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1、第五章第五章 弯曲内力弯曲内力Page15 5-2 2 梁的约束与类型梁的约束与类型第五章第五章弯弯 曲曲 内内 力力5 5-1 1 引言引言5 5-3 3 剪力与弯矩剪力与弯矩5 5-4 4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图5 5-5 5 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系5 5-6 6 刚架与曲梁的内力刚架与曲梁的内力第五章第五章 弯曲内力弯曲内力Page25 5-1 1 引言引言上图：水闸立柱上图：水闸立柱下图：跳板下图：跳板弯曲实例弯曲实例第五章第五章 弯曲内力弯曲内力Page3哪些构件承受哪些构件承受弯曲载荷？弯曲载荷？第五章第五
2、章 弯曲内力弯曲内力Page4弯曲的定义、力学弯曲的定义、力学特征与计算简图特征与计算简图上图：弯曲构件上图：弯曲构件下图：计算简图下图：计算简图外力特征：外力特征：外力或外力偶的矢量垂直于杆轴外力或外力偶的矢量垂直于杆轴变形特征：杆轴由直线变为曲线变形特征：杆轴由直线变为曲线弯曲与梁：以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲弯曲与梁：以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲以弯曲为主要变形的杆件称为梁。以弯曲为主要变形的杆件称为梁。计算简图通常以轴线代表梁计算简图通常以轴线代表梁第五章第五章 弯曲内力弯曲内力Page55 5-2 2 梁的约束与类型梁的约束与类型主要约束形式与反力主要约束形式与反
3、力 固定铰支座：固定铰支座：支反力支反力 FRx 与与 FRy 可动铰支座可动铰支座：垂直于支承平面的支反力垂直于支承平面的支反力FR 固定端：固定端：支反力支反力 FRx,FRy 与矩为与矩为M 的支反力偶的支反力偶第五章第五章 弯曲内力弯曲内力Page6FFFF 简支梁简支梁：一端固定铰支、另一端固定铰支、另一端可动铰支的梁一端可动铰支的梁 外伸梁外伸梁：具有一个或两个具有一个或两个外伸部分的简支梁外伸部分的简支梁 悬臂梁：悬臂梁：一端固定、另一一端固定、另一端自由的梁端自由的梁约束反力数超过有效平衡方程数的梁（约束反力数超过有效平衡方程数的梁（Ch7研究）研究）常见静定梁常见静定梁静不定
4、梁静不定梁第五章第五章 弯曲内力弯曲内力Page75-3 剪力与弯矩剪力与弯矩FS剪力剪力M弯矩弯矩梁的内力梁的内力分析方法：分析方法：截面法截面法剪力剪力作用线沿所切作用线沿所切横截面的内力分量横截面的内力分量弯矩弯矩矢量沿所切横截面的矢量沿所切横截面的内力偶矩分量内力偶矩分量S 1AyFFF()1AyMF bF ba由梁左段平衡求得由梁左段平衡求得在在m-m截面：截面：注意：设正法。注意：设正法。第五章第五章 弯曲内力弯曲内力Page8剪力：剪力：使微段有沿顺时使微段有沿顺时针方向转动趋势为正针方向转动趋势为正弯矩：弯矩：使微段弯曲呈使微段弯曲呈下凹形为正下凹形为正弯矩符号另一定义：弯矩符
