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1、十年（20142023）年高考真题分项汇编函数（填空题）目录题型一：函数及其表示1题型二：函数的基本性质6题型三：基本初等函数14题型四：函数与方程20题型五：函数模型及其综合应用26题型一：函数及其表示1(2023年北京卷第15题)设，函数，给出下列四个结论：在区间上单调递减；当时，存在最大值；设，则；设若存在最小值，则a的取值范围是其中所有正确结论的序号是_【答案】解析：依题意，当时，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；当时，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像(即半圆)；当时，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；对于，取，则的图像如下， 显然，当，即时，在上
2、单调递增，故错误；对于，当时，当时，；当时，显然取得最大值；当时，综上：取得最大值，故正确；对于，结合图像，易知在，且接近于处，的距离最小， 当时，当且接近于处，此时，故正确；对于，取，则的图像如下， 因为，结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在，同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为，联立，解得，则，显然在上，满足取得最小值，即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故错误故答案为：2(2023年北京卷第11题)已知函数，则_【答案】1解析：函数，所以故答案：13(2022高考北京卷第11题)函数定义域是_【答案】解析:因为，所以，解得且，故函数
3、的定义域为；故答案为,4(2020北京高考第11题)函数的定义域是_【答案】【解析】由题意得，故答案为：5(2019江苏第4题)函数的定义域为 【答案】【解析】由，解得，即函数的定义域为6(2014高考数学浙江理科第15题)设函数若，则实数的取值范围是_【答案】解析：函数，它的图象如图所示：由，可得 由可得，即，故当时，则实数a的取值范围是，故答案为： 7(2014高考数学四川理科第12题)设是定义在上的周期为2的函数，当时， ，则 【答案】解析：8(2014高考数学上海理科第4题)设若，则的取值范围为_【答案】解析:由，可得，所以得9(2017年高考数学课标卷理科第15题)设函数，则满足的的
4、取值范围是 【答案】【解析】法一：因为当时，；当时，；当时，由，可解得综上可知满足的的取值范围是法二：，即由图象变换可画出与的图象如下：由图可知，满足的解为法三：当且时，由得，得，又因为是上的增函数，所以当增大时，增大，所以满足的的取值范围是10(2016高考数学江苏文理科第11题)设是定义在上且周期为2的函数，在区间上 其中，若，则的值是 【答案】解析：由题意得，由可得则，则11(2016高考数学江苏文理科第5题)函数的定义域是 【答案】解析：，解得，因此定义域为题型二：函数的基本性质1(2023年全国甲卷理科第13题)若为偶函数，则_【答案】2解析：因为为偶函数，定义域为，所以，即，则，故
5、，此时，所以，又定义域为，故为偶函数，所以故答案为：22(2023年全国乙卷理科第16题)设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是_【答案】解析：由函数的解析式可得在区间上恒成立，则，即在区间上恒成立，故，而，故，故即，故，结合题意可得实数的取值范围是故答案为：3(2021年新高考全国卷第14题)写出一个同时具有下列性质的函数_；当时，；是奇函数【答案】(答案不唯一，均满足)解析:取，则，满足，时有，满足，的定义域为，又，故是奇函数，满足故答案为(答案不唯一，均满足)4(2021年新高考卷第15题)函数的最小值为_【答案】1解析:由题设知：定义域为，当时，此时单调递减；当时，有，此时单调递减；
6、当时，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，综上有：时，单调递减，时，单调递增；,故答案为15(2021年新高考卷第13题)已知函数是偶函数，则_【答案】1解析:因为，故，因为为偶函数，故，时，整理得到，故，故答案为：16(2022高考北京卷第14题)设函数若存在最小值，则a的一个取值为_；a的最大值为_【答案】 0(答案不唯一) 1解析:若时，；若时，当时，单调递增，当时，故没有最小值，不符合题目要求；若时，当时，单调递减，当时，或，解得，综上可得；故答案为：0(答案不唯一)，17(2022年浙江省高考数学试题第14题)已知函数则_；若当时，则的最大值是_【答案】 #解析:由已知，所以，
