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1、专题强化训练(十九)一、单项选择题1.“n1”是“方程x2+ny2=1表示焦点在x轴上的圆锥曲线”的(A)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:当n0时,x2+ny2=1可化为x2+y21n=1,因为椭圆的焦点在x轴上,所以11n,即n1,故方程x2+ny2=1表示焦点在x轴上的圆锥曲线时,n1,故“n1”是“方程x2+ny2=1表示焦点在x轴上的圆锥曲线”的充分不必要条件.故选A.2.阿基米德(公元前287年公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对
2、称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为74,面积为12,则椭圆C的方程为(A)A.x29+y216=1 B.x23+y24=1C.x218+y232=1 D.x24+y236=1解析:设椭圆C的方程为x2b2+y2a2=1(ab0),由题意可得ab=12,ca=74,a2=b2+c2,解得a=4,b=3,所以椭圆C的方程为x29+y216=1.故选A.3.(2022广东高中联合质量测评)“青花出晕染,胜却人间无数”,青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品,也是中国瓷器的主流品种之一,如图,是一青花瓷花瓶,其外形上下对称,可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若该花瓶的瓶口直径是8
3、cm,瓶身最小的直径是4 cm,瓶高是6 cm,则该双曲线的离心率为(B)A.52B.72C.54 D.344解析:以花瓶最细处所在直线为x轴,花瓶的竖直对称轴为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),花瓶的最小直径|A1A2|=2a=4,则a=2,由已知可得M(4,3),故164-9b2=1,解得b=3,所以双曲线的离心率e=1+b2a2=1+34=72.故选B.4.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,P为C在第一象限上的一点,若PF的中点到y轴的距离为3,则直线PF的斜率为(C)A.2 B.2C.22 D.4解析:由y2=8x,知焦点到准线
4、的距离为p=4,焦点F(2,0).由抛物线的定义知PF的中点到y轴的距离等于|PF|2=3,又|PF|=xP+2,所以xP+2=6,得xP=4,从而yP=42,所以点P(4,42).所以直线PF的斜率为42-04-2=22.故选C.5.由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界,该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y2a2-x2b2=1(a0,b0)下支的一部分,且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2,离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为(B)A.y=3x B.y=33xC.y=x D.y=2x解析:因为双曲线方
5、程为y2a2-x2b2=1(a0,b0),所以下焦点为(0,-c)(c0),渐近线方程为y=abx,即axby=0,则下焦点到axby=0的距离d=bca2+b2=b=2,又因为e=ca=1+(ba) 2=2,解得ba=3,即ab=33,所以该双曲线的渐近线方程为y=33x.故选B.6.(2022河北张家口三模)已知点P是抛物线y2=4x上的动点,过点P向y轴作垂线,垂足记为N,动点M满足|PM|+|PN|的最小值为3,则点M的轨迹长度为(C)A.163 B.8C.163+43 D.8+23解析:设点F为抛物线y2=4x的焦点.当M在抛物线外部时,如图(1)所示,当M,P,F三点共线时,|PM
6、+PN|最小,故|PM|+|PN|=|PM|+|PN|+1-1=|PM|+|PF|-1|MF|-1=3,所以|MF|=4,点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=16(在抛物线外部的部分),与y2=4x联立解得x=3,所以轨迹与抛物线的两个交点为A(3,23),B(3,-23),则AFB=23,圆在抛物线外部的弧长为434=163;当点M在抛物线上或内部时,如图(2)所示,当N,P,M三点共线时,|PM|+|PN|最小,此时点M的轨迹方程为x=3(-23y23),其长度为43.所以点M的轨迹长度为163+43.故选C.7.(2022广东佛山模拟)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,过焦点
7、且斜率为22的直线l与抛物线C交于A,B(A在B的上方)两点,若|AF|=|BF|,则的值为(C)A.2B.3C.2D.5解析:设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),直线l的倾斜角为,则y12=2px1,y22=2px2,|AB|=x1+x2+p=2psin2,由tan =22,及同角三角函数的基本关系可得sin2=89,即有x1+x2=54p,由直线l的斜率为22,则直线l的方程为y-0=22(x-p2),即y=22x-2p,联立抛物线方程,消去y并整理,得4x2-5px+p2=0,则x1x2=p24,可得x1=p,x2=14p,则|AF|BF|=p+12p14p+12p=2,故
8、的值为2.故选C.8.(2022四川德阳模拟)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,点P在C上,且仅当点P在y轴右边时有PF1PF2=12PF12,那么椭圆C的离心率的取值范围是(B)A.12,32)B.13,12)C.13,33)D.12,22)解析:设|PF1|=x,由于点P在C上,|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=2a-x,当点P在y轴右边时,有x(a,a+c,设PF1,PF2的夹角为,又PF1PF2=12PF12,所以x(2a-x)cos =12x2,所以cos =x2(2a-x),在PF1F2中,由余弦定理可知,|F1F2|2=|PF1|2
