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1、2.2.1 直线的点斜式方程复习回顾复习回顾1.倾斜角：倾斜角：2.斜率：斜率：直线向上的方向与直线向上的方向与x轴正方向的夹角轴正方向的夹角0,180)3.平行与垂直：平行与垂直：两条不重合的直线两条不重合的直线l1,l2，斜率分别是，斜率分别是k1,k2l1/l2l1l2k1=k2k1k2=-1lxyOP0(x0,y0)P(x,y)直直线 l 经过点点P0(x0,y0)，且斜率且斜率为k，设P(x,y)是直是直线 l 上不同于点上不同于点P0的任意一点的任意一点，则有有即即问题1.点点P0的坐的坐标(x0,y0)满足关系式足关系式y-y0=k(x-x0)吗？问题2.直直线上每一个点的坐上每
2、一个点的坐标（x,y）都都满足关系式足关系式y-y0=k(x-x0)吗？问题3.坐坐标满足关系式足关系式y-y0=k(x-x0)的的每一个点都在每一个点都在直直线上上吗？思考已知直已知直线 l 经过点点(x0,y0)，(1)当直当直线 l 的的倾斜角斜角为0时，直直线 l 的方程是什么的方程是什么？(2)当直当直线 l 的的倾斜角斜角为90时，直直线 l 的方程如何表示的方程如何表示？lxyOP0(x0,y0)P(x,y)当倾斜角为0时，k=0，代入点斜式思考已知直已知直线 l 经过点点(x0,y0)，(1)当直当直线 l 的的倾斜角斜角为0时，直直线l的方程是什么的方程是什么？(2)当直当直
3、线 l 的的倾斜角斜角为90时，直直线l的方程如何表示的方程如何表示？lxyOP0(x0,y0)P(x,y)例1 直线直线 l 经过点经过点P0(-2,3)，且倾斜角，且倾斜角=45，求直线，求直线 l 的的点斜式方程，并画出直线点斜式方程，并画出直线 l.解：解：直线直线 l 经过点经过点P0(-2,3)，斜率，斜率k=tan45=1，代入点斜式方程得代入点斜式方程得 y-3=x+2.画图时，再找出直线画图时，再找出直线l上的另一个点上的另一个点P1(x1,y1)，例如，取，例如，取x1=-1，则，则y1=4，得，得点点P1的坐标为的坐标为(-1,4)，过，过P0,P1的直线即的直线即为所求
4、，如图所示为所求，如图所示14560思考 我们已经学习了直线的点斜式方程的表示，那么若我们已经学习了直线的点斜式方程的表示，那么若直线经过点直线经过点P0(0,b)，斜率为，斜率为k，此时直线方程如何表示？，此时直线方程如何表示？将点将点P0(0,b)和斜率和斜率k代入点斜式方程代入点斜式方程，得得y-b=k(x-0)即即 y=kx+b 我们把直线我们把直线l与与y 轴的交点轴的交点(0,b)的纵坐标的纵坐标 b 叫做直线叫做直线l在在y轴上的截距，这样，方程轴上的截距，这样，方程y=kx+b由直线的斜率由直线的斜率k与它与它在在y轴上的截距轴上的截距b确定。确定。我们把方程我们把方程y=kx
5、+b叫做直线的叫做直线的斜斜截式方程截式方程，简称斜截式。，简称斜截式。问题5.直线的点斜式方程和斜截式方程有什么关系？问题4.截距是距离吗？y=-2x+4平行平行垂直垂直练习5 直直线y=kx-3k+2(kR)必必过定点（定点（）A.(3,2)B.(-3,2)C.(-3,-2)D.(3,-2)A练习6 若直若直线l过点点P(2,1)，且与直且与直线y-1=2x-3垂直垂直，则直直线l的点斜式方程的点斜式方程为_课堂小结点斜式：点斜式：斜截式：斜截式：直直线 l 经过点点P0(x0,y0)，斜率斜率为k直直线 l 经过点点P0(0,b)，斜率斜率为ky=kx+b导入概念学习小组讨论1、斜率相等
6、2、向量平行概念学习思辨两点式方程的运用条件：课堂练习1.求经过下列两点的直线的两点式方程求经过下列两点的直线的两点式方程:(1)P1(2,1),P2(0,3);(2)A(0,5),B(5,0).概念学习概念学习 我我们把直把直线l与与x轴的交点的交点(a,0)的的横坐横坐标a叫做直叫做直线l在在x轴上的截距上的截距.直直线l与与y轴的交点的交点(0,b)的的横坐横坐标b叫做直叫做直线l在在y轴上的截距上的截距.注意：注意：截距可以取全体实数截距可以取全体实数,但截距式方程中的截但截距式方程中的截距距,是指非零的实数；因此截距式方程是指非零的实数；因此截距式方程不包括过原不包括过原点的直线方程
7、点的直线方程,不包括与坐标轴垂直的直线方程不包括与坐标轴垂直的直线方程.课堂练习P642.根据下列条件求直线的截距式方程根据下列条件求直线的截距式方程,并画出图形并画出图形:(1)在在x轴、轴、y轴上的截距分别是轴上的截距分别是2,3;(2)在在x轴、轴、y轴上的截距分别是轴上的截距分别是5,6.3.根据下列条件根据下列条件,求直线的方程求直线的方程:(1)过点过点(0,5),且在两坐标轴上的截距之和为且在两坐标轴上的截距之和为2;(2)过点过点(5,0),且在两坐标轴上的截距之差为且在两坐标轴上的截距之差为2.课堂练习P67截距式方程中的截距截距式方程中的截距,是指非零的实数；因此截距式方程
