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1、1“三大思维体系”，搞定恒、能成立问题与零点问题目录目录一、重难点题型方法一、重难点题型方法题型一：恒成立问题(一)题型二：存在性问题(一)题型三：零点问题(一)题型四：恒成立问题(二)题型五：存在性问题(二)题型六：零点问题(二)题型七：恒成立问题(三)题型八：存在性问题(三)题型九：零点问题(三)题型十：恒、能成立的四种混合问题题型十一：同构问题题型十二：min,max问题二、针对性巩固练习二、针对性巩固练习重难点题型方法重难点题型方法题型一：恒成立问题(一)题型一：恒成立问题(一)【典例分析】【典例分析】1 1(2023全国高二专题练习)若x2e3x(k+5)x+2lnx+1在 0,+恒
2、成立，则k的取值范围为()A.k-1B.k-2C.k-2D.k-12 2(2023全国本溪高中校联考模拟预测)已知函数 f x满足 2f x+f1x=mx2+3x+2mx，若 x 1,+，f xex，则m的取值范围为()A.e-1,+B.e-1,+C.-,e-1D.-,e-12024届高考数学专项练习“三大思维体系”，搞定恒、能成立问题与零点问题23 3(2023全国高三专题练习)设函数 f x=1-axln x+1-bx，曲线y=f x恒与x轴相切于坐标原点(1)求常数b的值；(2)当0 x1时，f x0恒成立，求实数a的取值范围；(3)求证：1+1nne1时，f x+1lnx-x2-x-3
3、，求a的取值范围方法归纳【方法技巧总结】1 1.x x D D，mmf f x x mmf f x x minmin；2 2.x x D D，mmf f x x mmf f x x maxmax；3【变式训练】【变式训练】1(2023广东高三校联考阶段练习)已知函数 f(x)=ax+lnx+1-xe2x对任意的x0，f x0恒成立，则实数a的取值范围为()A.-,0B.-,2C.-,1D.-,32(2023北京高三专题练习)已知函数 f x=lg 2x+4x2+1，若对于任意的x 1,2时，f x2-1+fmx-60恒成立，则实数m的取值范围是()A.-,0B.12,+C.-,0D.4,+3(
4、2023山西校联考模拟预测)设函数 f x=x+1ex+m x+22,mR(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若当x-2,+)时，不等式 f x-1m x2+3x-e恒成立，求m的取值范围4(2023春山西运城高二校联考阶段练习)已知函数 f x=aex-x2+x-2.(1)若a=1，求函数 f x在x=1处的切线方程；(2)已知g x=-x2，若 f xg x在R R上恒成立，求实数a的取值范围.4题型二：存在性问题题型二：存在性问题(一一)【典例分析】【典例分析】5 5(2023河南开封开封高中校考模拟预测)若存在x 1,+，使得关于x的不等式 1+1xx+ae成立，则实数a的最小值为()
5、A.2B.1ln2C.ln2-1D.1ln2-16 6(2022秋陕西商洛高三校联考阶段练习)若函数 f(x)=x3+bx2+3x在13,2上存在单调递增区间，则b的取值范围是()A.-5,+B.-3,+C.-,-5D.-,-37 7(2023安徽宿州统考一模)已知函数 f(x)=x2+a(x-lnx)-bex(e为自然对数的底数)，a，bR.(1)当b=0时，讨论 f x在 0,+上的单调性；(2)当b=1时，若存在x 1,e，使 f x0，求a的取值范围.8 8(2023全国高三专题练习)已知函数 f(x)=-2aln x-2x，g(x)=ax-(2a+1)ln x-2x，其中aR.(1)
6、若x=2是函数 f(x)的驻点，求实数a的值；(2)当a 0时，求函数g(x)的单调区间；(3)若存在x1e，e2(e为自然对数的底)，使得不等式 f(x)g(x)成立，求实数a的取值范围5方法归纳【方法技巧总结】1.1.x x D D，mmf f x x mmf f x x maxmax；2.2.x x D D，mmf f x x mmf f x x minmin.【变式训练】【变式训练】5(2022秋河南洛阳高三洛阳市第一高级中学校考阶段练习)已知函数 f(x)=ax-1+lnx，存在x00，使得 f(x0)0有解，则实数a的取值范围是()A.(2，+)B.(-，-3)C.(-，1D.3，
