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1、6-1 6-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题一、为何要研究弯曲变形一、为何要研究弯曲变形zWM仅保证构件仅保证构件不会发生破坏不会发生破坏，1、构件的变形限制在允许的范围内。、构件的变形限制在允许的范围内。但如果构件的但如果构件的变形太大变形太大也不能正常工作。也不能正常工作。如果钻床的变形过大，如果钻床的变形过大，不能准确定位。不能准确定位。案例案例1：车间桁吊大梁的过大变形车间桁吊大梁的过大变形会使梁上小车行走困难，造成会使梁上小车行走困难，造成爬坡现象爬坡现象；还会引起较严重的还会引起较严重的振动振动；案例案例2：桥梁如果产生过大变形桥梁如果产生过大变形楼板、楼板、床、床、双
2、杠横梁双杠横梁变形变形限制限制在在允许的范围内允许的范围内。屋顶屋顶案例案例3.：、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。汽车板簧应有较大的弯曲变形汽车板簧应有较大的弯曲变形,才能更好的起到缓和减振的作用；才能更好的起到缓和减振的作用；“事物的两面性，辩证看待问题和事物事物的两面性，辩证看待问题和事物”一旦发生碰撞，你认为车身的变形是大好还是小好？一旦发生碰撞，你认为车身的变形是大好还是小好？蹦床蹦床要有大变形，要有大变形，才能积蓄能量，才能积蓄能量，将人体弹射到一定高度。将人体弹射到一定高度。3、研究弯曲变形、研究弯曲变形超静定问题分析、超静定问题分析、稳定性
3、分析稳定性分析振动分析。振动分析。除了除了解决构件的刚度解决构件的刚度外，外，EAlFlNPIGlT扭转：扭转：F FF F拉伸拉伸弯曲变形的物理量如何？弯曲变形的物理量如何？抗变形刚度抗变形刚度杆件长度杆件长度内力内力w挠度挠度CCAB w xB 向上为正向上为正弯曲变形的物理量弯曲变形的物理量转角转角 ACCwB xw挠度挠度B（截面绕中性轴转过的角度）（截面绕中性轴转过的角度）从从x轴正向向切线旋转，顺时针转动为正，逆时针转动为负。轴正向向切线旋转，顺时针转动为正，逆时针转动为负。挠曲线挠曲线wAB x转角转角 w挠度挠度CCB()wf x挠曲线为梁的纵向对称面的一条曲线；挠曲线为梁的纵
4、向对称面的一条曲线；wAB x转角转角 w挠度挠度CCB挠曲线挠曲线tan()ww x挠曲线在该点处的切线斜率；挠曲线在该点处的切线斜率；中性层处曲率中性层处曲率:EIxM)(1 2232211d ydxdydx 对于曲线对于曲线 y=f(x)在任一点处曲率在任一点处曲率（瑞士科学家（瑞士科学家Jacobi.贝努利得到）贝努利得到）所以曲线所以曲线y=f(x)：从数学上讲从数学上讲是一条普通的平面曲线，是一条普通的平面曲线，从力学上讲从力学上讲 就是梁发生弯曲变形的挠曲线。就是梁发生弯曲变形的挠曲线。6-2 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程（Differential equation
5、of the deflection curve)22322()1zd wM xdxEIdwdx 挠曲线微分方程挠曲线微分方程EIxM)(12232211d wdxdwdx 适用于弯曲变形的任何情况。适用于弯曲变形的任何情况。没有采用曲率的简化式，没有采用曲率的简化式，故挠曲线微分方程没有得到广泛应用。故挠曲线微分方程没有得到广泛应用。非线性的，非线性的，挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程0dwdx211dwdx在在小变形小变形的条件下，的条件下，挠曲线是一条光滑平坦的曲线，挠曲线是一条光滑平坦的曲线，较小，较小，转角转角22()d wM xdxEI 故得挠曲线近似微分方程：故得挠曲线近似微分
6、方程：22322()1zd wM xdxEIdwdx 符号规定：符号规定：MM220d wdx0M22()zd wM xdxEI 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程220d wdx0M挠曲线为凹曲线挠曲线为凹曲线挠曲线为凸曲线挠曲线为凸曲线22d wdx弯矩弯矩M与二阶导数与二阶导数符号相反。符号相反。适用范围：适用范围：xwxwMM线弹性、小变形。线弹性、小变形。()zM xwEI()zEI wM x6-3 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形22zd wM(x)=dxEI挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程 1()dEIwM xxC 12()d dEIwM xx xC xC 悬臂梁：悬臂