7、当时，由可得，所以，当时，由可得，所以，等价于，所以，所以的最大值为故答案为：，8(2020江苏高考第7题)已知是奇函数，当时， ，则的值是_【答案】【解析】，因为为奇函数，所以,故答案为：9(2019上海第6题)已知函数周期为，且当，则_.【答案】1【解析】.10(2019全国理第14题)已知是奇函数，且当时，若，则 【答案】.【解析】因为是奇函数，且当时，又因为，所以，两边取以为底的对数得，所以，即【点评】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算渗透了数学运算、直观想象素养使用转化思想得出答案11(2019北京理第13题)设函数(a为常数)若为奇函数，则a=_；若是R上的增函数，则a的取值范围是
8、_【答案】 (1)； (2)【解析】若函数为奇函数，则，对任意的恒成立，故；若函数是上的增函数，则恒成立，即实数取值范围是12(2018年高考数学江苏卷第9题)函数满足，且在区间上，则的值为 【答案】解析：由得函数的周期为4，所以，因此13(2018年高考数学江苏卷第5题)函数的定义域为 【答案】2，+)解析：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为2，+)14(2018年高考数学北京(理)第13题)能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数是_【答案】(答案不唯一)；解析：在上满足，且在上为增函数，在为减函数函数需要满足在上的最小值为，并且在上不单调，选取开口向下，对称轴
9、在上的二次函数均可，其余答案也正确15(2014高考数学四川理科第15题)以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间 例如，当时， 现有如下命题： 设函数的定义域为，则“”的充要条件是“”； 函数的充要条件是有最大值和最小值； 若函数的定义域相同，且，则； 若函数有最大值，则 其中的真命题有 (写出所有命题的序号)【答案】解析：若f(x)A，则f(x)的值域为R，于是，对任意的bR，一定存在aD，使得f(a)b，故正确取函数f(x)x(1x1)，其值域为(1，1)，于是，存在M1，使得f(x)的值域包含于M，M1，1，但此时
10、f(x)没有最大值和最小值，故错误当f(x)A时，由可知，对任意的bR，存在aD，使得f(a)b，所以，当g(x)B时，对于函数f(x)g(x)，如果存在一个正数M，使得f(x)g(x)的值域包含于M，M，那么对于该区间外的某一个b0R，一定存在一个a0D，使得f(a0)bg(a0)，即f(a0)g(a0)b0M，M，故正确对于f(x)aln(x2)(x2)，当a0或a0时，函数f(x)都没有最大值要使得函数f(x)有最大值，只有a0，此时f(x)(x2)易知f(x)，所以存在正数，使得f(x)M，M，故正确16(2014高考数学课标2理科第15题)已知偶函数在单调递减，若，则的取值范围是_【
11、答案】解析：因为是偶函数，所以不等式，因为在上单调递减，所以，解得17(2015高考数学浙江理科第10题)已知函数，则 ，的最小值是 【答案】，解析：，当时，当且仅当时，等号成立，当时，当且仅当时，等号成立，故最小值为考点：分段函数18(2015高考数学新课标1理科第13题)若函数为偶函数，则 【答案】1解析：由题知是奇函数，所以 =，解得=1考点：函数的奇偶性19(2015高考数学四川理科第15题)已知函数， (其中)。对于不相等的实数，设，现有如下命题：(1)对于任意不相等的实数，都有；(2)对于任意的及任意不相等的实数，都有；(3)对于任意的，存在不相等的实数，使得；(4)对于任意的，存
12、在不相等的实数，使得其中的真命题有 (写出所有真命题的序号)【答案】解析：设对(1)，从的图象可看出，恒成立，故正确对(2)，直线CD的斜率可为负，即，故不正确对(3)，由m=n得，即令，则由得：，作出的图象知，方程不一定有解，所以不一定有极值点，即对于任意的a，不一定存在不相等的实数，使得，即不一定存在不相等的实数，使得故不正确对(4)，由m=n得，即令，则由得：，作出的图象知，方程必一定有解，所以一定有极值点，即对于任意的a，一定存在不相等的实数，使得，即一定存在不相等的实数，使得故正确所以(1)(4)考点：函数与不等式的综合应用20(2015高考数学福建理科第14题)若函数 ( 且 )的
13、值域是 ，则实数 的取值范围是 【答案】解析：当，故，要使得函数的值域为，只需()的值域包含于，故，所以，所以，解得，所以实数的取值范围是考点：分段函数求值域【名师点睛】本题考查分段函数的值域问题，分段函数是一个函数，其值域是各段函数值取值范围的并集，将分段函数的值域问题转化为集合之间的包含关系，是本题的一个亮点，要注意分类讨论思想的运用，属于中档题21(2017年高考数学浙江文理科第17题)已知,函数在区间上的最大值是5,则的取值范围是【答案】 【解析】(绝对值几何意义)令,则,所以,的最大值是5 当时,最大值为5,成立; 当时,其几何意义为数轴上的数到数和数到数0的距离之和最大值为5,则综