7、+)6(2022秋江西高三校联考阶段练习)若存在x-1,1，使得不等式e2x-ax0成立，求实数m的取值范围.8(2022秋吉林长春高三长春市第二中学校考阶段练习)已知函数 f x=ax2lnx-bx2-c在x=1处取得极值3-c，其中a、b、c为常数(1)试确定a、b的值；(2)若存在x0，不等式 f x2c2有解，求a的取值范围6题型三：零点问题题型三：零点问题(一一)【典例分析】【典例分析】9 9(2023全国高二专题练习)已知函数 f x=mx-lnx+m 区间 1,e内有唯一零点，则 m 不可能取值为()A.e-1eB.1e+1C.1eD.1+2e1010(2023陕西咸阳陕西咸阳中
8、学校考模拟预测)若方程xlnx+ex+1-ax=0有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是()A.e,+B.e+1,+C.2e,+D.e-1,+1111(2023春河南高二校联考期末)已知函数 f x=aex-x，aR R(1)当a=1e时，证明：f x-lnx+x-10在 0,+上恒成立；(2)若 f x有2个零点，求a的取值范围1212(2023贵州统考模拟预测)已知 f x=a2x2-a+2x+2lnx.(1)讨论 f x的单调性；(2)确定方程 f x=a2x2的实根个数.7方法归纳【方法技巧总结】1 1.分参，然后构造新函数，利用导数画出新函数的图象，再根据函数与方程把零点问题转化为
9、图象交点问题。【变式训练】【变式训练】9(2023春天津静海高二静海一中校考阶段练习)已知函数 f x=ax2-ex有三个零点，则实数a的取值范围为()A.0,e24 B.e24,e2 C.e24,+D.e24,e210(2023春重庆北碚高二西南大学附中校考阶段练习)已知函数 f x=lnx+1-mx2有两个零点a,b，且存在唯一的整数x0 a,b，则实数m的取值范围为()A.0,e2B.ln3e9,e2C.ln2e4,1D.ln2e4,111(2023陕西校联考模拟预测)已知函数 f x=ax2+a-2x-xlnx(1)设a=0求曲线y=f x在点 1,f 1处的切线方程试问 f x有极大
10、值还是极小值？并求出该极值(2)若 f x在 0,e上恰有两个零点，求a的取值范围12(2023安徽安庆统考二模)已知函数 f x=alnx+bx2e1-x，a，bR.e2.71828.(1)若曲线y=f x在点 2,f 2处的切线方程是y=x+ln2，求a和b的值；(2)若a=e，且 f x的导函数 fx恰有两个零点，求b的取值范围.8题型四：恒成立问题题型四：恒成立问题(二二)【典例分析】【典例分析】1313(2023贵州黔西校考一模)已知 a R R，设函数 f x=x2-2ax+2a,x1x-alnx2,x1，若关于 x 的不等式 f x0在R R上恒成立，则a的取值范围为()A.0,
11、e2B.0,2C.0,1D.0,e1414(2023春四川成都高二校考阶段练习)已知函数 f x=kx2-lnx，若 f x0对任意x 0,+恒成立，则k的取值范围是()A.1e,+B.12e,1eC.-,12eD.12e,+1515(2023广东湛江统考一模)已知函数 f x=ex+cosx-2(1)证明：函数 f x只有一个零点；(2)在区间 0,+上函数 f xax-sinx恒成立，求a的取值范围1616(2023陕西统考一模)已知函数 f x=a x+1lnx+2x，aR.(1)若a=1，讨论函数 f x的单调性；(2)若a12，求证：对x 1,+，f xex-1+2alnx+x恒成立
12、.方法归纳【方法技巧总结】1 1.对于不适合分参的题可进行带参讨论。9【变式训练】【变式训练】13(2023春湖南长沙高三雅礼中学校考阶段练习)已知m，n为实数，f(x)=ex-mx+n-1，若 f(x)0对xR R恒成立，则nm的最小值是()A.-1B.0C.1D.214(2022江苏高二期末)对x12,+，不等式12eax-ln 2xa0恒成立，则实数a取值范围是()A.2e,+B.1e,+C.-,02e,+D.-,012e,+15(2023辽宁沈阳高三校联考学业考试)已知实数a0，函数 f x=1+ln ax，g x=ex-a(1)若不等式 f xx恒成立，求a的取值范围；(2)若不等式
