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1、专题强化训练(十八)一、单项选择题1.已知点P(1,2),则当点P到直线2ax+y-4=0的距离最大时,a=(B)A.1B.-14C.14 D.5解析:因为直线恒过定点A(0,4),则当PA与直线2ax+y-4=0垂直时,点P到该直线的距离最大,此时过点P,A的直线的斜率为-2,所以直线2ax+y-4=0的斜率为12,即-2a=12,所以a=-14.故选B.2.(2022山东济南模拟)已知a0,b0,直线l1:x+(a-4)y+1=0,l2:2bx+y-2=0,且l1l2,则1a+1+12b的最小值为(D)A.2B.4C.23 D.45解析:已知a0,b0,直线l1:x+(a-4)y+1=0,
2、l2:2bx+y-2=0,且l1l2,所以12b+(a-4)1=0,即a+2b=4,则1a+1+12b=a+1+2b5(1a+1+12b)=15(1+2ba+1+a+12b+1)15(2+22ba+1a+12b)=45,当且仅当2b=a+1,即a=32,b=54时,取等号,故1a+1+12b的最小值为45.故选D.3.(2022浙江临海模拟预测)已知M为直线y=x+1上的动点,N为圆x2+y2+2x+4y+4=0上的动点,则|MN|的最小值是(D)A.2B.2-2C.1D.2-1解析:由圆x2+y2+2x+4y+4=0,得(x+1)2+(y+2)2=1,可得圆心的坐标为(-1,-2),半径为1
3、,圆心到直线x-y+1=0的距离d=|-1+2+1|2=2,而M为直线y=x+1上的动点,N为圆x2+y2+2x+4y+4=0上的动点,则|MN|的最小值是2-1.故选D.4.从直线l:3x+4y=15上的动点P作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为C,D,则CPD最大时,四边形OCPD(O为坐标原点)的面积是(B)A.3 B.22C.23 D.2解析:圆x2+y2=1的圆心为坐标原点O,建立平面直角坐标系,如图,则OPC=OPD,设OPC=OPD=,则CPD=2,OCPC,则sin =|OC|OP|=1|OP|,当|OP|取最小值时,OPl,此时|OP|=1532+42=3,因为|PC|=
4、|PD|=|OP|2-12=22,|OC|=|OD|,|OP|=|OP|,故OPCOPD,此时S四边形OCPD=2SOPC=|OC|PC|=122=22.故选B.5.(2022安徽合肥二模)已知直线l1:mx-y=0(mR)过定点A,直线l2:x+my+4-2m=0过定点B,l1与l2的交点为C,则ABC面积的最大值为(C)A.10B.25C.5D.10解析:直线l1:mx-y=0(mR)过定点A(0,0),直线l2:x+my+4-2m=0过定点B(-4,2),联立mx-y=0,x+my+4-2m=0,消去m得(x+2)2+(y-1)2=5,又A(0,0),B(-4,2)在圆(x+2)2+(y
5、-1)2=5上,且线段AB为圆的直径,故|CA|2+|CB|2=202|CA|CB|,所以|CA|CB|10,当且仅当|CA|=|CB|=10时,取等号,ABC面积S=12|CA|CB|的最大值为5.故选C.6.(2022甘肃二模)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠,他研究发现:如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数(0,且1),那么点P的轨迹为圆,这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点C到A(-1,0),B(1,0)的距离之比为3,则点C到直线x-2y+8=0的距离的最小值为(A)A.25-3 B.5-3C.25 D.3解析:设C(x,y),则|CA|C
6、B|=3,即(x+1)2+y2(x-1)2+y2=3,化简得(x-2)2+y2=3,所以点C的轨迹为以D(2,0)为圆心,r=3的圆,则圆心D到直线x-2y+8=0的距离d=|2-20+8|12+(-2)2=25,所以点C到直线x-2y+8=0的距离的最小值为25-3.故选A.7.(2022江西模拟预测)设A(-2,0),B(2,0),O为坐标原点,点P满足|PA|2+|PB|216,若直线kx-y+6=0上存在点Q使得PQO=6,则实数k的取值范围为(C)A.-42,42B.(-,-4242,+)C.(-,-5252,+)D.-52,52解析:设P(x,y),因为|PA|2+|PB|216,