14、上, 法二:因为,最大值为 即或,解得或 ,所以 【考点】绝对值,函数最值 22(2017年高考数学山东理科第15题)若函数(是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有性质下列函数中所有具有性质的函数的序号为_ 【答案】 【解析】在上单调递增,故具有性质; 在上单调递减,故不具有性质; ,令,则, 当时,当时,在上单调递减,在上单调递增,故不具有性质; ,令, 则,在上单调 递增,故具有性质 23(2017年高考数学江苏文理科第11题)已知函数, 其中e是自然对数的底数 若,则实数的取值范围是_【答案】 解析:因为,所以为奇函数,因为,所以在R上是单调递增函数,又,即,所以,即,解得
15、,故实数的取值范围是 【考点】利用函数性质解不等式 【点评】解函数不等式:首先根据函数的性质把不等式转化为的形式,然后根据函数的单调性去掉“”,转化为具体的不等式(组),此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内 24(2016高考数学天津理科第13题)已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增若实数满足，则的取值范围是_【答案】解析：由是偶函数可知，单调递增；单调递减又，可得，即25(2016高考数学四川理科第14题)若函数是定义上的周期为的奇函数，当时，则【答案】 【解析】由题意知， 所以题型三：基本初等函数1(2018年高考数学上海第11题)已知常数，函数的图像经过点若，则 【答案】解析：
16、由题意：，所以，所以，所以，又因为，所以 2(2018年高考数学上海第7题)已知若幂函数为奇函数，且在上递减，则 【答案】解析：由为奇函数，所以，又在上递减可知3(2018年高考数学上海第4题)设常数，函数，若的反函数的图像经过点，则 【答案】7解析：由题意可知经过，所以4(2014高考数学重庆理科第12题)函数的最小值为_【答案】解析：根据对数的运算变型,换元法令,得最小值为5(2014高考数学上海理科第9题)若，则满足的的取值范围是_【答案】解析:首先注意定义域:;再由得,作图即得结果为6(2014高考数学陕西理科第11题)已知则=_【答案】解析:由得7(2014高考数学江苏第10题)已知
17、函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是 【答案】解析：画出二次函数的分析简图：由图象分析可得结论：开口向上的二次函数在上恒小于0的充要条件为 开口向下的二次函数在上恒大于0的充要条件为8(2015高考数学浙江理科第12题)若，则 【答案】解析：，考点：对数的计算9(2015高考数学上海理科第10题)设为的反函数，则的最大值为 【答案】解析：通过分析，我们可得函数在定义域上是单调递增的，且值域为，由反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域以及反函数与原函数的单调性相同，可得的定义域为，值域为，又原函数与反函数的公共定义域为，故10(2015高考数学上海理科第7题)方程的解
18、为 【答案】解析：由条件可得，所以或，检验后只有符合；11(2015高考数学山东理科第14题)已知函数 的定义域和值域都是 ，则 【答案】 解析：若 ，则 在上为增函数,所以 ，此方程组无解；若 ，则在上为减函数,所以 ，解得 ，所以考点：指数函数的性质12(2017年高考数学上海(文理科)第12题)定义在上的函数的反函数为,若为奇函数,则的解为_【答案】【解析】,的解为13(2016高考数学浙江理科第12题)已知若，则 ， 【答案】 【命题意图】本题主要考查对数运算、指数运算等知识点，意在考查学生的运算求解能力解析：由于，则，因为，即，所以或(舍去)，所以，即，所以，所以，所以(舍去)，所以
19、14(2016高考数学上海理科第5题)已知点在函数的图像上，则的反函数 【答案】解析：将点带入函数的解析式得，所以，用表示得，所以题型四：函数与方程1(2023年天津卷第15题)若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为_【答案】解析：(1)当时，即，若时，此时成立；若时，或，若方程有一根为，则，即且；若方程有一根为，则，解得：且；若时，此时成立(2)当时，即，若时，显然不成立；若时，或，若方程有一根为，则，即；若方程有一根为，则，解得：；若时，显然不成立；综上，当时，零点为，；当时，零点为，；当时，只有一个零点；当时，零点为，；当时，只有一个零点；当时，零点为，；当时，零点为所以，当函数有两个零
20、点时，且故答案为：2(2022高考北京卷第13题)若函数的一个零点为，则_；_【答案】 1 解析:，故答案为：1，3(2021高考北京第15题)已知函数，给出下列四个结论：若，恰 有2个零点；存在负数，使得恰有个1零点；存在负数，使得恰有个3零点；存在正数，使得恰有个3零点其中所有正确结论的序号是_【答案】解析：对于，当时，由，可得或，正确；对于，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，存在，使得只有一个零点，正确；对于，当直线过点时，解得，所以，当时，直线与曲线有两个交点，若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，直线与曲线有一个交点，所以，此不等式无解，因此，不存在，
