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1、考点突破练9概率与统计的基本计算一、单项选择题1.(2022安徽淮南二模)盒中装有形状大小相同的球6个,其中红球3个,编号为1,2,3,蓝球3个,编号为4,5,6,从中取2球,则两球颜色不同,且编号之和不小于7的概率为()A.15B.25C.310D.452.(2022贵州毕节三模(理)已知60个产品中,有35个产品长度合格,45个产品质量合格,20个产品长度和质量都合格,现任取一个产品,若它的质量合格,则它的长度也合格的概率为()A.25B.47C.49D.793.(2022福建龙岩一模)某制药企业对某种疫苗开展临床接种试验,若使用该疫苗后的抗体呈阳性,则认为该疫苗有效.该企业对参与试验的1
2、 000名受试者的年龄和抗体情况进行统计,结果如下图表所示:年龄20,30)30,40)40,50)50,60)60,70)70,80频率0.200.300.100.200.100.10则下列结论正确的是()A.在受试者中,50岁以下的人数为700B.在受试者中,抗体呈阳性的人数为800C.受试者的平均年龄为45岁D.受试者的疫苗有效率为80%4.(2022山东泰安肥城模拟)2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”凭借憨态可掬的熊猫形象备受追捧,引来国内外粉丝争相购买,竟出现了“一墩难求”的局面.已知某工厂生产一批冰墩墩,产品合格率为90%.现引进一种设备对产品质量进行检测,但该设备存在缺陷,在产
3、品为次品的前提下用该设备进行检测,检测结果有90%的可能为不合格,但在该产品为正品的前提下,检测结果也有5%的可能为不合格.现从生产的冰墩墩中任取一件用该设备进行检测,则检测结果为合格的概率是()A.0.805B.0.815C.0.865D.0.8855. (2022广东广州一模)甲、乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图,中间一列的数字表示零件个数的十位数,两边的数字表示零件个数的个位数,则下列结论正确的是()A.在这5天中,甲、乙两人加工零件数的极差相同B.在这5天中,甲、乙两人加工零件数的中位数相同C.在这5天中,甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数D.在这5天中,甲加工零件数
4、的方差小于乙加工零件数的方差6.(2022山东济南一模)我们通常所说的ABO血型系统是由A,B,O三个等位基因决定的,每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成,且两个等位基因分别来自父亲和母亲,其中AA,AO为A型血,BB,BO为B型血,AB为AB型血,OO为O型血.比如:父亲和母亲的基因型分别为AO,AB,则孩子的基因型等可能的出现AA,AB,AO,BO四种结果.已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB型,不考虑基因突变,则小明是A型血的概率为()A.116B.18C.14D.127.(2022河北唐山一模)有一组互不相等的数组成的样本数据x1,x2,x9,其平均数为a(ax
5、i,i=1,2,9),若插入一个数a,得到一组新的数据,则()A.两组样本数据的平均数不同B.两组样本数据的中位数相同C.两组样本数据的方差相同D.两组样本数据的极差相同二、多项选择题8.(2022河北邯郸模拟)我国小麦育种技术和水平已经达到国际先进水平,研究发现某品种小麦麦穗长度X cm近似服从正态分布N(11.24,1.132).从该品种小麦中任取100株,估计其麦穗长度,则下列说法正确的是()(附:P(-2X+2)0.954 5,P(-3X+3)0.997 3)A.100株小麦麦穗长度的均值约为11.24 cmB.100株小麦中约有2株小麦的麦穗长度大于13.5 cmC.100株小麦中没
