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1、 考点十三 导数与函数的单调性 知识梳理 1函数的单调性与导数 在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果 f(x)0，那么函数 yf(x)为该区间上的增函数；如果 f(x)0(或0 能推出f(x)为该区间上的增函数，但反之不一定 如函数f(x)x3在R上单调递增，但f(x)3x20，所以 f(x)0 是 f(x)为增函数的充分不必要.(2)f(x)0(或0)是 f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f(x)0 不恒成立)典例剖析 题型一 利用导数证明函数的单调性 例 1 求证函数 yx1x在1,)内为增函数 解析 y11x2x21x2 当 x1 时，x
2、210，y0，函数 yx1x在1,)内为增函数 变式训练 求证函数 yx3x2x 在 R 上是增函数 解析 y3x2+2x1=3(x13)223 显然对任意 xR，均有 y0，函数 yx3x2x 在 R 上是增函数 题型二 求函数的单调区间 例 2 已知函数 f(x)ln xkex(k 为常数，e2.718 28是自然对数的底数)，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线与 x 轴平行(1)求 k 的值；(2)求 f(x)的单调区间 解析(1)由 f(x)ln xkex，得 f(x)1kxxln xxex，x(0，)，由于曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线与 x 轴平行，所以 f(1)
3、0，因此 k1.(2)由(1)得 f(x)1xex(1xxln x)，x(0，)，令 h(x)1xxln x，x(0，)，当 x(0,1)时，h(x)0；当 x(1，)时，h(x)0，所以 x(0,1)时，f(x)0；x(1，)时，f(x)0.因此 f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)变式训练 (1)函数 f(x)xlnx的单调递减区间是_(2)已知函数 f(x)4xx4，xR，则 f(x)的单调递增区间为_ 答案(1)(0,1)，(1，e)(2)(，1)解析(1)f(x)lnx1ln2x，令 f(x)0，得 lnx10，lnx0，0 x1 或 1x0，解集在定义域内的部
4、分为单调递增区间；(4)解不等式 f(x)0 即 3x230，解得 x1 或 x0，令 exa0，则 exa，xln a.因此当 a0 时，f(x)的单调增区间为 R，当 a0 时，f(x)的单调增区间为ln a，)(2)f(x)exa0 在(2,3)上恒成立 aex在 x(2,3)上恒成立 e2exe3，只需 ae3.当 ae3时，f(x)exe30(或0 在23，上有解，即x2x2a0，2ax2x，令 g(x)x2x，g(x)g2329.即 a19.a 的取值范围为19，.变式训练 已知函数 f(x)2x2axln x 在其定义域上不单调，求实数 a 的取值范围 解析 函数 f(x)的定义
5、域为(0，)，因为 f(x)2x2axln x，所以 f(x)4xa1x1x(4x2ax1)由函数 f(x)在区间(0，)上不单调可知，f(x)0 有两个正解，即 4x2ax10 有两个正解，设为 x1，x2.故有（a）24410，x1x2a40，x1x2140，解得 a4.所以实数 a 的取值范围为(4，)解题要点 函数在区间 D 上存在单调递增区间，即在区间 D 上 f(x)0 能成立，分离变量后可求参数范围.需注意，af(x)能成立，只需 af(x)min，af(x)能成立，则 a0 得 x2.2函数 f(x)x22ln x 的单调减区间是_ 答案(0,1)解析 f(x)2x2x2x1x
6、1x(x0)当 x(0,1)时，f(x)0，f(x)为增函数 3.若函数 ycos xax 在2，2上是增函数，则实数 a 的取值范围是_ 答案 1，)解析 ysin xa，若函数在2，2上是增函数，则 asin x 在2，2上恒成立，所以 a1，即实数 a 的取值范围是1，)4函数 f(x)1xsin x 在(0，2)上的单调情况是_ 答案 单调递增 解析 在(0，2)上有 f(x)1cos x0，所以 f(x)在(0，2)上单调递增 5函数 f(x)exx 的单调递增区间是_ 答案 (0，)解析 f(x)exx，f(x)ex1，由 f(x)0，得 ex10，即 x0.课后作业 一、填空题
7、1函数 yx2(x3)的单调递减区间是_ 答案(0,2)解析 y3x26x，由 y0，得 0 x2.2函数 y(3x2)ex的单调递增区间是_ 答案 (3,1)解析 y2xex(3x2)exex(x22x3)，由 y0 x22x303x0，故单调增区间是(0，)4函数 f(x)=xln x，则_ 在(0，+)上是增加的 在(0，+)上是减少的 在(0，1e)上是增加的 在(0，1e)上是减少的 答案 解析 因为函数 f(x)=xln x，所以 f(x)=ln x+1，f(x)0，解得 x1e，则函数的单调增区间为(1e,+)，又 f(x)0，解得 0 x1e，则函数的单调减区间为(0,1e)，
8、故选.5函数 f(x)xln x 的单调递减区间为_ 答案 (0,1)解析 函数的定义域是(0，)，且 f(x)11xx1x，令 f(x)0，解得 0 x1，所以单调递减区间是(0,1)6已知函数 f(x)12x3ax4，则“a0”是“f(x)在 R 上单调递增”的_条件 答案 充分不必要 解析 f(x)32x2a，当 a0 时，f(x)0 恒成立，故“a0”是“f(x)在 R 上单调递增”的充分不必要条件 7若函数 ya(x3x)的单调递减区间为(33，33)，则实数 a 的取值范围是_ 答案 a0 解析 ya(3x21)，解 3x210，得33x33.f(x)x3x 在(33，33)上为减
9、函数 又 ya(x3x)的单调递减区间为(33，33)，a0.8 设函数 f(x)12x29lnx 在区间a1，a1上单调递减，则实数 a 的取值范围是_ 答案 10)，当 x9x0 时，有 00，a13，解得 1a2.9函数 f(x)xlnx的单调递减区间是_ 答案 (0,1)，(1，e)解析 f(x)lnx1ln2x，令 f(x)0，得 lnx10，lnx0，0 x1 或 1xe，故函数的单调递减区间是(0,1)和(1，e)10若函数 f(x)x3ax2 在(1，)上是增函数，则实数 a 的取值范围是_ 答案 3，)解析 f(x)3x2a，f(x)在区间(1，)上是增函数，则 f(x)3x
10、2a0 在(1，)上恒成立，即 a3x2在(1，)上恒成立a3.11已知函数 y13x3bx2(2b3)x2b 在 R 上不是单调减函数，则 b 的取值范围是_ 答案 b3 解析 yx22bx(2b3)，要使原函数在 R 上单调递减，应有 y0 恒成立，4b24(2b3)4(b22b3)0，1b3，故使该函数在 R 上不是单调减函数的 b 的取值范围是 b3.二、解答题 12(2015 天津文节选)已知函数 f(x)4xx4，xR.求 f(x)的单调区间；解析 由 f(x)4xx4，可得 f(x)44x3.当 f(x)0，即 x1 时，函数 f(x)单调递增；当 f(x)0，即 x1 时，函数 f(x)单调递减 所以，f(x)的单调递增区间为(，1)，单调递减区间为(1，)13已知函数 f(x)1xln x，求函数 f(x)的极值和单调区间 解析 因为 f(x)1x21xx1x2，令 f(x)0，得 x1，又 f(x)的定义域为(0，)，f(x)，f(x)随 x 的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0 f(x)极小值 所以 x1 时，f(x)的极小值为 1.f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1)