21、使得函数有三个零点，错误；对于，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，当时，函数有三个零点，正确故答案为：4(2018年高考数学浙江卷第15题)已知，函数，当时，不等式的解集是 ，若函数恰有2个零点，则的取值范围是 【答案】，解析：当时，若，得，于是；若，得，于是； 不等式的解集为；第二空两种解法方法一：代数法(分类讨论两段函数根的个数)当时，由于有一个零点，问题等价于当时，有一个零点，因为，只需要；当，由于无零点，问题等价于当时，有两个零点，而，当时，有两零点1，3满足条件；综上可知，或方法二：几何法(图像观察)当直线 从左到右的运动过程中，当或时，与轴有两个交点，即
22、恰有2个零点，即的取值范围是或5(2018年高考数学天津(理)第14题)已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是 【答案】解析：当时，由，得，且，所以，当时，无解；当时，有一个解；当时，有两个解；当时，由，得，且，所以，所以当时，无解；当时，有一个解；当时，有两个解；综上，要使关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是解法二：当时，由，得，即，很明显不是原方程的解，则；当时，由，得，即，很明显不是原方程的解，则 ；令 ，其中，作出的图象如图所示，由图可知，要使函数与函数的图象有两个不同的交点，且考虑到，则的取值范围是6(2014高考数学天津理科第14题)已知函数,若方程恰
23、有4个互异的实数根,则实数的取值范围为_ 【答案】解析:画出函数的大致图象,令,则函数的图象与函数的图象有且仅有4个不同的交点,如图,显然(不可能)联立消去得,由解得或(舍去);联立消去得,由解得或(舍去)结合图象,实数的取值范围为7(2014高考数学江苏第13题)已知是定义在R上且周期为3的函数，当时， 若函数在区间上有10个零点(互不相同)，则实数的取值范围是 【答案】解析：作出函数的图象，可知，当时，方程在上有10个零点，即函数的图象与直线在上有10个交点，由于函数的周期为3，因此直线与函数的图象有4个交点，则 8(2015高考数学湖南理科第15题)已知，若存在实数，使函数有两个零点，则
24、的取值范围是 【答案】分析：分析题意可知，问题等价于方程与方程的根的个数和为，若两个方程各有一个根：则可知关于的不等式组有解，从而；若方程无解，方程有2个根：则可知关于的不等式组有解，从而，综上，实数的取值范围是9(2015高考数学湖北理科第12题)函数的零点个数为 【答案】2解析：因为所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数，函数与图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数有2个零点考点：二倍角的正弦、余弦公式，诱导公式，函数的零点10(2015高考数学北京理科第14题)设函数若，则的最小值为 ；若恰有2个零点，则实数的取值范围是 【答案】(1)1，(2)或解析：时，函数在上为增函数
25、，函数值大于1，在为减函数，在为增函数，当时，取得最小值为1；(2)若函数在时与轴有一个交点，则，并且当时，则，函数与轴有一个交点，所以；若函数与轴有无交点，则函数与轴有两个交点，当时与轴有无交点，在与轴有无交点，不合题意；当时，与轴有两个交点，和，由于，两交点横坐标均满足；综上所述的取值范围或考点：本题考点为函数的有关性质，涉及函数图象、函数的最值，函数的零点、分类讨论思想解题利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值，涉计参数问题，针对参数进行分类讨论11(2015高考数学江苏文理第13题)已知函数， ，则方程实根的个数为_【答案】4解析：由题意得：求函数与交点个数以及函数与交点个数之和
26、，因为，所以函数与有两个交点，又，所以函数与有两个交点，因此共有4个交点考点：函数与方程12(2017年高考数学江苏文理科第14题)设是定义在且周期为1的函数,在区间上, 其中集合,则方程的解的个数是_【答案】8 解析:由于 ,则需考虑 的情况 在此范围内, 且 时,设 ,且 互质 若 ,则由 ,可设 ,且 互质 因此 ,则 ,此时左边为整数,右边非整数,矛盾,因此 , 因此不可能与每个周期内对应的部分相等,只需考虑与每个周期的部分的交点,画出函数图像,图中交点除外,其他交点横坐标均为无理数,属于每个周期的部分,且处,则在附近仅有一个交点,因此方程解的个数为8个 【考点】函数与方程 【点评】对
27、于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等 13(2016高考数学山东理科第15题)已知函数 其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是_【答案】 【解析】画出函数图象如下图所示： 。 由图所示，要有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即，解得题型五：函数模型及其综合应用1(2019北京理第14题)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为