13、 f xxg x恒成立，求a的取值范围16(2023广东梅州统考二模)已知函数 f x=ex-1-alnx，其中aR(1)当a=1时，讨论 f x的单调性；(2)当x 0,时，2f x+1-cosx1恒成立，求实数a的取值范围10题型五：存在性问题题型五：存在性问题(二二)【典例分析】【典例分析】1717(2022河南驻马店河南省驻马店高级中学校考模拟预测)已知 e 是自然对数的底数若 x 1,+，使memx-6x5lnx0，则实数m的取值范围为()A.-,6eB.0，6eC.0，36e2D.-,36e21818(2023江苏宿迁江苏省沭阳高级中学校考模拟预测)已知函数 f x=x2-axln
14、x+1+a,a R，f(x)为 f x的导函数.(1)讨论 f(x)的极值；(2)若存在t2,e，使得不等式 f(t)0时，不等式x2exmx+2lnx+1有解，则实数m的范围为()A.1,+B.-1e,+C.2e,+D.2,+18(2023陕西咸阳陕西咸阳中学校考模拟预测)已知函数 f x=x-1ex-ax-1.(1)当a=0时，证明函数 f x只有一个零点.(2)若存在xR R，使不等式 f x0，试讨论函数 f(x)在 1,e上的零点个数方法归纳【方法技巧总结】1 1.对于不适合分参的题可进行带参讨论。12【变式训练】【变式训练】19(2022春浙江高二阶段练习)函数 f(x)=x2-x
15、ln(ax)-ex-1a(a0)在(0,+)内存在零点，则实数a的取值范围是()A.e,+)B.1,e)C.(0,1D.1,+)20(2023春山西高三校联考阶段练习)已知函数 f x=mlnx+(x-1)2,mR.(1)讨论 f x的单调性；(2)设函数g x=f x-x2+ex-1，若g x有三个不同的零点，求m的取值范围.题型七：恒成立问题题型七：恒成立问题(三三)【典例分析】【典例分析】2121(2023春河南高三校联考阶段练习)已知函数 f x=xex，若 f xax-12a恒成立，则实数a的最大值为()A.12e-12B.e+1C.2eD.e+4方法归纳【方法技巧总结】1 1.注意
16、不完全分参，进行数形结合；13【变式训练】【变式训练】21(2023四川南充四川省南充高级中学校考模拟预测)若存在aR R，使得对于任意x1e,e，不等式lnxax2+bx e2-2elnx+e恒成立，则实数b的最小值为()A.-e3+e+1e2-1B.-e2+ee2-1C.-1D.-e题型八：存在性问题题型八：存在性问题(三三)【典例分析】【典例分析】2222(2023春山西运城高二校联考阶段练习)已知函数 f x=ex2x-1-ax+2a，其中a12，若存在唯一的整数x0，使得 f x00，则实数a的取值范围是()A.ln35,ln22B.ln35,ln22C.ln22,ln33D.(ln
17、2,ln3)题型九：零点问题题型九：零点问题(三三)【典例分析】【典例分析】2323(2023春福建福州高二福州三中校考期中)已知函数 f(x)=xex，若g(x)=f2(x)-af(x)+2恰有四个不同的零点，则a取值范围为()A.2,e+1eB.e+1e,+C.2 2,2e+1eD.2e+1e,+方法归纳【方法技巧总结】1.1.结合嵌套函数进行数形结合；14【变式训练】【变式训练】23(2023吉林长春校联考一模)已知函数 f x=x+1lnx,x0kx-ln-x+k,x0，若关于x的方程 f-x=-f x有且仅有四个相异实根，则实数k的取值范围为()A.0,1e-1B.1,+C.0,1e
18、-1 1,+D.0,1 1,+题型十：恒、能成立的四种混合问题题型十：恒、能成立的四种混合问题【典例分析】【典例分析】2424(2023贵州校联考二模)已知函数 f x=xex+2a，g x=elnxx，对任意 x1 1,2，x2 1,3，都有不等式 f x1g x2成立，则a的取值范围是()A.-e2,+B.1-e2,+C.-e2,+D.12-e2,+2525(2023河南开封开封高中校考模拟预测)已知函数 f x=4x2-3x,x0 x-alnx,x0，若 x1 0,x2 0，使得 f x1=f x2成立，则a的取值范围为()A.-,0 1,+B.-,0 e,+C.0,1D.0,e方法归纳
19、【方法技巧总结】1 1.一般地，已知函数y y=f f x x ，x x a a,b b ，y y=g g x x ，x x c c,d d .(1 1)若 x x1 1 a a,b b ，x x2 2 c c,d d ，有 f f x x1 1 g g x x2 2 成立，则 f f x x maxmaxg g x x minmin；(2 2)若 x x1 1 a a,b b ，x x2 2 c c,d d ，有 f f x x1 1 g g x x2 2 成立，则 f f x x maxmaxg g x x maxmax；(3 3)若 x x1 1 a a,b b ，x x2 2 c c,
