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1、第2讲三角恒等变换与解三角形高考定位1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真 题 感 悟1.(2020全国卷)已知(0，)，且3cos 28cos 5，则sin ()A. B. C. D.解析由3cos 28cos 5，得3(2cos21)8cos 5，即3cos24cos 40，解得cos 或cos 2(舍去).又因为(0，)，所以sin 0，所以sin .故选A.答案A2.(2020全
2、国卷)在ABC中，cos C，AC4，BC3，则tan B()A. B.2C.4 D.8解析由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C42322439，得AB3，所以ABBC.过点B作BDAC，交AC于点D，则ADAC2，BD，所以tan ABD，所以tan ABC4.故选C.答案C3.(2020新高考山东、海南卷)在ac，csin A3，cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Asin B，C，_？(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答
3、计分)解方案一：选条件.由C和余弦定理得.由sin Asin B及正弦定理得ab.于是，由此可得bc.由ac，解得a，bc1.因此，选条件时问题中的三角形存在，此时c1.方案二：选条件.由C和余弦定理得.由sin Asin B及正弦定理得ab.于是，由此可得bc，BC，A.由csin A3，解得cb2，a6.因此，选条件时问题中的三角形存在，此时c2.方案三：选条件.由C和余弦定理得.由sin Asin B及正弦定理得ab.于是，由此可得bc.由cb，与bc矛盾.因此，选条件时问题中的三角形不存在.4.(2020北京卷)在ABC中，ab11，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：(1
4、)a的值；(2)sin C和ABC的面积.条件：c7，cos A；条件：cos A，cos B.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.解(从条件中任选一个即可)选条件：c7，cos A，且ab11.(1)在ABC中，由余弦定理，得cos A，解得a8.(2)cos A，A(0，)，sin A.在ABC中，由正弦定理，得sin C.ab11，a8，b3，SABCabsin C836.选条件：cos A，cos B，且ab11.(1)A(0，)，B(0，)，cos A，cos B，sin A，sin B.在ABC中，由正弦定理，可得.又ab11，a6，b5.(2)sin Csin(AB
5、)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.SABCabsin C65.考 点 整 合1.三角函数公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin()sin cos cos sin ；cos()cos cos sin sin ；tan().(2)二倍角公式：sin 22sin cos ，cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)辅助角公式：asin xbcos xsin(x)，其中tan .2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式(1)正弦定理在ABC中，2R(R为ABC的外接圆半径)；变形：a2Rsin A，sin A，abcsin Asin Bsin C等.(
6、2)余弦定理在ABC中，a2b2c22bccos A；变形：b2c2a22bccos A，cos A.(3)三角形面积公式SABCabsin Cbcsin Aacsin B.热点一三角恒等变换【例1】 (1)(2020全国卷)已知2tan tan7，则tan ()A.2 B.1 C.1 D.2(2)(2019全国卷)已知，2sin 2cos 21，则sin ()A. B. C. D.解析(1)2tan tan2tan 7，解得tan 2.故选D.(2)由2sin 2cos 21，得4sin cos 2cos2.由知cos 0，则2sin cos ，代入sin2cos21，解得sin2，又，所以
7、sin .答案(1)D(2)B探究提高1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系.2.求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知先求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.求解时，尽量缩小角的取值范围，避免产生增解.【训练1】 (1)(2020深圳统测)已知tan 3，则sin()A. B. C. D.(2)(2020江南名校联考)已知，均为锐角，且，若sin(2)sin ，则_.解析(1)由题
