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1、考点突破练10概率与统计的综合问题1.(2022广西南宁一模)某市公安交管部门曾于2017年底公布了一组统计数据:一年来全市范围内共发生涉及电动自行车的交通事故(一般程序)共3 558起,造成326人死亡(因颅脑损伤导致死亡占81.2%),死亡人数中有263人未佩戴头盔(占80.7%).驾乘电动自行车必须佩戴头盔,既是守法的体现,也是对家庭和社会负责的表现.该市经过长期开展安全教育,取得了一定的效果.表一是该市某主干路口连续5年监控设备抓拍到的驾乘人员未佩戴头盔的统计数据:表一年度20172018201920202021年度序号x12345未佩戴头盔人数y1 2501 2001 0109208
2、70(1)请利用表一数据求未佩戴头盔人数y与年度序号x之间的经验回归方程y=bx+a,并预测该路口2022年驾乘人员未佩戴头盔的人数;(2)交管部门从20172021年在该路口发生涉及电动自行车的交通事故案例中随机抽取了50起作为样本制作出表二:类别未佩戴头盔佩戴头盔合计伤亡61016无伤亡43034合计104050依据=0.05的独立性检验,能否认为驾乘电动自行车未佩戴头盔的行为与事故伤亡有关?附:参考公式及数据:b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2,a=y-bx,i=15xiyi=14 710;2=n(ad-bc)2(a
3、+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.0.100.050.010.005x2.7063.8416.6357.8792.(2022山东滨州二模)新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车,被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力.在当今提倡全球环保的前提下,新能源汽车越来越受到消费者的青睐,新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标.某车企随机调查了今年3月份购买本车企生产的汽车的100位车主,经统计其购车种类与性别情况如下表:单位:人类别购置新能源汽车购置传统燃油汽车合计男性501060女性251540合计7525100(1)根据表中数据,在犯错误
4、的概率不超过0.05的前提下,是否可以认为购车种类与性别有关;(2)用样本估计总体,用本车企售出汽车样本的频率代替售出汽车的概率,从该车企今年3月份售出的汽车中,随机抽取3辆汽车,设被抽取的3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为X,求X的分布列及数学期望.附:2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.0.100.050.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.8283.(2022河北张家口一模)2021年12月某地爆发了疫情,医护人员对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者,平均分成A,B两组,A组服用甲种中药,
5、B组服用乙种中药.服药一个疗程后,A组中每人康复的概率都为1315,B组3人康复的概率分别为910,34,34.(1)设事件C表示A组中恰好有1人康复,事件D表示B组中恰好有1人康复,求P(CD);(2)若服药一个疗程后,每康复1人积2分,假设认定:积分期望值越高药性越好,请问甲、乙两种中药哪种药性更好?4.(2022山东烟台三模)当下,大量的青少年沉迷于各种网络游戏,极大地毒害了青少年的身心健康.为了引导青少年抵制不良游戏,适度参与益脑游戏,某游戏公司开发了一款益脑游戏,在内测时收集了玩家每一关的平均过关时间,如下表:关卡x123456平均过关时间y/秒5078124121137352计算得
6、到一些统计量的值为i=16ui=28.5,i=16xiui=106.05,其中,ui=ln yi.(1)若用模型y=aebx拟合y与x的关系,根据提供的数据,求出y与x的经验回归方程;(2)制定游戏规则如下:玩家在每关的平均过关时间内通过可获得积分2分并进入下一关,否则获得-1分且该轮游戏结束.甲通过练习,前3关都能在平均时间内过关,后面3关能在平均时间内通过的概率均为45,若甲玩一轮此款益脑游戏,求“甲获得的积分X”的分布列和数学期望.参考公式:对于一组数据(xi,yi)(i=1,2,3,n),其经验回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=i=1nxiyi-nx yi=1nx