20、d d ，有 f f x x1 1 g g x x2 2 成立，则 f f x x minming g x x maxmax；(4 4)若 x x1 1 a a,b b ，x x2 2 c c,d d ，有 f f x x1 1 =g g x x2 2 成立，则 f f x x 的值域是g g x x 的值域的子集.【变式训练】【变式训练】24(2023春江苏常州高二常州市北郊高级中学校考阶段练习)已知函数 f x=xex，g x=-x+12+a，若x1，x2R，使得 f x2g x1成立，则实数a的取值范围是()A.(-e，+B.(-，-eC.-1e，+D.-，-1e25(2023全国高三专
21、题练习)已知函数 f x=x3-34x+32,0 x122x+12,12alnxx对任意x 0,1恒成立，则实数a的取值范围为()A.-,1eB.1e,+C.1e,1D.0,1e2727(2023江西校联考模拟预测)已知x aex+1lnex有解，则实数a的取值范围为()A.-1e2,+B.-1e,+C.-1,+D.-,1e2828(2023 春山东枣庄高二枣庄八中校考阶段练习)已知函数 f x=x2ex-a x+2lnx有两个零点，则 a的取值范围是()A.a1B.a2C.aeD.ae2929(2023广东统考一模)已知函数 f x=xex+1.(1)求 f x的极值；(2)当x0时，f x
22、 a+1x+lnx+2，求实数a的取值范围.16方法归纳【方法技巧总结】1.1.指对数的运算性质相关的恒等式：(1 1)当a a0 0且a a 1 1,x x0 0时，有a alogloga ax x=x x(2 2)当 a a0 0且a a 1 1时，有logloga aa ax x=x x2.2.结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论：(其中x x0 0)(1 1)xexex x=e ex x+lnlnx x;x x+lnlnx x=lnln xexex x (2 2)e ex xx x=e ex x-lnlnx x:x x-lnlnx x=lnlne ex xx x(3 3)x
23、x2 2e ex x=e ex x+2ln2lnx x;x x+2ln2lnx x=lnln x x2 2e ex x (4 4)e ex xx x2 2=e ex x-2ln2lnx x,e ex xx x2 2=e ex x-2ln2lnx x3.3.结合常用的切线不等式lnlnx xx x-1 1，lnlnx xx xe e,e ex xx x+1 1,e ex xexex 等，可以得到更多的结论：(1 1)xexex x=e ex x+lnlnx xx x+lnlnx x+1 1；x x+lnlnx x=lnln xexex x xexex x-1 1(2 2)xexex x=e ex
24、 x+lnlnx xe e(x x+lnlnx x)；x x+lnlnx x=lnln xexex x xexex xe e=xexex x-1 1【变式训练】【变式训练】26(2023春河南郑州高三安阳一中校联考阶段练习)已知 x=kxlnx(k0)，若不等式1+x1+ekx x在 1，+上恒成立，则k的取值范围为()A.1e，+B.ln2，+C.0,eD.0,2e27(2023秋浙江杭州高二杭州市长河高级中学校考期末)已知函数对于任意x(0,+)时，不等式xeax+lnx+ax0.(1)求函数 f x在x-1,2的值域；(2)记 fx,gx分别是 f x,g x的导函数，记max m,n表
25、示实数m,n的最大值，记函数F x=max fx,gx，讨论函数F x的零点个数.19针对性巩固练习针对性巩固练习练习一：恒成立问题练习一：恒成立问题(一一)1(2023春江西高三校联考开学考试)已知函数 f(x)=a x2-2x-ex在区间0,+)上恒小于0，则实数a的取值集合是()A.-,2+12e2-2 B.-,2-12e2+2 C.2+12e2-2,2-12e2+2 D.2+12e2-2,+2(2022秋河南周口高三校考阶段练习)设函数 f(x)=xlnx的导函数为 f(x)，若对任意的x1,+)，不等式 f(x)a+ex恒成立，则实数a的最小值为()A.1-1eB.2-1eC.1-e