7、所以(x+2)2+y2+(x-2)2+y216,即x2+y24,所以点P的轨迹为以原点为圆心,2为半径的圆面.若直线kx-y+6=0上存在点Q使得PQO=6,则PQ为圆x2+y2=4的切线时PQO最大,所以sinPQO=|OP|OQ|=2|OQ|12,即|OQ|4,所以圆心到直线kx-y+6=0的距离d=61+k24,所以k-52或k52.故选C.8.(2022广东铁一中学高三期末)已知mR,过定点A的动直线mx+y=0和过定点B的动直线x-my-m+3=0交于点P,则|PA|+3|PB|的取值范围是(D)A.(10,210B.(10,30C.10,30)D.10,210解析:动直线mx+y=
8、0过定点A(0,0),动直线x-my-m+3=0,即x+3-m(y+1)=0过定点B(-3,-1),且两条直线垂直,所以点P在以AB为直径的圆上,|AB|=12+32=10,设ABP=,则|PA|=10sin ,|PB|=10cos ,0,2,所以|PA|+3|PB|=10sin +30cos =210sin(+3),因为0,2,所以+33,56,所以sin(+3)12,1,所以210sin(+3)10,210.故选D.二、多项选择题9.(2022山东淄博三模)已知圆O1:x2+y2-2x-3=0和圆O2:x2+y2-2y-1=0的交点为A,B,则(ABD)A.圆O1和圆O2有两条公切线B.直
9、线AB的方程为x-y+1=0C.圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|AB|D.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+2解析:对于A,因为两个圆相交,所以有两条公切线,故A正确;对于B,将两圆方程作差可得-2x+2y-2=0,即得公共弦AB的方程为x-y+1=0,故B正确;对于C,直线AB经过圆O2的圆心(0,1),所以线段AB是圆O2的直径,故圆O2中不存在比线段AB长的弦,故C错误;对于D,圆O1的圆心坐标为(1,0),半径为2,圆O1的圆心到直线AB:x-y+1=0的距离为|1+1|2=2,所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+2,故D正确.故选ABD.10.(2022江苏通州高三期末)
10、已知点A(4,3)在以原点O为圆心的圆上,B,C为该圆上的两点,满足BC=OA,则(ABD)A.直线BC的斜率为34B.AOC=60C.ABC的面积为253D.B,C两点在同一象限解析:BC=OA,则BC,OA平行且相等,kBC=kOA=34,A正确;因为|OB|=|OA|,所以四边形OACB是菱形,且AOC,BOC都是正三角形,即AOC=60,B正确,|OA|=42+32=5,SABC=1252sin 120=2534,C错误,设BC所在直线方程为y=34x+b,即3x-4y+4b=0,因为|BC|=5,所以O到BC的距离为532,则|4b|32+42=532,解得b=2538,当b=253
11、85时,由y=34x+2538,取y=0,可得x=-2536-5,则B,C均在第二象限;当b=-25385,则B,C均在第四象限.综上,B,C两点在同一象限,D正确.故选ABD.11.(2022湖北恩施高三期末)已知圆M:x2+(y-2)2=1,点P为x轴上的一个动点,过点P作圆M的两条切线,切点分别为A,B,直线AB与MP交于点C,则下列结论正确的是(ACD)A.四边形PAMB周长的最小值为2+23B.|AB|的最大值为2C.直线AB过定点D.存在点N使|CN|为定值解析:如图所示.设|MP|=t,则|AP|=|BP|=t2-1,所以四边形PAMB的周长为2t2-1+2,当点P位于原点时,t
12、取最小值2,故当t取最小值2时,四边形PAMB的周长取最小值为23+2,故A正确;由S四边形PAMB=2SPAM可得12|MP|AB|=212|PA|1,则|AB|=2t2-1t=21-1t2,而t2,则3|AB|2,故B错误;设P(x0,0),A(x1,y1),B(x2,y2),则PA的方程为x1x+(y1-2)(y-2)=1,PB的方程为x2x+(y2-2)(y-2)=1,而P(x0,0)在切线PA,PB上,故x1x0+(y1-2)(-2)=1,x2x0+(y2-2)(-2)=1,故AB的直线方程为xx0+(y-2)(-2)=1,当x=0时,y=32,即AB过定点(0,32),故C正确;由