28、60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80% 当时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付_元； 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_【答案】 130； 15【解析】 ，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付元； 设顾客一次购买水果的促销前总价为元，当0时，李明得到的金额为，符合要求；当时，有恒成立，即恒成立，故所以的最大值为2(2015高考数学四川理科第13题)某食品的保鲜时间(单位：小时)与储藏温度(单位：
29、)满足函数关系( 为自然对数的底数，为常数)若该食品在的保鲜时间是192小时，在23的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是_小时【答案】24解析：由题意得：，所以时，考点：函数及其应用3(2015高考数学陕西理科第16题)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 【答案】解析：建立直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是，设抛物线的方程为()，因为该抛物线过点，所以，解得，所以，即，所以当前最大流量是，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是，所以答案应填：【考点定位】1、定积分；2、抛物线的方程；3、
30、定积分的几何意义4(2017年高考数学北京理科第14题)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和加工的零件数,点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和加工的零件数,记为第名工人在这一天中加工的零件总数,则中最大的是_记为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则中最大的是_【答案】; 【解析】作图可得中点纵坐标比中点纵坐标大,所以第一题选;分别作关于原点的对称点,比较直线 斜率,可得最大,所以选 【考点】图象的应用;实际应用 【点评】本题考查了根据实际问题分析和解决问题的能力,以及转化与化归的能力因为第名工人加工总的零件数是
31、,比较总的零件数的大小,即可转化为比较的大小,而表示中点连线的纵坐标第二问也可转化为中点与原点连线的斜率 5(2014高考数学山东理科第15题)已知函数，对函数，定义关于的“对称函数”为，满足：对任意，两个点，关于点对称，若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是 【答案】解析：由题意知，得，恒成立，即，恒成立，当与相切时，同一直角坐标系中由与的图象可知6(2014高考数学湖北理科第14题)设是定义在上的函数，且，对任意，若经过点，的直线与轴的交点为，则称为、关于函数的平均数，记为，例如，当时，可得，即为、的算术平均数()当 时，为、的几何平均数；()当 时，为、的调和平均数(以上两
32、空各只需写出一个符合要求的函数即可)【答案】；(或填；，其中，为正常数均可)解析：过点，的直线方程为，令得令几何平均数，可取；令调和平均数，可取7(2021年高考浙江卷第12题)已知，函数若，则_【答案】2解析:，故，故答案为 28(2019浙江第16题)已知，函数若存在，使，则实数的最大值是 【答案】【解析】解法一：存在，使得，即，即设，得，所以，所以的最大值为解法二：定积分的几何意义，则故只需求的最小值不妨设根据定积分的几何意义知,只需,故9(2019上海第12题)已知，若，与轴交点为，为曲线，在上任意一点，总存在一点(异于)使得且，则_.【答案】【解析】设点，则或设；根据函数特征在(上递
33、减，在上递增，故必各在一个区间内)，不失一般性.假设；对应的；则设满足,而根据题意，满足其中，；故恒成立，即或(舍)【点评】本题主要考查图象的平移、翻折变换、极限思想10(2019江苏第14题)设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则的取值范围是 .【答案】【解析】当时，等价于().结合是周期为4的奇函数，可作出在上的图象：因为当时，且的周期为2由图可知：当时，与的图象有2个交点.由已知，与在上有8个交点，所以当时，与的图象有6个交点.又当时，表示的直线恒过定点，且斜率，结合的周期为2及图象，可知：当时，与的图象无交点所以当时，与的图象有6个交点.由与的周期性可知：当时，与的图象有2个交点.如图，当线段与圆弧(，)相切时有，解得，.又，所以(此时恰有1个交点)；当线段过点时，(此时恰有2个交点).结合图形分析可知：的取值范围是.