8、意，得sinsincos 2cos2sin2.故选D.(2)因为sin(2)sin ，则2sin()3sin()2sin()cos cos()sin 3sin()cos cos()sin 从而sin()cos 5cos()sin .tan()5tan ，故5.答案(1)D(2)5热点二利用正(余)弦定理进行边角计算【例2】 (2020青岛质检)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2(b2c2a2)(1tan A).(1)求角C；(2)若c2，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度.条件：SABC4且BA；条件：cos B.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一
9、个解答计分)解(1)已知2b2(b2c2a2)(1tan A).由余弦定理，得2b22bccos A(1tan A)，所以bc(cos Asin A).由正弦定理，得sin Bsin C(cos Asin A)，所以sin(AC)sin Ccos Asin Csin A，所以sin Acos Csin Csin A，又sin A0，所以tan C1，又C(0，)，所以C.(2)若选择条件：SABC4且BA.因为SABC4absin Cabsin ，所以ab8.由余弦定理，得c2(2)240a2b22abcos ，所以a2b2ab40.由解得或因为BA，所以ba，所以所以CD.在ACD中，AD2
10、CA2CD22CACDcos C16224cos 26，所以AD.若选择条件：cos B.因为cos B，B(0，)，所以sin B.因为sin Asin(BC)sin Bcos Csin Ccos B，所以结合正弦定理，得a2.在ABD中，由余弦定理，得AD2AB2BD22ABBDcos B(2)2()22226，解得AD.探究提高1.高考的热点是利用正、余弦定理求三角形的边、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统
11、一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.【训练2】 (2020日照联考)在3c216S3(b2a2)，5bcos C4c5a，这两个条件中任选一个，补充在下面横线处，然后解答问题.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设ABC的面积为S，已知_.(1)求tan B的值；(2)若S42，a10，求b的值.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)解选择条件：(1)由题意得8acsin B3(a2c2b2)，即4sin B3，整理可得3cos B4sin B0.又sin B0，所以cos B0，所以tan B.(2)由tan B，得sin B.又S42，a10，所以Sa
12、csin B10c42，解得c14.将S42，a10，c14代入3c216S3(b2a2)，得314216423(b2102)，解得b6.选择条件：(1)已知5bcos C4c5a，由正弦定理，得5sin Bcos C4sin C5sin A，即5sin Bcos C4sin C5sin(BC)，即sin C(45cos B)0.在ABC中，因为sin C0，所以cos B.所以sin B，所以tan B.(2)由Sacsin B10c42，解得c14.又a10，所以b2100196214072，所以b6.热点三正、余弦定理与其它知识的交汇问题角度1正、余弦定理与三角函数的结合命题【例3】 已
13、知m(2cos x2sin x，1)，n(cos x，y)，且满足mn0.(1)将y表示为x的函数f(x)，并求f(x)的最小正周期；(2)已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C对应的边长，f(x)(xR)的最大值是f，且a2，求bc的取值范围.解(1)由mn0，得2cos2 x2sin xcos xy0，即y2cos2 x2sin xcos xcos 2xsin 2x12sin1，所以f(x)2sin1，其最小正周期为.(2)由题意得f3，所以A2k(kZ)，因为0A，所以A.由正弦定理，得bsin B，c sin C，则bcsin Bsin Csin Bsin4sin，又因为B，所
14、以sin，所以bc(2，4，所以bc的取值范围是(2，4.角度2正、余弦定理与向量的结合命题【例4】 (2020潍坊模拟)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m(ca，sin B)，n(ba，sin Asin C)，且mn.(1)求C；(2)若c3b3a，求sin A.解(1)因为mn，所以(ca)(sin Asin C)(ba)sin B.由正弦定理得(ca)(ac)(ba)b，所以a2b2c2ab，所以cos C.因为C(0，)，所以C.(2)由(1)知BA.由题设及正弦定理得sin C3sin3sin A，即cos Asin Asin A，可得sin.由于0A，因此A，
