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1、3.5函数与方程及函数的综合应用基础篇考点一函数的零点1.(2022华大新高考联盟3月教学质量测评,5)函数f(x)=4x-4x2的零点个数为()A.0B.1C.2D.3答案D2.(2019课标,5,5分)函数f(x)=2sin x-sin 2x在0,2的零点个数为()A.2B.3C.4D.5答案B3.(2022南京师范大学附中期中,7)用二分法研究函数f(x)=x3+2x-1的零点时,第一次计算,得f(0)0,第二次应计算f(x1),则x1等于()A.1B.-1C.0.25D.0.75答案C4.(多选)(2022湖南师大附中三模,11)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)=f(x-2).
2、当x0,2)时,f(x)=1-x,x0,1),23-x-1,x1,2).若函数g(x)=f(x)-k在0,+)上的零点从小到大恰好构成一个等差数列,则k的可能取值为()A.0B.1C.2D.2-1答案ABD5.(2014北京文,6,5分)已知函数f(x)=6x-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+)答案C6.(2021北京,15,5分)已知函数f(x)=|lg x|-kx-2,给出下列四个结论:当k=0时, f(x)恰有2个零点;存在负数k,使得f(x)恰有1个零点;存在负数k,使得f(x)恰有3个零点;存在正数k,使得f
3、(x)恰有3个零点.其中所有正确结论的序号是.答案考点二函数模型及应用1.(2023届河北衡水部分学校月考,3)已知某种食品保鲜时间与储存温度有关,满足函数关系y=ekx+b(y为保鲜时间,x为储存温度).若该食品在冰箱中0 的保鲜时间是144小时,在常温20 的保鲜时间是48小时,则该食品在高温40 的保鲜时间是()A.16小时B.18小时C.20小时D.24小时答案A2.(2022广东惠州调研,8)某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d(每层玻璃的厚度相同)及两层玻璃间夹空气层厚度l对保温效果的影响,利用热传导定律得到热传导量q满足关系式q=1|Td1l2d+2,其中玻璃的
4、热传导系数1=410-3焦耳/(厘米度),不流通、干燥空气的热传导系数2=2.510-4焦耳/(厘米度),|T|为室内外温度差,q值越小,保温效果越好,现有4种型号的双层玻璃窗户,具体数据如下表:型号每层玻璃厚度d(单位:厘米)玻璃间夹空气层厚度l(单位:厘米)A型0.43B型0.34C型0.53D型0.44则保温效果最好的双层玻璃的型号是()A.A型B.B型C.C型D.D型答案D3.(2020课标理,4,5分)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=K1+e-0
5、.23(t-53),其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 193)()A.60B.63C.66D.69答案C4.(2020新高考,6,5分)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约
6、为(ln 20.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天答案B5.(2022山东潍坊安丘等三县测试,6)某投资机构从事一项投资,先投入本金a(a0)元,得到的利润是b(b0)元,收益率为ba(%),假设在第一次投资的基础上,此机构每次都定期追加投资x(x0)元,得到的利润也增加了x元,若使得该项投资的总收益率是增加的,则()A.abB.abC.abD.ab答案C6.(2022山东德州一中期中,20)某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元,每生产x千件,需另投入成本C(x)万元,当年产量不足50千件时,C(x)=12x2+10x,当年产量不小于50千件时,C(x)=52x+
7、7 200x+1-1 200,已知每千件商品售价为50万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?解析(1)当0x50时,L(x)=50x-12x2+10x-200=-12x2+40x-200,当x50时,L(x)=50x-52x-7 200x+1+1 200-200=1 000-2x+7 200x+1,所以L(x)=-12x2+40x-200,0x50,1 000-2x+7 200x+1,x50.(2)当0x50时,L(x)=-12x2+40x-200=-12(
8、x-40)2+600,当x=40时,L(x)取得最大值,L(x)max=600,当x50时,L(x)=1 000-2x+7 200x+1,其中2x+7 200x+1=2(x+1)+7 200x+1-222(x+1)7 200x+1-2=238,当且仅当2(x+1)=7 200x+1,即x=59时,等号成立,所以L(x)=1 000-2x+7 200x+11 000-238=762.因为6000,x2+2x,x0,则函数y=ff(x)+1的零点个数是()A.2B.3C.4D.5答案D3.(2022海南直辖县级单位三模,8)设函数f(x)的定义域为R,f(x-1)为奇函数,f(x+1)为偶函数,当
9、x(-1,1时,f(x)=-x2+1,则函数y=f(x)+lg x有个零点()A.4B.5C.6D.7答案C4.(多选)(2021山东枣庄三中月考一)已知函数f(x)=kx+1,x0,log2x,x0,下列是函数y=f(f(x)+1的零点个数的4个判断,其中正确的是()A.当k0时,有3个零点B.当k0时,有4个零点D.当k1.若关于x的方程f(x)=-14x+a(aR)恰有两个互异的实数解,则a的取值范围为()A.54,94B.54,94C.54,941D.54,941答案D5.(多选)(2022辽宁抚顺三模,10)已知函数f(x)=xex,x1,exx,x1,下列选项正确的是()A.点(0