26、D.2-e3(2023春浙江温州高二校考阶段练习)已知函数 f x=xlnx+ax aR(1)若函数 f x在 e2,+上为增函数，求a的取值范围；(2)若x 1,+，f xk x-1+ax-x恒成立，求正整数k的值4(2022春四川成都高二四川师范大学附属中学校考期中)已知 f x=12x2-2x-3lnx，g x=16x3+x2-alnx.(1)若g(x)是单调函数，求实数a的取值范围(2)若不等式 f(x)+g(x)1成立，求a的最大整数解20练习二：存在性问题练习二：存在性问题(一一)5(2022春四川成都高二树德中学校考阶段练习)已知函数 f x=xex+1-aex+a，aZ若存在x
27、00，使得 f x00，则实数a的最小值为()A.2B.3C.4D.56(2021江苏高二专题练习)已知函数 f x=xlnx-ax2，若存在x0 e，e2，使得 f x00，使得不等式 f xx-lnx成立，求实数a的取值范围.8(2023春天津和平高二天津二十中校考阶段练习)已知函数 f x=xlnx，g x=a+1x-a.(1)求函数h x=f x-g x的极值；(2)若存在x 1,e时，使2f x-x2+ax-3成立，求a的取值范围.(3)若不等式h x x-a-2ex-1+a对任意x 1,+恒成立，求实数a的取值范围.21练习三：零点问题练习三：零点问题(一一)9(2023春河南洛阳
28、高二宜阳县第一高级中学校考阶段练习)设a为实数，若关于x的方程xex+ex-a=0有两个解，则a的取值范围为()A.-,-1e2B.0,+-1e2 C.-1e2,0D.-1e2,+10(2021秋河南新乡高三校考阶段练习)若函数 f x=x2-32xex-m有三个零点，则实数m的取值范围是()A.0,92e-32B.-e2,0C.92e-32,+D.-e2,92e-3211(2023春河南郑州高二郑州市第二高级中学校考阶段练习)已知函数 f(x)=x2lnx.(1)求 f(x)的单调性；(2)若关于x的方程tf(x)-x=0在1e,1 1,e2上有两个不相等的零点，求t的取值范围.12(202
29、3秋上海浦东新高二上海师大附中校考期末)已知 f(x)=lnx-(a+1)x+12ax2(aR R)，(1)当a=0时，求函数y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；(2)当a(0,1时，求函数y=f(x)的单调区间；(3)当a=0时，方程 f(x)=(m-2)x在区间 1,e2内有唯一实数解，求实数m的取值范围22练习四：恒成立问题练习四：恒成立问题(二二)13(2022全国高三专题练习)已知函数 f(x)=ax2-ax-xlnx，且对任意x(0,+)，f(x)0恒成立，则实数a的取值集合为()A.a|0a1B.a|1a2C.a|-1a0，若存在唯一的正整数x0使得 f(x0)0，则a的
30、取值范围是()A.0,1B.0,1C.0,2+ln2D.12,1+ln2218(2021春四川成都高二四川师范大学附属中学校考期中)已知函数 f x=alnx+x，x 0,+且aR R.(1)讨论函数 f x的单调性.(2)若存在x 0,+使得xaex-10,-x2+4x,x0,若|f(x)|ax对任意的xR R恒成立，则实数a的取值范围是()A.(-,0B.-4,0C.-2,0D.(-,1练习八：存在性问题练习八：存在性问题(三三)22(2022全国高三专题练习)已知函数 f x=a x+1ex-x3，若存在唯一的正整数x0，使得 f x00 x+1,x0，若关于x的方程 f x2-m+1f
31、 x+m=0恰有5个不同的实数根，则实数m的取值范围是()A.-1em0B.-1em0C.-1em0，e=2.718，对任意x-1,+，不等式exae 2+ln ax+a恒成立，则实数a的取值范围是()A.0,1eB.1e,1C.0,2eD.2e,128(2022四川遂宁射洪中学校考模拟预测)已知函数 f x=1+exalnx-xa+x(其中x1，a0)有两个零点，则a的取值范围为()A.-,-e2B.-e2,-eC.(-,-1)D.-,-e2529(2023春重庆永川高二重庆市永川北山中学校校考阶段练习)已知函数 f x=mex-e2x-1.(1)讨论 f x的最值；(2)设g x=e2x-