7、i2-nx2,a=y-bx.5.(2022辽宁沈阳三模)某学校最近考试频繁,为了减轻同学们的学习压力,班上决定进行一次减压游戏,班主任把8个小球(只有颜色不同)放入一个袋子里,其中白色球与黄色球各3个,红色球与绿色球各1个,现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛,摸到白球每个记1分,黄球每个记2分,红球每个记3分,绿球每个记4分,规定摸球人得分不低于8分为获胜,否则为负.并规定如下:一个人摸球,另一人不摸球;摸出的球不放回;摸球的人先从袋子中摸出1球,若摸出的是绿色球,则再从袋子里摸出2个球;若摸出的不是绿色球,则再从袋子里摸出3个球,摸球人的得分为两次摸出的球的记分之和.(1)若由甲摸球,如果甲先
8、摸出了绿色球,求该局甲获胜的概率;(2)若由乙摸球,如果乙先摸出了红色球,求该局乙得分的分布列和数学期望E().考点突破练10概率与统计的综合问题1.解 (1)x=1+2+3+4+55=3,y=1 250+1 200+1 010+920+8705=1 050,b=14 710-531 0501+4+9+16+25-532=-104,a=y-bx=1 050+1043=1 362,所以y=-104x+1 362.当n=6时,预测值为-1046+1 362=738人.(2)零假设为H0:驾乘电动自行车未佩戴头盔的行为与事故伤亡无关.2=50(630-410)2104016344.5043.841=
9、x0.05,所以依据=0.05的独立性检验,推断H0不成立,即认为驾乘电动自行车未佩戴头盔的行为与事故伤亡有关,此推断犯错误的概率不超过0.05.2.解 (1)设零假设为H0:购车种类与性别无关,根据数表可得2=100(1550-2510)275256040=5093.841=x0.05,所以零假设H0不成立,即在犯错误的概率不超过0.05的前提下,可以认为购车种类与性别有关.(2)随机抽取1辆汽车属于传统燃油汽车的概率为25100=14,被抽取的3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为X,X的可能值为0,1,2,3,依题意,XB3,14,P(X=0)=C30140343=2764,P(X=1)=C
10、31141342=2764,P(X=2)=C32142341=964,P(X=3)=C33143340=164,所以X的分布列为X0123P27642764964164X的数学期望E(X)=314=34.3.解 (1)依题意有,P(C)=C3113151-13152=521 125,P(D)=9101414+110C211434=332.又事件C与D相互独立,则P(CD)=P(C)P(D)=521 125332=133 000,所以P(CD)=133 000.(2)设A组中服用甲种中药康复的人数为X1,则X1B3,1315,所以E(X1)=31315=135.设A组的积分为X2,则X2=2X1
11、,所以E(X2)=2E(X1)=265.设B组中服用乙种中药康复的人数为Y1,则Y1的可能取值为0,1,2,3,P(Y1=0)=1101414=1160,P(Y1=1)=9101414+110C211434=15160,P(Y1=2)=C219103414+1103434=63160,P(Y1=3)=9103434=81160,故Y1的分布列为Y10123P1160151606316081160所以E(Y1)=01160+115160+263160+381160=384160=125,设B组的积分为Y2,则Y2=2Y1,所以E(Y2)=E(2Y1)=2E(Y1)=245,因为265245,所以
12、甲种中药药性更好.4.解 (1)因为y=aebx两边取对数可得ln y=ln(aebx)=ln a+ln ebx,即ln y=ln a+bx,令ui=ln yi,所以u=bx+ln a,由u=16i=16ui=4.75,x=16(1+2+3+4+5+6)=3.5,i=1nxi2=12+22+32+42+52+62=91.所以b=i=1nxiui-nx ui=1nxi2-nx2=106.05-63.54.7591-63.52=0.36,又u=bx+ln a,即4.75=0.363.5+ln a,所以ln a=3.49,所以a=e3.49.所以y关于x的经验回归方程为y=e0.36x+3.49.(
13、2)由题知,甲获得的积分X的所有可能取值为5,7,9,12,所以P(X=5)=15,P(X=7)=4515=425,P(X=9)=45215=16125,P(X=12)=453=64125,所以X的分布列为X57912P154251612564125所以E(X)=515+7425+916125+1264125=1 177125.5.解 (1)记“甲第一次摸出了绿色球,甲获胜”为事件A,则P(A)=C11C61+C32C72=921=37.(2)如果乙第一次摸出了红色球,则可以再从袋中摸出3个球,则得分情况有6分,7分,8分,9分,10分,11分,P(=6)=C33C73=135,P(=7)=C32C31C73=935,P(=8)=C31C32C73=935,P(=9)=C32C11+C33C73=435,P(=10)=C31C11C31C73=935,P(=11)=C32C11C73=335,所以的分布列为P67891011135935935435935335所以的数学期望E()=6135+7935+8935+9435+10935+11335=607.