的值.