6、有麦穗长度大于14.63 cm的小麦D.若随机变量Y表示100株小麦中麦穗长度大于13.5 cm的株数,则Y近似服从二项分布B(100,0.045 5)9.(2022广东广州二模)抛掷两枚质地均匀的骰子,记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A,“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B,则下列结论中正确的是()A.事件A与事件B互为对立事件B.事件A与事件B相互独立C.P(B)=2P(A)D.P(A)+P(B)=110.(2022山东淄博三模)甲箱中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙箱中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱,分别以A1,A2和A3表示由甲箱取出的球是红
7、球、白球和黑球的事件;再从乙箱中随机取出一球,以B表示由乙箱取出的球是红球的事件,则下列结论正确的是()A.事件B与事件Ai(i=1,2,3)相互独立B.P(A1B)=522C.P(B)=25D.P(A2|B)=845三、填空题11.(2022山东潍坊二模)设随机变量X服从标准正态分布XN(0,1),那么对于任意a,记(a)=P(Xa),已知(a)=0.7,则P(|X|a)=.12.(2022福建漳州三模)古时候“五花”常指金菊花、木棉花、水仙花、火棘花、土牛花比喻的五种职业,“八门”则指巾、皮、彩、挂、平、团、调、聊这八种职业,现从这13种职业中任取两种职业,则这两种职业中至少有一种职业是“
8、五花”的概率是.13.(2022广东茂名五校联考)田忌赛马的故事出自司马迁的史记,话说齐王,田忌分别有上、中、下等马各一匹,赛马规则是:一场比赛需要比赛三局,每匹马都要参赛,且只能参赛一局,最后以获胜局数多者为胜.记齐王、田忌的马匹分别为A1,A2,A3和B1,B2,B3,每局比赛之间都是相互独立的,而且不会出现平局.用PAiBj(i,j1,2,3)表示马匹Ai与Bj比赛时齐王获胜的概率,若PA1B1=0.8,PA1B2=0.9,PA1B3=0.95;PA2B1=0.1,PA2B2=0.6,PA2B3=0.9;PA3B1=0.09,PA3B2=0.1,PA3B3=0.6,则一场比赛共有种不同的
9、比赛方案;在上述所有的方案中,有一种方案田忌获胜的概率最大,此概率的值为.考点突破练9概率与统计的基本计算1.B解析 记“从盒中取2球,两球颜色不同,且编号之和不小于7”为事件A,则P(A)=1+C21+C31C62=25.2.C解析 设事件A表示“产品长度合格”,事件B表示“产品质量合格”,则事件AB表示“产品质量、长度都合格”,则P(B)=4560=34,P(AB)=2060=13,所以P(A|B)=P(AB)P(B)=1334=49.3.C解析 50岁以下共1 000(0.2+0.3+0.1)=600人,A选项错误.在受试者中,抗体呈阳性的人数为6000.9+4000.85=880,B选
10、项错误.受试者的平均年龄为250.2+350.3+450.1+550.2+650.1+750.1=45,C选项正确.受试者的疫苗有效率为8801 000100%=88%,D选项错误.4.C解析 设事件B=“任取一件产品用该设备进行检测,检测结果为合格”,事件A=“抽取的该产品为正品”,事件A=“抽取的该产品为次品”,则P(A)=0.9,P(A)=0.1,P(B|A)=0.95,P(B|A)=0.1,由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.90.95+0.10.1=0.865.5.C解析 甲在5天中每天加工零件的个数为18,19,23,27,28;乙在5天中每天加
11、工零件的个数为17,19,21,23,25.对于A,甲加工零件数的极差为28-18=10,乙加工零件数的极差为25-17=8,故A错误;对于B,甲加工零件数的中位数为23,乙加工零件数的中位数为21,故B错误;对于C,甲加工零件数的平均数为18+19+23+27+285=23,乙加工零件数的中位数为17+19+21+23+255=21,故C正确;对于D,甲加工零件数的方差为52+42+02+42+525=16.4,乙加工零件数的方差为42+22+02+22+425=8,故D错误.6.C解析 因为小明的爷爷、奶奶的血型均为AB型,则小明父亲的血型可能是AA,AB,BB,它们对应的概率分别为14,