5、号另一定义：使使横截面顶部受压为正横截面顶部受压为正剪力与弯矩的符号规定剪力与弯矩的符号规定第五章第五章 弯曲内力弯曲内力Page9 假想地将梁切开，并任选一段为研究对象假想地将梁切开，并任选一段为研究对象 画所选梁段的受力图画所选梁段的受力图，FS 与与M宜均设为正宜均设为正 由由S SFy=0计算计算FS 由由S SMC=0计算计算M，C为截面形心为截面形心小结：任一指定截面剪力与弯矩的计算小结：任一指定截面剪力与弯矩的计算思考：均布载荷、集中载荷、集中力偶两思考：均布载荷、集中载荷、集中力偶两侧剪力是否相等？弯矩是否相等？侧剪力是否相等？弯矩是否相等？第五章第五章 弯曲内力弯曲内力Pag
6、e105-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图剪力、弯矩方程：剪力、弯矩方程：剪力、剪力、弯矩沿梁轴（弯矩沿梁轴（x轴）变化的轴）变化的解析表达式。解析表达式。剪力、弯矩图：剪力、弯矩图：表示剪力与弯矩沿梁轴变化的图线。表示剪力与弯矩沿梁轴变化的图线。bFMxl 11aFMxl 22S1bFFl,S2aFFl ,AC段段(0 x1a)：CB段段(0 x2b)：方法：利用截面法，方法：利用截面法，根据平衡关系，分段建立剪力、弯矩根据平衡关系，分段建立剪力、弯矩方程（函数），然后画其函数图象。方程（函数），然后画其函数图象。第五章第五章 弯曲内力弯曲内力Page11lABq
7、FAyFByqFAyxFSM例例5-1：试建立图示简支梁试建立图示简支梁的剪力、弯矩方程，画剪力、的剪力、弯矩方程，画剪力、弯矩图。弯矩图。解：解：1、求支反力，由梁的平衡：求支反力，由梁的平衡：FAy=FBy=ql/2xo2、建立坐标轴建立坐标轴Ox轴轴3、在截面在截面x处截取左段为研处截取左段为研究对象，根据平衡条件：究对象，根据平衡条件：FS=FAy-qx=q(l-2x)/2M=FAyx-(qx2/2)=qx(l-x)/2 0 xl第五章第五章 弯曲内力弯曲内力Page12FS=q(l-2x)/2M=qx(l-x)/2 0 xllABqFAyFByxoFS:xFSql/2ql/2+_M:
8、xMql2/8+4、根据剪力、弯矩方程画根据剪力、弯矩方程画剪力、弯矩图剪力、弯矩图注意事项：注意事项：载荷、剪力、弯矩图对齐载荷、剪力、弯矩图对齐标注段值、极值、正负号标注段值、极值、正负号按工程图要求，请用工具按工程图要求，请用工具作图作图第五章第五章 弯曲内力弯曲内力Page13Aq4RFqaBCa3aAyFByF()a1x2x43qa53qaqa()csF212qa289qa()dMRFqa4 AByMFqa30,4 AM0 ByFqa83 解：解：1、计算支座反力、计算支座反力，作用于，作用于AC梁中点。梁中点。例：例：建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图
9、43qa1SF1x1M2SF2x2M22RFqx()b11RFqxsFqaqx1143Mqaxqx21114132xa103AB段内力段内力sFqx22 Mqx22212 xa20BC段内力段内力第五章第五章 弯曲内力弯曲内力Page14例：例：建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图qqa2aaABCx可以不求支反力可以不求支反力建立坐标建立坐标建立剪力弯矩方程：建立剪力弯矩方程：FS=-qx(0 x a)M=-qx2/2 (0 x a)FS=-qa(a x 2a)M=qa2-qa(x-a/2)(a x 0，Fs上斜；上斜；q0，M上斜；上斜；Fs 0，M凹；凹；q0