13、圆的切线性质可知MPAB,设AB过定点D(0,32),则点C位于以MD为直径的圆上,设MD的中点为N,则N(0,74),则|CN|为定值,故D正确.故选ACD.12.(2022山东临沂高三期末)已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:x2+y2=4,P(x1,y1)在圆C1上,Q(x2,y2)在圆C2上,则(ABD)A.|PQ|的取值范围是1,3B.直线x1x+y1y=1是圆C1在点P处的切线C.直线x1x+y1y=4与圆C2相交D.直线x2x+y2y=1与圆x2+y2=14相切解析:圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径为1,圆C2:x2+y2=4的圆心为C2(0,0),半径为2,观
14、察图象可得2-1|PQ|2+1,所以|PQ|的取值范围是1,3,A正确;因为x1x1+y1y1=1,所以点P(x1,y1)在直线x1x+y1y=1上,又C1(0,0)到直线x1x+y1y=1的距离d1=1x12+y12=1,又圆C1的半径为1,所以直线x1x+y1y=1是圆C1在点P处的切线,B正确;因为点P(x1,y1)在圆C1上,所以x12+y12=1,所以C2(0,0)到直线x1x+y1y=4的距离d2=4x12+y12=4,又圆C2的半径为2,所以直线x1x+y1y=4与圆C2相离,C错误;圆x2+y2=14的圆心为(0,0),半径为12,点(0,0)到直线x2x+y2y=1的距离d3
15、=1x22+y22=12,所以直线x2x+y2y=1与圆x2+y2=14相切,D正确.故选ABD.三、填空题13.过点P(2,2)的直线l1与圆(x-1)2+y2=1相切,则直线l1的方程为.解析:当过P(2,2)的直线l1斜率不存在时,方程为x=2,与圆(x-1)2+y2=1相切,满足题意;当过P(2,2)的直线l1斜率存在时,设方程为y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0,所以圆(x-1)2+y2=1的圆心(1,0)到l1的距离d=|k-0-2k+2|k2+1=1,解得k=34,所以l1:34x-y+12=0,即3x-4y+2=0,所以直线l1的方程为3x-4y+2=0或x=2.答
16、案:3x-4y+2=0或x=214.平面直角坐标系xOy中,已知A(-1,0),B(2,1),在ABC中,BC边上的高所在直线的斜率为12,AC边上的中线所在直线的方程为y=1,则直线BC的一般式方程为,以AC为直径的圆的标准方程为.解析:因为BC边上的高所在直线的斜率为12,所以直线BC的斜率为-2,直线BC的方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.设C(x0,y0),因为AC边上的中线所在直线的方程为y=1,所以y02=1,即y0=2,因为直线BC的方程为2x+y-5=0,所以2x0+y0-5=0,则x0=32,C(32,2),AC的中点为(14,1),r2=(1+14)2+1=
17、4116,所以所求圆的标准方程为(x-14)2+(y-1)2=4116.答案:2x+y-5=0(x-14)2+(y-1)2=411615.(2021浙江模拟预测)已知直线l:mx-y=1,若直线l与直线x-my-1=0平行,则实数m的值为 ,动直线l被圆C:x2+y2+2x-24=0截得弦长的最小值为 .解析:由题意得m(-m)-(-1)1=0,所以m=1.当m=1时,两直线重合,舍去,故m=-1.因为圆C的方程x2+y2+2x-24=0可化为(x+1)2+y2=25,即圆心为C(-1,0),半径为5.由于直线l:mx-y-1=0过定点P(0,-1),所以过点P且与PC垂直的弦的弦长最短,且|
18、PC|=2,最短弦长为252-(2)2=223.答案:-122316.(2022天津五十七中模拟)已知圆C过点P(0,1),Q(2,1)两点,且圆心C在x轴上,经过点M(-1,0)且倾斜角为钝角的直线l交圆C于A,B两点,若CACB=0(C为圆心),则该直线l的斜率为 .解析:由题意可知,PQ为圆C的弦,则圆心C在PQ的中垂线x=1上,又因为圆心在x轴上,故圆心坐标为C(1,0),故圆的半径r=|PC|=2,因为过点M(-1,0)的直线l交圆C于A,B两点,且CACB=0(C为圆心),则CAB为等腰直角三角形,|CA|=|CB|=r=2,所以圆心C到AB即直线l的距离d=1,设l为y=k(x+1),即kx-y+k=0,则d=|2k|k2+1=1k=33,因为k0,所以k=-33.答案:-33