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1、考点突破练2三角恒等变换与解三角形一、单项选择题1.(2021全国乙文6)cos212-cos2512=()A.12B.33C.22D.322.(2022山东济南一模)已知sin+4=-32,则sin 2的值为()A.12B.-12C.32D.-323.(2022福建四市第一次质检)某学生在“捡起树叶树枝,净化校园环境”的志愿活动中拾到了三支小树枝(视为三条线段),想要用它们作为三角形的三条高线制作一个三角形.经测量,其长度分别为3 cm,4 cm,6 cm,则()A.能作出两个锐角三角形B.能作出一个直角三角形C.能作出一个钝角三角形D.不能作出这样的三角形4.(2022湖南长郡中学高三检测
2、)设sin 20=m,cos 20=n,化简1+tan101-tan10-2cos70cos50=()A.nmB.-mnC.mnD.-nm5.(2022湖北襄阳高三期末)在ABC中,AC=22,BC=4,则角B的最大值为()A.4B.3C.2D.66.(2022江苏海安高级中学二模)设M,N为某海边相邻的两座山峰,到海平面的距离分别为100米,50米.现欲在M,N之间架设高压电网,须计算M,N之间的距离.勘测人员在海平面上选取一点P,利用测角仪从P点测得的M,N点的仰角分别为30,45,并从P点观测到M,N点的视角为45,则M,N之间的距离为()A.5010米B.5014米C.5022米D.5
3、026米7.(2022福建晋江模拟)若sin 2=55,sin(-)=1010,且4,2,32,则+的值是()A.74B.94C.54或74D.74或948.(2022陕西教学质量检测二)圭表(如图甲)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器,它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时,日影便会投影在圭面上,圭面上日影长度最长的那一天定为冬至,日影长度最短的那一天定为夏至.图乙是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图,已知北京冬至正午太阳高度角大约(即ABC)为30,夏至正午太阳高度角(即ADC)大约为
4、75,圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为a,则表高(即AC的长)为()甲乙A.34aB.14aC.1+34aD.3-14a二、多项选择题9.(2022广东深圳高三检测)在ABC中,下列命题正确的是()A.若AB,则sin Asin BB.若sin 2A=sin 2B,则ABC一定为等腰三角形C.若a2+b2=c2,则ABC一定为直角三角形D.若三角形的三边满足a2+b2c2,则此三角形的最大角为钝角10.(2022湖北八市高三联考)将函数f(x)=2cos2xsin +sin 2xcos -sin 的图象向左平移6个单位长度后,与函数g(x)=cosx-3的图象重合,则的值可能为(
5、)A.-32B.-3C.-6D.2311.(2022广东茂名模拟)我国古代著名的数学家赵爽在周髀算经中利用一副“弦图”,根据面积关系给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”.如图1,它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形ABC拼成的一个大等边三角形ABC.对于图2,下列结论正确的是()图1图2A.这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形B.若BB=3,sinABB=5314,则AB=2C.若AB=2AB,则AB=5BBD.若A是AB的中点,则三角形ABC的面积是三角形ABC面积的7倍三、填空题12.(20
6、22广东湛江二模)若tan(-)=32,tan =2,则tan =.13.若函数f(x)=sin(x+)+cos x的最大值为2,则常数的一个取值为.14.设锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=2A,则b+ca的取值范围是.15.(2022河北保定一模)已知定义在x-34,4上的函数f(x)=sinx+4+sin 2x在x=处取得最小值,则最小值为,此时cos =.考点突破练2三角恒等变换与解三角形1.D解析 原式=cos212-cos22-12=cos212-sin212=cos6=32.2.A解析 因为sin+4=-32,所以sin 2=-cos2+2=-cos 2+4