10、,上斜；上斜；Fs0处处,M图凹图凹;q0,上斜上斜;q0,下斜下斜集中力集中力F处处,Fs按按F大小大小,方向跳方向跳各段起终点各段起终点Fs值值=q图左边面积图左边面积+集中力值集中力值(含支反力含支反力)校核校核:两图右边回零点两图右边回零点.线形看微分，段值看积分。线形看微分，段值看积分。第五章第五章 弯曲内力弯曲内力Page22例：例：利用微积分关系画剪力弯矩图利用微积分关系画剪力弯矩图ABqa/2qa/2a/2aCD1、求支反力：、求支反力：FAy=5qa/8 FDy=7qa/85qa/87qa/83、积分关系求、积分关系求特征点特征点剪力弯矩值：剪力弯矩值：03qa2/85qa2
11、/165qa2/160M-7qa/8qa/8qa/85qa/85qa/8FsD-C-B+B-A+CDBCAB2次凸曲线斜上斜上M图斜下水平水平Fs图q=常数0(a 0(a 0)q(x)=c 0q(x)=c 0q(x)=0q线形与外载关系线形与外载关系第五章第五章 弯曲内力弯曲内力Page24AB2/3qa21/3qa2CD1/3qa2+-ABqaaaaCDqa22/3qa1/3qaAB+2/3qa1/3qaCD-例：例：利用微积分关系画剪力弯矩图利用微积分关系画剪力弯矩图第五章第五章 弯曲内力弯曲内力Page25ABa/2-+qaCqaAB5/4qa2qa2qa2C-例：例：利用微积分关系画剪
12、力弯矩图利用微积分关系画剪力弯矩图qaqa22qaaACBqa第五章第五章 弯曲内力弯曲内力Page262S2d Fdq0dxdx例：例：利用微积分关系画三利用微积分关系画三角形分布载荷剪力弯矩图角形分布载荷剪力弯矩图lx06q lAB0q q x03q lSFxCxCq l06q l03 l06q lAB0q03q l-q剪力图凸曲线剪力图凸曲线20maxCSAcq l2MMF x39 31.载荷的坐标图载荷的坐标图2.分析剪力图凹凸性分析剪力图凹凸性3.求剪力图零点求剪力图零点200ccq lq xl0,x62l34.求弯矩图极值求弯矩图极值Mx 209 3q l/3l第五章第五章 弯曲内
13、力弯曲内力Page270q0q aaaCBA()a0q0q a0q a0q aq()bx0q a012q a0q asF()cx012q aM()dx2023q a23qaaaaqa()a2q3qa4qaaqa()bsF4qaqa23qa()cM24qa2144qa24qa例：例：利用微积分关系画剪力弯矩图利用微积分关系画剪力弯矩图第五章第五章 弯曲内力弯曲内力Page28 Aaa()a32qaqB12qaqa232qasF12qa12qa32qa(1)axM218qa232qa(2)ax例：例：利用微积分关系画利用微积分关系画剪力弯矩图剪力弯矩图思考：思考：1.如何计算支座反力？如何计算支座
14、反力？2.计算支座反力后，利用计算支座反力后，利用微积分关系画图时，是微积分关系画图时，是否还要考虑中间支座？否还要考虑中间支座？3.载荷作用在梁间铰上、载荷作用在梁间铰上、铰链左侧梁端，铰链右铰链左侧梁端，铰链右侧梁端，剪力、弯矩图侧梁端，剪力、弯矩图有无区别？有无区别？第五章第五章 弯曲内力弯曲内力Page29()baa12qaqB12qa2qa212qaACsF12qa(1)bx12qaM212qa(2)bx218qa2qa aa32qaqB12qa2qa232qaAC()csF12qa32qa(1)cxM232qa(2)cx2qa例：例：利用微积分关系画剪力弯矩图利用微积分关系画剪力弯
