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1、专练48椭圆命题范围：椭圆的定义、标准方程与简单的几何性质基础强化一、选择题1.椭圆1上一点M到其中一个焦点的距离为3，则点M到另一个焦点的距离为（）A2 B3C.4 D52.已知ABC的顶点B，C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则ABC的周长为（）A.2 B4C.6 D123.2021全国乙卷设B是椭圆C：y21的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（）A. BC. D24.动点P到两定点F1（4，0），F2（4，0）的距离之和为10，则动点P的轨迹方程是（）A.1 B1C.1 D15.已知椭圆的长轴长为8，离心率为，则此椭圆的标准方程是（）A.1B
2、.1或1C.1D.1或16.2023全国甲卷（文）设F1，F2为椭圆C：y21的两个焦点，点P在C上，若PF1PF20，则|PF1|PF2|（）A.1 B2C.4 D57.已知椭圆C：1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（）A. BC. D8.设椭圆1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1F2为直角三角形，则PF1F2的面积为（）A.3 B3或C. D6或39.2023陕西省西安中学三模我们把由半椭圆1（x0）与半椭圆1（xbc0）.如图所示，设点F0、F1、F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x轴和y轴的交点，若F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别
3、为（）A.，1 B，1C.5，3 D5，4二、填空题10.若方程1表示椭圆，则k的取值范围是_11.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为_12.已知F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为_能力提升13.2022全国甲卷（文），11已知椭圆C：1（ab0）的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点若BA1BA21，则C的方程为（）A.1 B1C.1 Dy2114.2023江西省南昌市高三模拟 已知F1，F2，B分别是椭圆C：1（ab0）的左焦点、右焦点、上顶点，连接B
4、F2并延长交C于点P，若PF1B为等腰三角形，则C的离心率为（）A. BC. D15.F1，F2是椭圆1（ab0）的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使F1PF290，则椭圆的离心率的取值范围是_16.2023安徽省蚌埠市高三质检 已知椭圆1（ab0）的离心率为，直线l与椭圆交于A，B两点，当AB的中点为M（1，1）时，直线l的方程为_专练48椭圆1Da4，由椭圆的定义知，M到另一个焦点的距离为2a32435.2B由椭圆的方程得a.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|BF|CA|CF|2a，所以ABC的周长为|BA|BC|CA|BA|BF|CF|CA|(|BA|BF|)(|CF|CA
5、|)2a2a4a4.3A通解设点P(x，y)，则根据点P在椭圆y21上可得x255y2.易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2x2(y1)255y2(y1)24y22y6(2y)2.当2y0，即y(满足|y|1)时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max.优解因为点P在椭圆y21上，所以可设点P(cos ，sin ).易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2(cos )2(sin 1)24cos22sin24sin22sin6(2sin )2.易知当2sin 0，即sin 时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max.4B依题意，动点P的轨迹是椭圆，且焦点在
6、x轴上，设方程为1(ab0)，由c4，2a10，即a5，得b3，则椭圆方程为1.5B2a8，a4，e，c3，b2a2c21697，椭圆的标准方程为1或1.6B方法一因为PF1PF20，所以PF1PF2，则SPF1F2|PF1|PF2|b2tan ，得|PF1|PF2|1tan ，所以|PF1|PF2|2，故选B.方法二因为0，所以PF1PF2，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)216.因为|PF1|PF2|2a2，所以(|PF1|PF2|)220，即|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|20，所以|PF1|PF2|2，故选B.7C由题可知椭圆的焦点落在x轴上，c2，a24
7、c28，a2，e.8C由已知a2，b，c1，若P为短轴的顶点(0，)时，F1PF260，PF1F2为等边三角形，P不可能为直角，若F190，则|PF1|，SPF1F22c.9A由题意知，a2b2()2，b2c2()2，a2c21.又a2b2c2，b21，b1.a2，a.10答案：(3，4)(4，5)解析：由题意可知解得3k4或4k5，故k的取值范围为(3，4)(4，5).11答案：解析：由题意知，2a2c2(2b)，即ac2b，又c2a2b2，消去b，整理得5c23a22ac，即5e22e30，解得e或e1(舍去).12答案：8解析：解法一由椭圆C：1可知|F1F2|4.由P，Q为C上关于坐标
8、原点对称的两个点，且|PQ|F1F2|，得|PO|QO|2(O为坐标原点)，所以P，Q既在椭圆1上，又在圆x2y212上不妨设点P在第一象限，则由可得P(，)，所以由对称性，可得四边形PF1QF2的面积S四边形PF1QF22SPF1F22|F1F2|yP248.解法二由椭圆方程知，a4，b2，则c2.由点P在椭圆上，得|PF1|PF2|8，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|64.由椭圆的对称性及|PQ|F1F2|知，四边形PF1QF2是矩形，在RtPF1F2中，由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，所以|PF1|2|PF2|248.由得|PF1|PF2|8，所以S四
9、边形PF1QF2|PF1|PF2|8.光速解由椭圆的对称性及|PQ|F1F2|知，四边形PF1QF2是矩形，且F1PF2.结合b24，及椭圆焦点三角形的面积公式，得S四边形PF1QF22SPF1F22b2tan 8.13B由椭圆C的离心率为，可得e.化简，得8a29b2.易知A1(a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，所以(a，b)(a，b)a2b21.联立得方程组解得所以C的方程为1.故选B14C由椭圆的定义，得|BF1|BF2|2a，由椭圆的对称性，得|BF1|BF2|a，设|PF2|m，则|BP|am，又|PF1|PF2|2a，所以|PF1|2am，因为PF1B为等腰三角形，所以|BP|PF1|，即am2am，得m，所以|PF2|，|BP|PF1|，在BF1F2中，由余弦定理，得cos BF2F1，在PF1F2中，由余弦定理，得cos PF2F1，又BF2F1PF2F1，所以cos BF2F1cos PF2F10，即0，整理，得3c2a2，所以e2，由e(0，1)，得e.15答案：解析：设P0为椭圆1的上顶点，由题意得F1P0F290，OP0F245，sin 45，e，又0e1，eb0)，化简得；又因离心率为，所以 ，所以，即；又线段AB的中点为M(1，1)，所以，所以直线AB的斜率为，故所求直线l的方程为y(x1)1，即x2y30.