8、是指非零的实数；因此截距式方程不包括过原点的不包括过原点的直线方程直线方程,不包括与坐标轴垂直的直线方程不包括与坐标轴垂直的直线方程.7.求经过点P（2，3），并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.典型例题变式引申课堂练习P67典型例题直线的两点式方程两点式截距式已知条件图示方程形式xa+yb=1适用条件备注截距式是特殊的两点式方程课堂小结形式形式图例例条件条件直直线的方程的方程适用适用点斜式点斜式直线过点直线过点(x0,y0),且斜率为且斜率为k =()不含与不含与x轴垂直轴垂直的直线的直线斜截式斜截式斜率为斜率为k，且在，且在y轴上的截距为轴上的截距为b=+不含与不含与x轴垂直轴垂直的直
9、线的直线两点式两点式过点过点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1 x2,y1 y2)不含与不含与x,y轴垂轴垂直的直线直的直线截距式截距式与坐标轴的交点与坐标轴的交点坐标坐标P1(a,0),P2(0,b)(其中其中a0,b0)不含过原点和与不含过原点和与x,y轴垂直的直轴垂直的直线线思考思考 上述四种直线方程都是一个怎样的方程？能否写成统一的形式上述四种直线方程都是一个怎样的方程？能否写成统一的形式？形式条件直线方程应用范围点斜式直线过点(x0,y0),且斜率为k斜截式在y轴上的截距为b,且斜率为k两点式过点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1 x2,y1 y2)截距式 过
10、点P1(a,0),P2(0,b)(其中a0,b0)不含与不含与x x轴垂轴垂直的直线直的直线不含与不含与x x轴垂轴垂直的直线直的直线不含与不含与x,yx,y轴轴垂直的直线垂直的直线不含过原点和与不含过原点和与x,yx,y轴垂直的直轴垂直的直线线都是关于都是关于x x,y y的二元一次方程的二元一次方程思考思考(1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一的二元一次方程表示吗次方程表示吗?(2)任意一个关于任意一个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线吗的二元一次方程都表示一条直线吗?因此因此,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系
11、中,对于任何一条直线对于任何一条直线,其方程都可以表示成形如其方程都可以表示成形如Ax+By+C=0的的二元一次方程的的二元一次方程.探究：探究：先看问题先看问题(1),(1),在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角每一条直线都有倾斜角.即即 kx-y+b=0.这是关于这是关于x,y二元一次方程二元一次方程,若设若设A=k,B=-1,C=b,则方程形式可写成则方程形式可写成当当90时时,直线方程可写成直线方程可写成 y=kx+b,当当=90时时,直线方程可写成直线方程可写成 x=x1,即即x-x1=0.这也是关于这也是关于x,y二元一次方程二元一次方程,若设若设A=1,B=
12、0,C=-x1,则方程形式也可写成则方程形式也可写成Ax+By+C=0.Ax+By+C=0.思考思考 (2)任意一个关于任意一个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线吗的二元一次方程都表示一条直线吗?由上可知由上可知,关于关于x,y的二元一次方程的二元一次方程Ax+By+C=0都表示一条直线都表示一条直线.探究：探究：对于问题对于问题(2),任意一个二元一次方程任意一个二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为不同时为0),如果能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示条直线如果能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示条直线.当当B 0时时,方程方程Ax+By+C
13、=0可变形为可变形为当当B=0时时,A0,方程方程Ax+By+C=0可变形为可变形为综上可知综上可知,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,任何关于任何关于x,y的二元一次方程的二元一次方程Ax+By+C=0都表都表示一条直线示一条直线.探究探究 在方程在方程Ax+By+C=0中中,A,B,C为何值时为何值时,方程表示的直线：方程表示的直线：平行于平行于x轴；轴；平行于平行于y轴；轴；与与x轴重合；轴重合；与与y轴重合轴重合.我们把关于我们把关于x,y的二元一次方程的二元一次方程Ax+By+C=0(其中其中A,B不同时为不同时为0)叫做叫做直线的直线的一般式方程一般式方程,简称简称一般式一般式