15、矩图第五章第五章 弯曲内力弯曲内力Page30例：例：载荷载荷F F 可以在整个梁段上移动，当支座位于何位置时可以在整个梁段上移动，当支座位于何位置时（a=?a=?），梁上的最大弯矩值（绝对值）最小。），梁上的最大弯矩值（绝对值）最小。（双杠问题）（双杠问题）Faal 解：解：当载荷位于梁端点时当载荷位于梁端点时分析：载荷在梁端点时，相邻支座有最大分析：载荷在梁端点时，相邻支座有最大负弯矩（绝对值）负弯矩（绝对值）；在中点时，此点有最；在中点时，此点有最大正弯矩。支座内移，负弯矩增，正弯矩大正弯矩。支座内移，负弯矩增，正弯矩降；外移反之。降；外移反之。故正负弯矩绝对值相等时，故正负弯矩绝对值相
16、等时，梁上最大弯矩（绝对值）最小。梁上最大弯矩（绝对值）最小。minMFa 当载荷位于梁中点时，当载荷位于梁中点时，max1MF(l2a)4令：令：minmaxMM,la6 第五章第五章 弯曲内力弯曲内力Page31vFlx()a()b F()cx6l2l端点加载中点加载梁内弯矩与梁的梁内弯矩与梁的许用载荷随支座位许用载荷随支座位置变化情况置变化情况第五章第五章 弯曲内力弯曲内力Page322qaqaDqaa剪力图a22qa2qa232qa2qa弯矩图ABC2qaqaq2qaa2a2qaqa例：例：已知建立、弯矩图，已知建立、弯矩图，试画载荷图。试画载荷图。1.根据剪力图定集中与分布力根据剪力
17、图定集中与分布力2.根据弯矩图的跳跃值定集中根据弯矩图的跳跃值定集中与分布力偶。与分布力偶。解：解：思考：是否能唯一确定载思考：是否能唯一确定载荷图的约束形式？荷图的约束形式？第五章第五章 弯曲内力弯曲内力Page335 5-6 6 刚架与曲梁的内力刚架与曲梁的内力刚架：刚架：用刚性接头连接用刚性接头连接的杆系结构的杆系结构一、刚架一、刚架刚性接头的力学性质：刚性接头的力学性质：约束限制相连杆端截约束限制相连杆端截面间的相对线位移与角位移面间的相对线位移与角位移 受力既可传力，也可受力既可传力，也可传递力偶矩传递力偶矩第五章第五章 弯曲内力弯曲内力Page34二、刚架的内力及其符号二、刚架的内
18、力及其符号刚架的内力包括轴力、扭矩、剪力和弯矩，刚架的内力包括轴力、扭矩、剪力和弯矩，其中轴力、扭矩其中轴力、扭矩和剪力符号与前相同。和剪力符号与前相同。弯矩图不标正负号，画在受压一侧。弯矩图不标正负号，画在受压一侧。MM认为正弯矩认为正弯矩观察者观察者B观察者观察者A认为负弯矩认为负弯矩M两观察者均会将图画在右侧（受压侧）两观察者均会将图画在右侧（受压侧）注释：注释：弯矩符号规定下凹为正，上弯矩符号规定下凹为正，上凸为负，与坐标方向相关。凸为负，与坐标方向相关。无论是正弯矩，还是负弯矩无论是正弯矩，还是负弯矩按规定都画在受压一侧，与按规定都画在受压一侧，与坐标方向无关。坐标方向无关。实际作图
19、，可任选正向，不标正负号，实际作图，可任选正向，不标正负号，即可取得一致：画在受压一侧。即可取得一致：画在受压一侧。有的教材规定竖杆一侧看作横杆顶或底有的教材规定竖杆一侧看作横杆顶或底面的延伸部分，可能导致矛盾。面的延伸部分，可能导致矛盾。第五章第五章 弯曲内力弯曲内力Page35sF0q lxM2012q lx2012q l()b()cM018q lsF012q l012q lDB012q l012q l0qABC0q l012q l012q l0q l()a0q/2l/2lDABC20q l0q ll刚架拆为分段的梁刚架拆为分段的梁根据微积分关系画图根据微积分关系画图第五章第五章 弯曲内力