32、ln x+1+lnm+f x，若g x恰有2个零点，求实数m的取值范围.练习十二：练习十二：minmin,maxmax 问题问题30(2022秋山西朔州高三怀仁市第一中学校校考期末)已知函数 f x=x3+ax+14,g x=1-x-lnx.(1)若过点 1,0可作 f x的两条切线，求a的值.(2)用min m,n表示m,n中的最小值，设函数h x=min f x,g x(0 x1)，讨论h x零点的个数.1“三大思维体系”，搞定恒、能成立问题与零点问题目录目录一一、重难点题型方法、重难点题型方法题型一：恒成立问题(一)题型二：存在性问题(一)题型三：零点问题(一)题型四：恒成立问题(二)题
33、型五：存在性问题(二)题型六：零点问题(二)题型七：恒成立问题(三)题型八：存在性问题(三)题型九：零点问题(三)题型十：恒、能成立的四种混合问题题型十一：同构问题题型十二：min,max问题二二、针对性巩固练习、针对性巩固练习重难点题型方法重难点题型方法题型一：恒成立问题题型一：恒成立问题(一一)【典例分析】【典例分析】1 1(2023全国高二专题练习)若x2e3x(k+5)x+2lnx+1在 0,+恒成立，则k的取值范围为()A.k-1B.k-2C.k-2D.k-1【答案】C【分析】由参数分离法，转为研究kx2e3x-5x-2lnx-1x,x0恒成立，结合二阶导数法求不等式右侧的最小值，其
34、中最值点通过构造函数结合单调性求得.【详解】x2e3x(k+5)x+2lnx+1,x0kx2e3x-5x-2lnx-1x,x0.令g x=x2e3x-5x-2lnx-1x,x0，则gx=x21+3xe3x+2lnx-1x2,x0.2令h x=x21+3xe3x+2lnx-1,x0，设u x=x21+3xe3x，0 x1x211+3x2e3x2x211+3x1e3x2x211+3x1e3x1=u x1，u x=x21+3xe3x在 0,+单调递增，故h x在 0,+单调递增，又h 1=4e3-10，h1e=1e21+3ee3e-31e21+3ee2-3=3e-20，x01e,1，h x0=0，则
35、x 0,x0,gx0,g x单调递增，g xmin=g x0=x20e3x0-5x0-2lnx0-1x0.h x0=x201+3x0e3x0+2lnx0-1=0 x20e3x0=1-2lnx01+3x0，令x20e3x0=1-2lnx01+3x0=t03x0+2lnx0=lnt01-2lnx0=1+3x0t0，两式相加得lnt0+1+3x0t0-3x0-1=0，令v t=lnt+1+3x0t-3x0-1，则v t在 0,+单调递增，又v 1=0，t0=1.x20e3x0=t0=1,1-2lnx0=1+3x0t0=1+3x0-2lnx0=3x0，g xmin=g x0=1-5x0+3x0-1x0
36、=-2，故k-2.故选：C【点睛】方法点睛：(1)函数不等式恒成立问题一般可由参数分离法，转化为求函数的最值问题；(2)指对数复杂函数最值一般采用导数法求得，其中结合零点存在定理设出最值点，可得最值点的导函数方程，从而化简求值.2 2(2023全国本溪高中校联考模拟预测)已知函数 f x满足 2f x+f1x=mx2+3x+2mx，若 x 1,+，f xex，则m的取值范围为()A.e-1,+B.e-1,+C.-,e-1D.-,e-1【答案】C【分析】由方程组法求得 f(x)，不等式用参数分离法转化为mx ex-1，引入新函数，利用导数求得函数的最小值，从而得参数范围【详解】2f x+f1x=
37、mx2+3x+2mx=mx+3+2mx，又2f1x+f x=m1x2+3x+2m1x=mx+3+2mx，2-得3f x=2mx+6+4mx-mx-3-2mx=3+3mx，f x=1+mxx1又 f xex，即1+mxex，所以mx ex-1，令g x=x e ex-1，gx=exx+1-1，令h(x)=g(x)=ex(x+1)-1(x1)，则h(x)=ex(x+2)0，所以h(x)即gx在 1,+单调递增，gxg1=2e-10，则g x在 1,+递增g xg 1=e-1，me-1故选：C33 3(2023全国高三专题练习)设函数 f x=1-axln x+1-bx，曲线y=f x恒与x轴相切于