14、.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系：直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系：直线的一般式代数特征明显，而直直线的一般式代数特征明显，而直线方程的四种特殊形式具有比较明线方程的四种特殊形式具有比较明显的几何意义；显的几何意义；直线的一般式直线的一般式Ax+By+C=0通常化通常化为斜截式以获取直线的为斜截式以获取直线的几何特征如几何特征如斜率、截距斜率、截距等；等；直线方程通常用直线方程通常用一般式表示一般式表示，直线，直线的四种特殊形式化为一般式的规范的四种特殊形式化为一般式的规范要求：要求：先先x项，再项，再y项，最后常数项项，最后常数项；A、B、C尽可能整数化
15、，尽可能整数化，A0;题型一直线的一般式方程与其他形式转化题型一直线的一般式方程与其他形式转化注意：注意：对于直线方程的一般式，一般做如下约定：一般按含对于直线方程的一般式，一般做如下约定：一般按含x项、含项、含y项、项、常数项顺序排列；常数项顺序排列；x项的系数为正；项的系数为正；x，y的系数和常数项一般不出现分的系数和常数项一般不出现分数；无特殊要求时，求直线方程的结果写成一般式数；无特殊要求时，求直线方程的结果写成一般式题型一直线的一般式方程与其他形式转化题型一直线的一般式方程与其他形式转化4xy202xy30 x3y30(2)y4x2题型一直线的一般式方程与其他形式转化题型一直线的一般
16、式方程与其他形式转化答案答案：D 题型二直线的一般式方程的应用题型二直线的一般式方程的应用1.1.已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤题型二直线的一般式方程的应用题型二直线的一般式方程的应用2 2利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略已知直线已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.(1)l1l2A1B2A2B10且且B1C2B2C10或或A1C2A2C10.(2)l1l2A1A2B1B20.3过一点与已知直线平行过一点与已知直线平行(垂直垂直)的直线方程的求法的直线方程的求法(
17、1)(1)由已知直线求出斜率，再利用平行由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直垂直)的直线斜率之间的关系确的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程定所求直线的斜率，由点斜式写方程(2)可利用如下待定系数法：与直线可利用如下待定系数法：与直线AxByC0平行平行的直线方程可设为的直线方程可设为AxByC10(C1C)；与直线；与直线AxByC0垂直垂直的直线方程可设为的直线方程可设为BxAyC20.例例3（由含参数的一般式求参数的值或取值范围）（由含参数的一般式求参数的值或取值范围）(1)若方程若方程(m25m6)x(m23m)y10表示一条直线，则实数表示一条直线，则实数m满足满足
18、_(2)已知已知方程方程(2m2m3)x(m2m)y4m1表示直线当表示直线当m_时，直线的倾斜角为时，直线的倾斜角为45；当；当m_时，直线在时，直线在x轴上的截距轴上的截距为为1.例例4 4（一般式下直线的平行与垂直问题）（一般式下直线的平行与垂直问题）已知已知A A(2,2)(2,2)和直线和直线l l：3 3x x4 4y y20200.0.求：求：(1)(1)过点过点A A和直线和直线l l平行的直线方程；平行的直线方程；(2)(2)过点过点A A和直线和直线l l垂直的直线方程垂直的直线方程跟踪训练跟踪训练 2 已知直线已知直线l的方程为的方程为3x4y120，求满足下列条件的直线
19、，求满足下列条件的直线l的方程：的方程：(1)过点过点(1，3)，且与，且与l平行；平行；(2)过点过点(1，3)，且与，且与l垂直垂直跟踪训练跟踪训练 2 已知直线已知直线l的方程为的方程为3x4y120，求满足下列条件的直线，求满足下列条件的直线l的方程：的方程：(1)过点过点(1，3)，且与，且与l平行；平行；(2)过点过点(1，3)，且与，且与l垂直垂直1.判定两直线平行的方法：判定两直线平行的方法：法法1：若两直线斜率都存在：若两直线斜率都存在,化成斜截式后化成斜截式后,由由 k1k2,且且b1b2可判定两直可判定两直线平行线平行;若两直线斜率都不存在且不重合时两直线平行若两直线斜率
20、都不存在且不重合时两直线平行 法法2：设两直线的方程为：设两直线的方程为l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20.l1l2 A1B2A2B10,且且B1C2B2C1 0.2.判定两直线垂直的方法：判定两直线垂直的方法：法法1：若一个斜率为零：若一个斜率为零,另一个斜率不存在另一个斜率不存在,则两直线垂直则两直线垂直 若两个斜率都存在若两个斜率都存在,化成斜截式后化成斜截式后,由由k1k21可判定两直线垂直可判定两直线垂直.法法2：设两直线方程为：设两直线方程为l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20.l1l2 A1A2B1B20.【当堂达标】【当堂达标】答案：答案：B答案：答案：C答案：答案：D【当堂达标】【当堂达标】答案：答案：A答案：答案：A【当堂达标】【当堂达标】