20、弯曲内力Page36012q l012q l0q lsF图()d()e2018q lM图2012q l()a0q/2l/2lDABC20q l将分段梁的剪力与弯矩图合成为刚架总的剪力弯矩图，将分段梁的剪力与弯矩图合成为刚架总的剪力弯矩图，弯矩图不标正负号。弯矩图不标正负号。轴力、扭矩、剪力图符号是否相同？是否会画在同一侧？轴力、扭矩、剪力图符号是否相同？是否会画在同一侧？弯矩图符号是否相同？是否会画在同一侧？弯矩图符号是否相同？是否会画在同一侧？思考：思考：按上述方法画刚架内力图，按上述方法画刚架内力图，第五章第五章 弯曲内力弯曲内力Page37ABqCaa1、求支反力求支反力 FAx=qa
21、FAy=qa/2Fcy=qa/2FAyFAxFCy2、建立局部坐标建立局部坐标x2x13、分段列内力方程分段列内力方程：CB段：段：Fs=-Fcy=-qa/2 M=qax1/2 FN=0AB段：段：Fs=qa-qx2M=qax2-qx22/2 FN=qa/2qa/2_+qaFS图图qa2/2qa2/2M图图FN图图qa/2+例：例：列内力方程，画内力图。列内力方程，画内力图。第五章第五章 弯曲内力弯曲内力Page38例：例：组合刚架的约束反力分析。组合刚架的约束反力分析。ABqCa/2aa/2aqaqaFByBa/2aF1N1qaN1N2F1F2qaN1=qaF1=FBy=2qaFAyFAxA
22、qCa/2aF2N2MAFAyFAxAqCa/2aFCNCMAqaFByBa/2aFCNCqa思考：思考：中间铰（连同集中力）中间铰（连同集中力）能不能与左边或右边结合？能不能与左边或右边结合？中间铰附近力偶如何处理？中间铰附近力偶如何处理？第五章第五章 弯曲内力弯曲内力Page39三、曲梁三、曲梁未受力时，轴线即为曲线的杆件，称为曲杆。以弯曲为主未受力时，轴线即为曲线的杆件，称为曲杆。以弯曲为主要变形的曲杆，称为曲梁。要变形的曲杆，称为曲梁。平面曲梁：平面曲梁：SFFsin NFFcos MFR(1-cos)F SFNFM例：例：计算图示曲梁的计算图示曲梁的内力，画弯矩图。内力，画弯矩图。解
23、：解：FS，FN正负符号规定同前。正负符号规定同前。M不标正负号，画在受压一侧。不标正负号，画在受压一侧。曲梁内力图曲梁内力图通常根据内力方程绘制。通常根据内力方程绘制。第五章第五章 弯曲内力弯曲内力Page40aaaOABCqxFqa()aqaqxMSF()b2qa()dNF2qa()esFqa()fM232qa272qa()cMNFSF2qa232qaO221M(x)qxFx21qxqax2sF(x)qaqx NF(x)0 0 xa223M()qa2qa sin2SF()2qacos NF()2qasin 02 圆弧段：圆弧段：例：例：绘制图示曲杆内力图绘制图示曲杆内力图直线段：直线段：第
24、五章第五章 弯曲内力弯曲内力Page41若简支梁上承受一集中力，则最大弯矩发生在集中力若简支梁上承受一集中力，则最大弯矩发生在集中力作用处，若简支梁上承受一段均匀分布载荷，纳维认作用处，若简支梁上承受一段均匀分布载荷，纳维认为最大弯矩发生在分布载荷的合力处（设集中载荷与为最大弯矩发生在分布载荷的合力处（设集中载荷与均布载荷的合力都不在梁中点）。均布载荷的合力都不在梁中点）。1 1）你认为纳维的结论是否正确？）你认为纳维的结论是否正确？2 2）若认为不正确，请给出正确结论。）若认为不正确，请给出正确结论。思考题：思考题：ABFabABq第五章第五章 弯曲内力弯曲内力Page42作业作业5-5b5-6b,c,f,h5-75-8第五章第五章 弯曲内力弯曲内力Page43作业作业5-14c,d5-15b5-17b第五章第五章 弯曲内力弯曲内力Page44谢谢谢谢