7、梁：xw梁的边界条件梁的边界条件:0 xL00w 简支梁：简支梁：xwL:0 x:Lx 梁的边界条件梁的边界条件0w 0w 连续性条件：连续性条件：CC右左CCww右左CPABaLxw:0 x0w:Lx 0w 边界条件边界条件连续性条件连续性条件:ax 例例1：写出梁的边界条件、连续性条件：写出梁的边界条件、连续性条件：xwkCPABaL右左CCCCww右左:0 x0w:Lx ByFwk边界条件边界条件连续性条件连续性条件:ax 例例2 2：写出梁的边界条件、连续性条件：写出梁的边界条件、连续性条件：hEACPABaL右左CCCCww右左:0 x0w:Lx ByF hwEA边界条件边界条件连续
8、性条件连续性条件:ax 例例题题3 悬臂梁受力如图所示。求悬臂梁受力如图所示。求 和和 。AwAxwx取参考坐标系取参考坐标系1、列写弯矩方程、列写弯矩方程221)(qxxM)0(Lx2、代入挠曲线近似微分方程中、代入挠曲线近似微分方程中22d wdx()zM xEI 22212d wEIqxdx积分一次：积分一次：316dwEIEIqxCdx积分二次：积分二次：4124EIwqxCxD转角方程转角方程挠曲线方程挠曲线方程AqBL3、确定常数、确定常数C、D.边界条件：边界条件：:Lx316CqL0w418DqL331 11()66qxqLEI34411()2468qLqLwqxxEI316d
9、wEIEIqxCdx4124EIwqxCxDAqBL036AqLEI0 x48AqLEIAqBL33111()66qxqLEI34411()2468qLqLwqxxEI4、计算、计算A截面的挠度和转角截面的挠度和转角A截面处截面处CFABaLxw例例题题4 一简支梁受力如图一简支梁受力如图所示。试求所示。试求 和和 。)(),(xwxA1、求支座反力、求支座反力,LFbFAyLFaFByByFAyF2、分段列出梁的弯矩方程、分段列出梁的弯矩方程b,)(1xLFbxFxMA)(LxaBC段段)0(axAC段段),()(2axFxLFbxMxx22,dwF bE IxdxL 22(),d wFbE
10、IxF xadxL 3、代入各自的挠曲线近似微分方程中、代入各自的挠曲线近似微分方程中,)(1xLFbxM),()(2axFxLFbxM4、各自积分、各自积分21112dwFbEIEIxCdxL22222()22dwFbFEIEIxx aCdxL31116FbEIwxC xDL 33222()66FbFEIwxx aC xDL5、确定积分常数、确定积分常数边界条件：边界条件：0 xLx 连续条件：连续条件：21ax221()6FbCLbL,2C021 DDFaLxw10w 20w 12ww2112FbEIxCL2222()22FbFEIxxaCL 31116FbEIwxC xDL 33222(
11、)66FbFEIwxx aC xDL2221()3(),6FbxxLbLEI)(LxaBC段段)0(axAC段段3221()(),6Fbw xxLbxLEI22222()()3(),62FbF xaxxLbLEI 32232()()()66FbLw xxLbxxaLEI7、求转角、求转角0 x2210()6AxFb LbLEILx2()6Bx LFab LaLEI 6、挠曲线方程、挠曲线方程8、求、求 。max0dwdx由求得求得 的位置值的位置值x。max22()0,6AFb LbLEI1()0()3Cx aFab ababLEI 段。在AC02221()3()06FbxxLbLEI 322
12、bLx1()w x代入代入 得：得：3222max()9 3Fb LbEI2Lba若若 则：则：3max248LxFLEImax条弯成条弯成1/4圆，设梁始终处于线弹性范围内：圆，设梁始终处于线弹性范围内：=My/IZ,y=M(x)/EIZ 哪一个会得到正确的计算结果？哪一个会得到正确的计算结果？正确、正确；正确、正确；正确、错误；正确、错误；错误、正确；错误、正确；错误、错误；错误、错误；ABCD提交单选题1分6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形 在在小变形小变形，是线性的；是线性的；材料材料服从胡克定律服从胡克定律的情况下，的情况下，22()d wM xdxEI 挠曲线的近似微分方