38、坐标原点(1)求常数b的值；(2)当0 x1时，f x0恒成立，求实数a的取值范围；(3)求证：1+1nne 1+1nn+1恒成立【答案】(1)b=1(2)a-12(3)证明见解析【分析】(1)求导，由 f0=1-b=0求出答案；(2)先考虑x=0时，满足要求，再考虑x 0,1，参变分离得到aln 1+x-xxln 1+x，构造函数，求导得到其单调性，结合洛必达法则求出实数a的取值范围；(3)推导出要证 1+1nne 1+1nn+1，只需证1n+1ln 1+1n1n，令x=1n，则x 0,1，构造函数xx+1ln 1+xx，x 0,1，并证明出不等式即可.【详解】(1)fx=-aln x+1+
39、1-axx+1-b，由 f0=1-b=0得，b=1；(2)当x=0时，f x=0，满足要求，f x=1-axln x+1-x当x 0,1时，分离变量可得：a1x-1ln 1+x=ln 1+x-xxln 1+x，令F x=ln 1+x-xxln 1+x，则Fx=x21+x-ln21+xx2ln21+x，令g x=ln 1+x-x1+x，x 0,1，则gx=11+x-1+x-x2 1+x1+x=2 1+x-x-22 1+x 1+x，令h x=2 1+x-x-2，则hx=11+x-10在x 0,1上恒成立，故h x=2 1+x-x-2在x 0,1上单调递减，故h xh 0=0，所以gx0在x 0,1
40、上恒成立，故g x=ln 1+x-x1+x在x 0,1上单调递减，故g xg 0=0，故ln 1+xx1+x，两边平方得ln21+x0在x 0,1恒成立，故F x在x 0,1上单调递增，故只需证明aF 0即可，当x0时，F x=ln 1+x-xxln 1+x属于00类型，由洛必达法则得，4alimx0ln 1+x-xxln 1+x=limx011+x-1ln 1+x+xx+1=limx0-11+x21x+1+1x+12=limx0-1x+2=-12，故a-12，实数a的取值范围是-,-12；(3)要证 1+1nne 1+1nn+1，故只需证ln 1+1nn1ln 1+1nn+1，只需证nln
41、1+1n1 n+1ln 1+1n，只需证1n+1ln 1+1n1n，令x=1n，则x 0,1，构造函数xx+1ln 1+x0在x 0,1上恒成立，故q x=ln 1+x-xx+1在x 0,1上单调递增，故q xq 0=0，所以ln 1+xxx+1，令w x=ln 1+x-x，则wx=1x+1-1=-xx+10在x 0,1上恒成立，故w x=ln 1+x-x在x 0,1上单调递减，故w xw 0=0，所以ln 1+xx，综上，1n+1ln 1+1n1时，f x+1lnx-x2-x-3，求a的取值范围【答案】(1)见解析(2)12e4,+,【分析】(1)先求导数，分类讨论，利用导数的符号判定函数的
42、单调性;(2)分离参数，构造新函数，换元后利用新函数的单调性求解最值，可得答案.【详解】(1)f(x)=2x(aex-1),当a0时，aex-10，f x单调递增；在(0,+)上，f(x)0时，由 f(x)=0得：x1=0,x2=ln1a,若ln1a=0,a=1，则 f(x)0恒成立，故 f x在R上单调递增；若ln1a1，由 f(x)0得：x0，由 f(x)0得:ln1ax0,0a0得：xln1a或x0，由 f(x)0得:0 x1时，f x的单调递增区间为-,ln1a和(0,+)，单调递减区间为 ln1a,0；当0alnx-x2-x-3恒成立，可得：2axex+1-lnx-x+20对x1恒成
43、立，即2aelnx+x-2xex，2aeln(xex)-2xex恒成立.令t=xex，x和ex在(1,+)均为大于0的增函数，所以xex在(1,+)为增函数，由x1知，得：t=xexe，设g(t)=lnt-2t，g(t)=3-lntt2,故当t(e,e3)时，g(t)0,g(t)单调递增；当t(e3,+)时，g(t)1e3,解得a12e4,故a的取值范围为12e4,+,【点睛】本题主要考查导数的应用，单调性的判定主要利用导数的符号来判定，注意分类讨论的不重不漏，参数范围的求解一般利用分离参数法来进行，借助导数求解新函数的最值.方法归纳【方法技巧总结】1 1.x x D D，mmf f x x
44、mmf f x x minmin；2 2.x x D D，mmf f x x mmf f x x maxmax；【变式训练】【变式训练】1(2023广东高三校联考阶段练习)已知函数 f(x)=ax+lnx+1-xe2x对任意的x0，f x0恒成立，则实数a的取值范围为()6A.-,0B.-,2C.-,1D.-,3【答案】B【分析】根据题意将不等式进行参变分离，得到axe2x-lnx-1x在(0,+)上恒成立，令g(x)=xe2x-lnx-1x，求函数g(x)的最小值即可.【详解】因为x0，且 f(x)0恒成立，则axe2x-lnx-1x在(0,+)上恒成立，令g(x)=xe2x-lnx-1x，