7、=2sin2+4-1=2-322-1=12.3.C解析 因为三条高线的长度为3 cm,4 cm,6 cm,故三边之比为432,设最大边所对的角为,则cos =4+9-16223=-140,由余弦定理可得cos B=AB2+BC2-AC22ABBC=x2+88x=x8+1x2x81x=22,当且仅当x=22时,等号成立,因为0B,则0B,则ab,因此sin Asin B,A正确;对于选项B,若sin 2A=sin 2B,则2A=2B或2A+2B=,即A=B或A+B=2,所以ABC为等腰三角形或直角三角形,B错误;对于选项C,若a2+b2=c2,由勾股定理的逆定理可知ABC一定为直角三角形,C正确
8、;对于选项D,若三角形的三边满足a2+b2c2,由余弦定理可知cos C0,仅可得C为锐角,最大角是否为钝角不确定,D错误.10.AC解析 f(x)=(1+cos 2x)sin +sin 2xcos -sin =cos 2xsin +sin 2xcos =sin(2x+),将f(x)的图象向左平移6个单位长度得y=sin2x+6+=sin2x+3+的图象,与函数g(x)=cosx-3的图象重合,故=2,若g(x)=cos2x-3=sin2x-3+2=sin2x+6,3+=6+2k,=2k-6(kZ),结合选项,=-6符合.若g(x)=cos-2x-3=cos2x+3=sin2x+3+2=sin
9、2x+56,3+=56+2k,=2k+2(kZ),结合选项,=-32符合.11.ABD解析 对于A选项,根据题意,图2是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形ABC拼成的一个大等边三角形ABC,故AA=BB,ABBB,所以这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形,故A选项正确;对于B选项,由题知,在ABB中,BB=3,sinABB=5314,ABB=120,所以sinBAB=sin(60-ABB)=3314,所以由正弦定理得BBsinBAB=ABsinABB,解得AB=5,因为BB=AA=3,所以AB=2,故B选项正确;对于C选项,不妨设AB=2AB=2,AA=x,所以在ABB中,由余弦定理
10、得|AB|2=|AB|2+|BB|2-2|AB|BB|cosABB,代入数据得AA=x=5-12,所以AB=AA+AB=1+5-12=5+12,BB=AA=5-12,所以ABBB=5+15-1,故C选项错误;对于D选项,若A是AB的中点,则SABB=12BBABsin 120=BCABsin 60=2SABC,所以SABC=3SABB+SABC=7SABC,故D选项正确.12.-74解析 因为tan(-)=32,tan =2,所以tan =tan(-)+=tan(-)+tan1-tan(-)tan=32+21-322=-74.13.2答案不唯一,=2k+2,kZ均可解析 因为f(x)=cos
11、sin x+(sin +1)cos x=cos 2+(sin+1)2sin(x+),所以cos 2+(sin+1)2=2,解得sin =1,故可取=2.14.(2+1,3+2)解析 因为B=2A,则sin B=sin 2A=2sin Acos A,cos B=cos 2A=2cos2A-1,又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,故由正弦定理可得b+ca=sinB+sinCsinA=2cos A+cos B+cosAsinBsinA=2cos A+cos B+2cos2A=2cos A+2cos2A+2cos2A-1=4cos2A+2cos A-1.又ABC
12、为锐角三角形,故可得A0,2,B=2A0,2,C=-3A0,2,解得A6,4,则cos A22,32,故4cos2A+2cos A-1(2+1,3+2),即b+ca(2+1,3+2).15.-9830-28解析 因为x-34,4,则x+4-2,2,令t=sinx+4-1,1,则t=22(sin x+cos x),t2=12(1+2sin xcos x)=12(1+sin 2x),则sin 2x=2t2-1,所以f(x)=t+2t2-1=2t2+t-1,所以当t=-14时,函数y=2t2+t-1取得最小值,即ymin=18-14-1=-98,此时sin+4=-14,由已知+4-2,2,所以cos+4=1-sin2+4=154,cos =cos+4-4=cos+4cos4+sin+4sin4=30-28.