13、程挠曲线的近似微分方程弯矩弯矩)(xM与载荷之间的关系与载荷之间的关系对应于几种不同的载荷，对应于几种不同的载荷，是线性的；是线性的；弯矩可以叠加，弯矩可以叠加，近似微分方程的解也可以叠加。近似微分方程的解也可以叠加。121122(,)()()()nnnF FFFFF121122(,)()()()nnnw F FFw FwFwF例题例题5 ：q、l、EI，求：求：wC,B wC,B1、载荷分解、载荷分解31,24BqlEI415384CqlwEI233(),33BqllqlEIEI4316CqlwEI 232(),1616BqllqlEIEI 32()48Cql lwEI2查表：单独载荷作用下
14、查表：单独载荷作用下321BBBB324qlEI33qlEI316qlEI31148qlEI123CCCCwwww45384qlEI416qlEI3()48ql lEI411384qlEI 3、变形叠加、变形叠加例题例题6 6 31,6CqlEI418CqlwEI32()2,6BlqEI2222CBBlww4()28lqEI22lB2c12CCCwww48qlEI4()28lqEI22lB441384qlEI21CCC36qlEI3()26lqEI4748qlEI 1、将将梁的挠曲线分成几段梁的挠曲线分成几段;3、分别计算外力作用下分别计算外力作用下各段梁各段梁的变形在的变形在需求处需求处引起
15、的引起的挠度和转角挠度和转角;4、然后计算其总和（代数和或矢量和），即得需求的位移。然后计算其总和（代数和或矢量和），即得需求的位移。2、除所研究的梁段发生变形外，除所研究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。其余各段梁均视为刚体。例题例题7ABalFC1）考虑考虑AB段变形引起的截面的挠度段变形引起的截面的挠度(BC段看作刚体段看作刚体)外力向研究的外力向研究的AB段上简化段上简化ABalCFFaF：作用在支座上，不产生变形。作用在支座上，不产生变形。Fa：使使AB梁产生变形。梁产生变形。BEIlFaB3)(1C1CBwaaEIlFa3)()(32EIlFaABalCFFaFa引起梁的变形
16、形状为引起梁的变形形状为AB段上凸；段上凸；2）考虑考虑BC段变形引起段变形引起C截面的挠度截面的挠度a2Cw)(332EIFawC12CCCwww)(3332EIFaEIlFaABalFCAB段看作刚体段看作刚体FBCC截面的总挠度截面的总挠度弯曲变形的刚度条件：弯曲变形的刚度条件：,maxmax许用挠度，许用挠度，许用转角许用转角工程中，工程中，常用梁的计算跨度常用梁的计算跨度l 的若干分之一表示。的若干分之一表示。对于桥式起重机梁：对于桥式起重机梁：750500ll对于一般用途的轴：对于一般用途的轴：100005100003ll在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：在安装齿轮或滑动轴承处，
17、许用转角为：rad001.06-6 提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施22()zd wM xdxEIw)(xM E zI一、改善结构、减少弯矩一、改善结构、减少弯矩、合理安排支座；、合理安排支座；、合理安排受力（集中力分散）；、合理安排受力（集中力分散）；3、w一般与跨度有关，一般与跨度有关，4、增加约束：、增加约束：3l成正比，成正比，与与故可减小跨度；故可减小跨度；采用超静定结构采用超静定结构较长的传动轴采用较长的传动轴采用三支撑三支撑；桥梁桥梁增加桥墩。增加桥墩。改变支座形式改变支座形式FF改变载荷类型改变载荷类型q=F/LFzI二、选择合理的截面形状二、选择合理的截面形状A几乎不变，大部
18、分分布在远离中性轴处，几乎不变，大部分分布在远离中性轴处，工字形、槽钢等；工字形、槽钢等；起重机大梁常采工字形或箱形截面；起重机大梁常采工字形或箱形截面；起重机大梁常采起重机大梁常采工字形工字形或或箱形截面箱形截面；四、不宜采用高强度钢四、不宜采用高强度钢;三、加强肋三、加强肋盒盖、集装箱；盒盖、集装箱；各种钢材各种钢材E大致相同。大致相同。讨论讨论1、梁上作用有外力偶，、梁上作用有外力偶，M1和和M2，A点位于点位于L/3处。使处。使A点成为挠曲线的拐点，那么点成为挠曲线的拐点，那么M1/M2=?M2M1AL/3讨论讨论2 2、梁长为、梁长为L L，抗弯刚度，抗弯刚度EIEI为常量，固定的刚为常量，固定的刚性曲面的方程为性曲面的方程为y=ax3。欲使梁变形后与刚性曲面。欲使梁变形后与刚性曲面重合，但不产生压应力，问：应在梁上施加什麽载重合，但不产生压应力，问：应在梁上施加什麽载荷？绘梁的剪力图与弯矩图。荷？绘梁的剪力图与弯矩图。y=ax3xy讨论讨论4、在、在XY坐标系中，已知等直梁的挠曲线方坐标系中，已知等直梁的挠曲线方程为程为=qx(L3-3Lx2+2x3)/48EI，q为均布载荷的集为均布载荷的集度。求：最大弯矩及最大剪力。度。求：最大弯矩及最大剪力。梁的两端梁的两端（x=0、x=L）的约束情况。的约束情况。小结小结