10、,0)是函数f(x)的零点B.x1(0,1),x2(1,3),使f(x1)f(x2)C.函数f(x)的值域为-e-1,+)D.若关于x的方程f(x)2-2af(x)=0有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是(0,+)-12e答案CD6.(2022山东青州打靶,6)对实数m与n定义新运算“”:mn=m,m-n1,n,m-n1.设函数f(x)=(x-x2)(x2-2),xR.若方程f(x)-c=0有两个不相等的实数根,则实数c的取值范围是()A.(-,-2-1,32B.(-,-2)-1,-34C.-,-1414,+D.-1,-1414,+答案B7.(2022广东肇庆一中月考,14)若函数f(x
11、)=x2-ax+1在区间12,3上有零点,则实数a的取值范围是.答案2,1038.(2023届哈尔滨师大附中月考,16)设aR,函数f(x)=log2(1-x),x0.若函数f(x)的最小值为0,则a的取值范围是;若函数y=f(x)-1有4个零点,则a的值是.答案 (-,494专题综合检测一、单项选择题1.(2022海南学业水平诊断一,3)已知函数f(x)=2x-1,x0,1-x4,x0,若f(x)=-34,则x=()A.7B.-2C.2D.7或-2答案D2.(2022海南三亚华侨学校月考,5)y=x-12x-log2(4-x2)的定义域是()A.(-2,0)(1,2)B.(-2,0(1,2)
12、C.(-2,0)1,2)D.-2,01,2答案C3.(2022重庆七中期中,3)已知函数f(x)=f(x-3),x0,log2(-x)+1,x0,则f(2 021)=()A.1B.2C.log26D.3答案A4.(2022重庆云阳江口中学期末,5)已知函数f(x)=x-4x,若f(x)m对任意x1,4恒成立,则实数m的取值范围为()A.(-,-3)B.(-,-3C.(3,+)D.3,+)答案D5.(2022河北衡水中学模拟一,2)已知幂函数f(x)=x2+m是定义在区间-1,m上的奇函数,则f(m+1)=()A.8B.4C.2D.1答案A6.(2022广东江门陈经纶中学月考,5)已知函数f(x
13、)=x-4+9x+1,x(0,4),当x=a时,f(x)取得最小值b,则函数g(x)=1ax+b的图象为()ABCD答案B7.(2022海南海口四中期中,4)已知f(x)是定义在R上的偶函数且f(x+3)=f(x-1),若当x-2,0时,f(x)=3-x+1,则f(2 021)=()A.6B.4C.2D.1答案B8.(2022重庆涪陵实验中学期中,8)已知y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且对任意xR,都有f(x-1)=f(3-x)成立,当x-1,0)时,f(x)=2x2,则f(2 021)=()A.-8B.-2C.0D.2答案B9.(2022广东华附、省实、广雅、深中四校联考,6)
14、已知函数f(x)=ln(x2+1-x)+1,定义域为R的函数g(x)满足g(-x)+g(x)=2,若函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),(x6,y6),则i=16(xi+yi)=()A.0B.6C.12D.24答案B二、多项选择题10.(2022湖北襄阳四中考试,9)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,是解析数论的创始人之一,以其命命名的函数f(x)=1,x为有理数,0,x为无理数称为狄利克雷函数,则关于f(x),下列说法正确的是()A.f(x)的值域为0,1B. f(x)的定义域为RC.xR,f(f(x)=1D.任意一个非零有理数T, f(x+T)
15、=f(x)对任意xR恒成立答案BCD11.(2022重庆南开中学月考,9)下列函数中,既是奇函数,又是增函数的是()A.y=2x-2-xB.y=x-1xC.y=x2,x0-x2,x0D.y=ln(x2+1+x)答案ACD12.(2022广东江门陈经纶中学月考,12)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x-1)是奇函数,f(x+1)为偶函数,当-1f(4)答案AC13.(2022辽宁六校协作体期中,12)已知函数f(x)=x+1x-4,x0,x+1x,x0时,f(x)=-ln(ax).若f(-e2)=2,则a=.答案1四、解答题15.(2022沈阳三十一中月考,19)已知f(x)为偶函数,g(x
16、)为奇函数,且满足f(x)-g(x)=21-x.(1)求f(x)、g(x)的解析式;(2)若方程mf(x)=g(x)2+2m+9有解,求实数m的取值范围;(3)若h(x)=12f(x)+g(x)-1,且方程h(x)2-2k+12h(x)+k=0有三个解,求实数k的取值范围.解析(1)因为f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,所以由已知可得f(-x)-g(-x)=21+x,即f(x)+g(x)=21+x,所以f(x)-g(x)=21-x,f(x)+g(x)=21+x,解得f(x)=2x+2-x,g(x)=2x-2-x.(2)由mf(x)=g(x)2+2m+9可得m(2x+2-x)=(4x+4-x)
17、+2m+7,令t=2x+2-x,则t22x2-x=2,当且仅当x=0时,等号成立,则t2=4x+4-x+2,故有t2-mt+2m+5=0,其中t2,令F(t)=t2-mt+2m+5,其中t2,则函数F(t)在2,+)上有零点,当m22,即m4时,F(t)在2,+)上单调递增,所以F(t)F(2)=90,不合题意;当m22,即m4时,有=m2-8m-200,解得m10或m-2,此时m10.综上所述,实数m的取值范围是10,+).(3)h(x)=12f(x)+g(x)-1=|2x-1|=1-2x,x0,2x-1,x0,作出函数h(x)的图象如图所示,由h(x)2-2k+12h(x)+k=0可得h(x)-12h(x)-2k=0,由图可知,方程h(x)=12有两个不等的实根,由题意可知,方程h(x)=2k有且只有一个根,故2k=0或2k1,解得k=0或k12.因此,实数k的取值范围是012,+.