12、12,14.当小明父亲的血型是AA时,因为其母亲的血型为AB,则小明的血型可能是AA,AB,它们的概率均为12,此时小明是A型血的概率为1412=18;当小明父亲的血型是AB时,因为其母亲的血型为AB,则小明的血型是AA的概率为14,此时小明是A型血的概率为1214=18;当小明父亲的血型是BB时,因为其母亲的血型为AB,则小明的血型不可能是AA,所以小明是A型血的概率为18+18=14,即C正确.7.D解析 由已知可得x1+x2+x9=9a.对于A选项,新数据的平均数为110(9a+a)=a,与原数据的平均数相等,A错误;对于B选项,不妨设x1x2x9,则原数据的中位数为x5,若ax5,则中
13、位数为12(maxa,x4+x5)x5,则中位数为12(x5+mina,x6)x5,B错误;对于C选项,设原样本数据的方差为s2,新数据的方差为s2,新数据的方差为s2=110(x1-a)2+(x2-a)2+(x9-a)2+(a-a)219(x1-a)2+(x2-a)2+(x9-a)2=s2,C错误;对于D选项,不妨设x1x2x9,则x1a13.5)1-0.954 52=0.022 75,因此随机变量Y近似服从B(100,0.022 75),从而100株小麦中约有1000.022 752株小麦的麦穗长度大于13.5 cm,故B正确,D错误;由于P(7.85X14.63)0.997 3,根据3原
14、则,麦穗长度大于14.63 cm是小概率事件,但是也有可能发生,所以C错误.9.BCD解析 依题意,第一枚骰子出现的点数小于3与第二枚骰子出现的点数不小于3可以同时发生,即事件A与事件B不互斥,则事件A与事件B不是对立事件,A不正确;显然有P(A)=26=13,P(B)=46=23,抛掷两枚质地均匀的骰子的试验的所有结果:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),
15、(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个,它们等可能,事件AB所含的结果有(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),共8个,则有P(AB)=836=1323=P(A)P(B),即事件A与事件B相互独立,B正确;显然P(B)=23=2P(A),P(A)+P(B)=13+23=1,C,D都正确.10.BD解析 由题意P(A1)=12,P(A2)=15,P(A3)=310,若A1发生,此时乙袋有5个红球,3个白球和3个黑球,
16、则P(B|A1)=511,若A2发生,此时乙袋有4个红球,4个白球和3个黑球,则P(B|A2)=411,若A3发生,此时乙袋有4个红球,3个白球和4个黑球,则P(B|A3)=411,所以P(A1B)=P(B|A1)P(A1)=522,B正确;P(A2B)=P(B|A2)P(A2)=455,P(A3B)=P(B|A3)P(A3)=655,P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=922,C错误;P(A1)P(B)P(A1B),P(A2)P(B)P(A2B),P(A3)P(B)P(A3B),A错误;P(A2|B)=P(A2B)P(B)=P(B|A2)P
17、(A2)P(B)=845,D正确.11.0.4解析 由题可知,P(|X|a)=P(-aXa)=1-21-(a)=1-2(1-0.7)=0.4.12.2539解析 从这13种职业中任取两种职业有C132=78种不同的选法.这两种职业都是“八门”的选法有C82=28,所以这两种职业中至少有一种职业是“五花”的概率是P=1-2878=2539.13.60.819解析 假设齐王马匹的出场顺序不动为A1,A2,A3,则田忌的马匹有A33=6种不同的比赛方案,故所有的比赛方案有6种,即(A1B1,A2B2,A3B3),(A1B1,A2B3,A3B2),(A1B2,A2B1,A3B3),(A1B2,A2B3,A3B1),(A1B3,A2B2,A3B1),(A1B3,A2B1,A3B2).齐王的上等马A1对田忌的下等马B3,齐王的中等马A2对田忌的上等马B1,齐王的下等马A3对田忌的中等马B2时,田忌获胜的概率最大,即采用方案(A1B3,A2B1,A3B2).记田忌三局全胜和恰胜两局的概率分别为P1,P2,P1=0.050.90.9=0.040 5,P2=0.050.90.12+0.950.90.9=0.778 5,所以概率值为P1+P2=0.819.