9、+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos ,所以(2c)2=x2+(2a-x)2-2x(2a-x)cos =x2+(2a-x)2-x2=(2a-x)2,又2c0,2a-x0,所以2c=2a-x,所以x=2(a-c),又axa+c,所以a2(a-c)a+c,所以2ca3c,所以13ca12,故13e0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,Q是圆F2:(x-4)2+y2=16上一动点,线段F1Q的垂直平分线交直线QF2于E上的点P,则(ABD)A.E的离心率为2B.E的渐近线方程为y=3xC.F2到E的渐近线的距离为3D.PF1F2内切圆圆心的横坐标为2解析:由题意,可知F2(4,0),所以c=
10、4.又由题意,知|PF1|=|PQ|,所以2a=|PF1|-|PF2|=|PQ|-|PF2|=|QF2|=4b0)上一点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,焦距为2c(c0),若F1PF2是直角,则(ABC)A.|OP|=c(O为原点)B.SF1PF2=b2C.F1PF2的内切圆半径r=a-cD.|PF1|max=a+c解析:在RtF1PF2中,O为斜边F1F2的中点,所以|OP|=12|F1F2|=c,故A正确;设|PF1|=m,|PF2|=n,则有m2+n2=(2c)2,m+n=2a,所以mn=12(m+n)2-(m2+n2)=2b2,所以SF1PF2=12mn=b2,故B正确;SF1PF2=
11、12(m+n+2c)r=b2,r=2SF1PF2m+n+2c=2b22a+2c=2(a2-c2)2(a+c)=a-c,故C正确;若|PF1|=a+c,则P为椭圆右顶点,此时P,F1,F2构不成三角形,故D错误.故选ABC.11.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,过F的直线与抛物线C分别交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则下列说法正确的是(AD)A.y1y2为定值B.AOB可能为直角C.以BF为直径的圆与y轴有两个交点D.对于确定的直线AB,在C的准线上存在三个不同的点P,使得ABP为直角三角形解析:由题意知直线AB的斜率不为0,设lAB:x=ty+1,与y2=4x联立可
12、得y2-4ty-4=0,y1y2=-4,故A正确;因为x1x2=y12y2216=1,所以kOAkOB=y1y2x1x2-1,所以AOB2,故B错误;设BF的中点为M(1+x22,y22),|BF|2=1+x22,则以BF为直径的圆与y轴相切,故C错误;设AB的中点N(x1+x22,y1+y22),N到C的准线的距离为x1+x22+1,因为|AB|2=x1+x22+1,故有以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切,对于确定的直线AB,当P为直角时,此时P为切点;当A或B为直角时,P为过A(或B)的AB的垂线与准线的交点,故D正确.故选AD.12.(2022湖北模拟)已知F是抛物线y2=4x的焦点,
13、P是抛物线y2=4x上一动点,Q是圆C:(x-4)2+(y-1)2=1上一动点,则下列说法正确的有(AC)A.|PF|的最小值为1B.|QF|的最小值为10C.|PF|+|PQ|的最小值为4D.|PF|+|PQ|的最小值为10+1解析:由题意知,F(1,0),C(4,1),圆C的半径为 r=1,由抛物线的定义知,|PF|=xP+11,所以|PF|的最小值为1,即选项A正确;点Q是圆上的动点,|QF|min=|CF|-r=10-1,即选项B错误;过点P作PM垂直准线于点M,则|PF|+|PQ|=|PM|+|PQ|MQ|,而|MQ|min=|MC|-r=4+1-1=4,当且仅当M,Q,C三点共线,
14、且该直线与x轴平行时,等号成立,所以|PF|+|PQ|的最小值为4,即选项C正确,选项D错误.故选AC.三、填空题13.(2022湖南长沙岳麓区校级模拟)已知点A,B在椭圆C:x26+y23=1上,O为坐标原点,直线OA与OB的斜率之积为-12,设OP=OA+OB,若点P在椭圆C上,则2+2的值为.解析:设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x126+y123=1,x226+y223=1,且y1y2x1x2=-12.由题设,点P(x1+x2,y1+y2)在椭圆C上,则(x1+x2)26+(y1+y2)23=1,即2(x126+y123)+2(x226+y223)+2(x1x26+y1y23
15、)=1,得2+2=1.答案:114.抛物线y2=4x的焦点为F,点A(3,2),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则PAF的周长的最小值为.解析:由抛物线y2=4x可得焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1.由题意可知求PAF周长的最小值,即求|PA|+|PF|的最小值.设点P在准线上的射影为点D.则根据抛物线的定义,可知|PF|=|PD|,因此求|PA|+|PF|的最小值即求|PA|+|PD|的最小值.易知当P,A,D三点共线时,|PA|+|PD|最小.所以(|PA|+|PD|)min=xA-(-1)=3+1=4.又因为|AF|=(3-1)2+(2-0)2=22,所以PAF的周长的最
16、小值为4+22.答案:4+2215.(2022河北张家口一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,过原点O的直线l交椭圆C于点A,B,且2|FO|=|AB|,若BAF=6,则椭圆C的离心率是.解析:因为直线AB过原点,由椭圆及直线的对称性可得|OA|=|OB|,所以|AB|=2|OA|,设右焦点为F,如图所示,连接BF,AF,又因为2|OF|=|AB|=2c(c0),即|FF|=|AB|,可得四边形AFBF为矩形,且ABF=AFF,在RtAFF中,|AF|=|FF|sin AFF=2csin AFF,|AF|=|FF|cos AFF=2ccos AFF,由椭圆的定义可得|
17、AF|+|AF|=2a,所以2a=2c(sin AFF+cos AFF),因为BAF=6,故AFF=3,所以离心率e=ca=132+12=3-1.答案:3-116.已知直线l为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线,F1,F2是双曲线C的左、右焦点,点F1关于直线l的对称点在双曲线C的另一条渐近线上,则双曲线C的渐近线的斜率为 ,离心率为 .解析:双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=bax,设直线l为y=-bax,则另一条渐近线为y=bax,因为F1(-c,0)(c0),设点F1关于直线l的对称点F(x0,y0),所以y0x0+c=ab,y02=-bax0-c2,解得x0=2b2c-c,y0=2abc,所以2abc=ba(2b2c-c),即2a2=2b2-c2,所以2a2=2c2-2a2-c2,2a2=2b2-a2-b2,即c=2a,3a=b,所以双曲线C的渐近线的斜率为3,离心率e=ca=2.答案:32