15、所以cos.故sin Asinsincos cossin .探究提高1.该题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解.2.与解三角形有关的交汇问题的关注点(1)根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化.(2)结合三角形内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式.【训练3】 已知向量a，b(sin x，sin x)，f(x)ab.(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f1，a2，求ABC面积的最大值并说明此时ABC的形状.解(1)由已知得a(sin x，cos x)，又b(
16、sin x，sin x)，则f(x)absin2xsin xcos x(1cos 2x)sin 2xsin，f(x)的最小正周期T，当2x2k(kZ)，即xk(kZ)时，f(x)取得最大值.(2)锐角ABC中，因为fsin1，sin，A.因为a2b2c22bccos A，所以12b2c2bc，所以b2c2bc122bc，所以bc12(当且仅当bc2时等号成立)，此时ABC为等边三角形.SABCbcsin Abc3.所以当ABC为等边三角形时面积取最大值3.A级巩固提升一、选择题1.(2020全国卷)已知sin sin1，则sin()A. B. C. D.解析因为sin sinsinsinsin
17、cos cossin sincos cossin 2sincos sin1，所以sin.故选B.答案B2.(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin Absin B4csin C，cos A，则()A.6 B.5 C.4 D.3解析由正弦定理得，asin Absin B4csin Ca2b24c2，即a24c2b2，又cos A，于是可得到6.故选A.答案A3.已知sin ，sin()，均为锐角，则等于()A. B. C. D.解析由，为锐角，则0.根据正弦定理可知sin Asin Bsin C456，A正确.由c为最大边，cos C0，即C为锐角，得ABC为
18、锐角三角形，B不正确.a为最小边，cos A，则cos 2A2cos2A121cos C.由2A，C(0，)，可得2AC，C正确.若c6，则2R(R为ABC的外接圆的半径)，则ABC的外接圆的半径为，D正确.故选ACD.答案ACD5.(多选题)(2020北京海淀区联考)在ABC中，点D在线段AB上，且AD5，BD3.若CB2CD，cos CDB，则()A.sin CDBB.ABC的面积为8C.ABC的周长为84D.ABC为钝角三角形解析因为cos CDB，所以sin CDB，A错误.设CDa，则BC2a.在BCD中，由余弦定理，得BC2CD2BD22BDCDcos CDB，即4a2a296a，
19、解得a，所以SDBCBDCDsin CDB33，所以SABCSDBC8，B正确.因为ADCCDB，所以cos ADCcos(CDB)cos CDB.在ADC中，由余弦定理，得AC2AD2CD22ADDCcos ADC2552520，解得AC2.所以CABCABACBC(35)2284，C正确.因为cos BCA0，所以cos B.因为B(0，)，所以B.因为ABC的面积S，所以acsin B，所以ac4.由余弦定理，得b.答案三、解答题9.(2020海南新高考诊断)在cos A，cos C；csin Csin Absin B，B60；c2，cos A三个条件中任选一个填至横线上，并加以解答.已
20、知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a3，_，求ABC的面积S.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)解选.cos A，cos C，sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得b，Sabsin C3.选.csin Csin Absin B，结合正弦定理，得c2ab2.a3，b2c23.又B60，b2c2923cc23，c4，Sacsin B3.选.c2，cos A，结合余弦定理，得，即b250，解得b或b2(舍去).又sin A，Sbcsin A2.10.(2020全国卷)ABC中，sin2Asin2Bsin
21、2Csin Bsin C.(1)求A；(2)若BC3，求ABC周长的最大值.解(1)由正弦定理和已知条件得BC2AC2AB2ACAB.由余弦定理得BC2AC2AB22ACABcos A.由得cos A.因为0A，所以A.(2)由正弦定理及(1)得2，从而AC2sin B，AB2sin(AB)3cos Bsin B.故BCACAB3sin B3cos B32sin.又0Bc，所以BC.因为ADB30C，ADC30B，所以ADBc，所以BC.又BC120，所以B60BAD，所以ADBD，所以AD3，所以cos ADB.故选B.答案B12.(2020江苏卷)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a3，c，B45.(1)求sin C的值；(2)在边BC上取一点D，使得cosADC，求tanDAC的值.解(1)在ABC中，因为a3，c，B45，由余弦定理b2a2c22accos B，得b29223cos 455，所以b.在ABC中，由正弦定理，得，所以sin C.(2)在ADC中，因为cosADC，所以ADC为钝角.而ADCCCAD180，所以C为锐角.故cos C，则tan C.因为cosADC，所以sinADC，所以tanADC.从而tanDACtan(180ADCC)tan(ADCC).