45、则gx=2x2e2x+lnxx2，令(x)=2x2e2x+lnx，则(x)=4xe2x+4x2e2x+1x0，所以(x)=2x2e2x+lnx在(0,+)上单调递增，又因为(1)=2e20，14=e8-ln40，所以存在x014,1，使得(x0)=2x02e2x0+lnx0=0，当x(0,x0)时，(x)0，也即g(x)0，也即g(x)0，此时函数g(x)单调递增；故g xmin=g x0=x0e2x0-lnx0-1x0，因为2x02e2x0+lnx0=0，所以2x02e2x0=-lnx0=ln1x0，则2x0e2x0=1x0ln1x0=ln1x0eln1x0，令h(t)=tet(t0)，则h
46、(t)=et+tet0，所以h(t)=tet(t0)在(0,+)上单调递增，则有2x0=ln1x0，所以g(x0)=x0e2x0-lnx0-1x0=x0e2x0+2x02e2x0-1x0=x0-lnx02x02+2x02-lnx02x02-1x0=-lnx02x0-lnx0-1x0=2x02x0+2x0-1x0=2，所以g(x)min=2，则a2，故选：B.2(2023北京高三专题练习)已知函数 f x=lg 2x+4x2+1，若对于任意的x 1,2时，f x2-1+fmx-60恒成立，则实数m的取值范围是()A.-,0B.12,+C.-,0D.4,+【答案】A【分析】利用奇偶性和对数函数单调
47、性可得 f x在R上单调递增，则 f x2-1+fmx-60可转化为x2-1m6-x在x 1,2时恒成立，即m0时，f x单调递增，所以 f x在R上单调递增，7f x2-1+fmx-60，即 f x2-1-fmx-6在x 1,2恒成立，所以 f x2-1 fm6-x，即有x2-1m6-x，所以m0，h x单调递增，h 1=0，所以01时，原不等式可化为mxex-1+ex-1，当-2x1时，原不等式可化为mxex-1+ex-1，根据函数的单调性讨论m的取值范围【详解】(1)依题意得 fx=x+2ex+2m x+2=x+2ex+2m当m0时，令 f(x)0，得x0，得x-2，所以 f(x)在(-
48、,-2)上单调递减，在(-2,+)上单调递增；当-12e2m0时，令 f(x)0，得ln-2mx0，得x-2，所以 f(x)在 ln-2m,-2上单调递减，在-,ln-2m和(-2,+)上单调递增；当m=-12e2时 f(x)0在R R上恒成立，所以 f(x)在R R上单调递增；当m-12e2时，令 f(x)0，得-2x0，得xln(-2m)，所以 f(x)在-2,ln-2m上单调递减，在(-,-2)和(ln(-2m),+)上单调递增(2)当x-2,+)时，f x-1m x2+3x-e恒成立，则xex-1-m x-1+e0恒成立(i)当x=1时，不等式即1+e0，满足条件(ii)当x1时，原不
49、等式可化为mxex-1+ex-1，该式对任意x(1,+)恒成立设g x=xex-1+ex-1，则gx=x2-x-1ex-1-ex-12设k x=x2-x-1ex-1-e，则kx=x2+x-2ex-1=x+2x-1ex-1因为x1，所以k(x)0，所以k(x)在(1,+)上单调递增，即g(x)在(1,+)上单调递增又因为g2=k 2=0，所以x=2是g(x)在(1,+)上的唯一零点，所以当1x2时，g(x)2时，g(x)0，g(x)在(2,+)上单调递增，所以当x(1,+)时，g xmin=g 2=3e，所以m3e(iii)当-2x1时，原不等式可化为mxex-1+ex-1，8此时对于(ii)中
50、的函数k(x)，可知当-2x1时，k(x)0，所以k(x)在-2,1)上单调递减，且k-2=5e-3-e0，所以当-2x1时，k xk-20，即g(x)0，所以g(x)在-2,1)上单调递减，所以当x-2,1)时，g xmax=g-2=2e-3-e3，所以m2e-3-e3综上所述，m的取值范围是2e-3-e3,3e 4(2023春山西运城高二校联考阶段练习)已知函数 f x=aex-x2+x-2.(1)若a=1，求函数 f x在x=1处的切线方程；(2)已知g x=-x2，若 f xg x在R R上恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)y=e-1x-1(2)-,-1e3【分析】(1)由导数