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1、不等式一、选择题1已知x，y满足约束条件，则目标函数z=x2+y2的最小值为（）ABCD【答案】B【解析】画出所表示的可行域如下图所示：目标函数z=x2+y2代表的几何意义是原点到区域内的点的距离的平方，由图可知：原点到直线x+y1=0的距离OP最短，又原点到x+y1=0距离，故选B【点评】线性规划求最值的常见类型（1）线性目标函数求最值：转化为直线的截距问题，结合图形求解；（2）分式型目标函数最值：转化为平面区域内的点与定点连线的斜率问题，结合图形求解；（3）平方型目标函数求最值；转为两点间的距离问题，结合图形求解2关于x的不等式的解为（）A0x2B0x1Cx1【答案】B【解析】根据对数式有
2、意义，可得x0，不等式等价于xlog2x0，所以log2x0，解得0x1，故选B【点评】该题考查的是有关求不等式的解集的问题，在解题的过程中，注意到xlog2x0是解题的关键二、解答题3已知函数fx=x+1（1）解不等式f(x)42x1；（2）已知，若，求证【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）f(x)42x1等价于x+142x1，当x1时，原不等式化为(x+1)4+(2x1)，即，；当时，原不等式化为x+12，；当时，原不等式化为x+142x+1，即，综上可得，原不等式的解集为（2）证明：|x+a|f(x)=x+ax+1(x+a)(x+1)=a1，2a12，即a12，x+afx2，【
3、点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，属于中档题4已知函数fx=x2ax11，aR（1）当a=2时，解不等式fx+f20；（2）对任意的，fxax+1恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）当a=2时，fx=x22x11，f2=1，则不等式fx+f20为x22x10，当x1时，x22x10为恒成立，x1；当x1时，x22x10为，解得x13或x1+3，x13或1+3x1，综上，不等式fx+f20的解集为（2）不等式fxax+1等价于x2ax11ax+1，即对任意的恒成立，即对任意的恒成立，函数在区间上单调递增，最小值为，故实数a的取值
4、范围是【点评】解绝对值不等式的常用方法：（1）基本性质法：a为正实数，xaaxaxa；（2）平方法：两边平方去掉绝对值，适用于xaxb型的不等式的求解；（3）分类讨论法(零点分区间法)：含有两个或两个以上绝对值的不等式，可用分类讨论法去掉绝对值，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式求解；（4）几何法：利用绝对值不等式的几何意义，画出数轴，将绝对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解；（5）数形结合法：在直角坐标系中，作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解5已知函数f(x)=x2+x+2（1）求不等式f(x)2x+4的解集；（2）若f(x)的最小值为k，且实数a，b，c，满足
5、a(b+c)=k，求证：2a2+b2+c28【答案】（1）(，0；（2）证明见解析【解析】（1）当x2时，不等式即为2x2x+4，解得x1，x2时，不等式即为2x2x+4，综上，不等式f(x)2x+4的解集为(，0（2）由绝对值不等式的性质可得：|x2|+|x+2|(x2)(x+2)|=4，当2x2时，f(x)取最小值4，即k=4，a(b+c)=4，即ab+ac=4，2a2+b2+c2=a2+b2+a2+c22ab+2ac=8，当且仅当a=b=c=2时等号成立【点评】证明不等式常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）放缩法；（5）数学归纳法；（6）反证法要根据已知条件灵活
6、选择方法证明6已知函数f(x)=|x4|+|1x|，（1）解不等式：f(x)5；（2）记f(x)的最小值为M，若实数a，b满足a2+b2=M，试证明：【答案】（1）x0x5，（2）证明见解析【解析】（1），因为f(x)5，所以或1x4或，所以4x5或1x4或0x1，所以，所以不等式的解集为x0x5（2）证明：因为f(x)=|x4|+|1x|(x4)+(1x)=3，当且仅当1x4时取等号，所以f(x)的最小值为M=3，所以a2+b2=3，所以，当且仅当，即a2=1，b2=2时取等号【点评】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方