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1、人教人教A版（版（2019）高中数学选择性）高中数学选择性必修二必修二4.3.2等比数列的前n项和公式 第一课时第一课时一二三学习目标理解等比数列的前n项和公式的推导方法握等比数列的n项和公式并能运用公式解决一些简单问题提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想学习目标复习回顾回顾1 等比数列的定义与递推公式是怎样的？等比数列的递推关系：回顾2 等比数列的通项公式是什么？数学小故事数学小故事数学小故事数学小故事数学小故事数学小故事 相传，古印度的舍罕王打算重赏国际象棋的发明者宰相西萨班达依尔。于是，这位宰相跪在国王面前说：新课导入12陛下，请您在这
2、张棋盘的陛下，请您在这张棋盘的第一第一个小格内个小格内，赏给我，赏给我一粒一粒麦子；麦子；在在第二个小格内第二个小格内给给两粒两粒，第三第三格内格内给给四粒四粒，照这样下去，每，照这样下去，每一小格都比前一小格一小格都比前一小格加一倍加一倍。陛下啊，把这样摆满棋盘上所陛下啊，把这样摆满棋盘上所有有6464格的麦粒，都赏给您的仆格的麦粒，都赏给您的仆人吧！人吧！第1格：第2格：第4格：第3格：第63格：第64格：新知探究一：等比数列的前n项和公式的推导与公式问题问题1：这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？麦粒总数为麦粒总数为追问追问1：构成什么数列？构成什
3、么数列？等比数列等比数列追问追问2：应归结为什么数学问题呢应归结为什么数学问题呢？求等比数列的前求等比数列的前n n项和问题项和问题式两边同乘以式两边同乘以2 2则有则有 2S2S6464=2+2=2+22 2+2+23 3+2+26363+2+264 64 追问3：观察相邻两项的特征，有何联系？如果我们把每一项都乘以2，就变成了与它相邻的 后一项S6464=1+2+2=1+2+22 2+2+26262+2+263 63 新知探究一：等比数列的前n项和公式的推导与公式反思：反思：纵观全过程，纵观全过程，式两边为什么要乘以式两边为什么要乘以2 2？乘以3？会达到一样的效果吗？追问追问4 4：比较
4、比较、两式，你有什么发现？两式，你有什么发现？新知探究一：等比数列的前n项和公式的推导与公式-得：错位相减法错位相减法-得：得：q 得得问题问题2 2：类比类比上面求和的方法能否得到上面求和的方法能否得到等比数列前等比数列前n n项和公式呢项和公式呢？新知探究一：等比数列的前n项和公式的推导与公式思考：思考：要求出要求出Sn,是否可以把上式两边同除以是否可以把上式两边同除以（1-q）？注意：分类讨论是一种常用的数学思想方法！注意：分类讨论是一种常用的数学思想方法！新知探究一：等比数列的前n项和公式的推导与公式首首首首项项项项末末末末项项项项公公公公比比比比前前前前n n项项项项和和和和项项项项
5、数数数数等比数列前n项和公式：注意注意 (1)(1)等比数列求和时，应考虑等比数列求和时，应考虑q=1与与q1两种情况两种情况.(2)(2)推导等比数列前推导等比数列前n项和公式的方法：项和公式的方法：错位相减法错位相减法.(3)(3)步骤步骤:乘公比乘公比，错位写错位写，对位减对位减.概念生成1000粒麦子的质量约为40g 麦粒的总质量超过了7000亿吨呼应故事 是20162017年世界小麦年产量（7亿多吨）的981倍，按每年7亿吨计算都要用1000多年才能满足西萨的要求；如果按人均如果按人均每天吃每天吃_粮食计算粮食计算,此棋盘上的粮食可供全世界此棋盘上的粮食可供全世界_亿人吃亿人吃上约上
6、约_年年.1千克80240所以国王兑现不了他的承诺国王兑现不了他的承诺。跟踪练习：跟踪练习：判断判断是非是非2nn个个5n 公式辨析n n且0 0 a=0n a=1=反思总结反思总结:用公式前，先弄清楚数列的首项用公式前，先弄清楚数列的首项 、公比、公比 、项数项数n n公式辨析新知探究二：等比数列的前n项和公式的应用新知探究二：等比数列的前n项和公式的应用例例7 已知数列已知数列an是等比数列是等比数列.1.已知数列已知数列an是等比数列是等比数列.课本课本P371.已知数列已知数列an是等比数列是等比数列.课本课本P37新知探究二：等比数列的前n项和公式的应用例例2 已知等比数列已知等比数
7、列an的首项为的首项为1，前，前n项和为项和为Sn，若，若 求公比求公比q.课本课本P37 4.已知三个数成等比数列，它们的和等于已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于，积等于64.求这个等比数列的首求这个等比数列的首项和公比项和公比.课本课本P37 5.如果一个等比数列前如果一个等比数列前5项的和等于项的和等于10，前，前10项的和等于项的和等于50，那么这个数列的，那么这个数列的公比等于多少公比等于多少?课本课本P37解法1：例例3 3(1)(2)(3)解法2：两式相除：实现整体消元的目的新知探究二：等比数列的前n项和公式的应用例例4 已知等比数列已知等比数列an的公比的公比q 1
8、，前，前n项和为项和为Sn，证明，证明 Sn,S2nSn,S3nS2n,成等比数列，并这个数列的公比成等比数列，并这个数列的公比.新知探究二：等比数列的前n项和公式的应用例例4 已知等比数列已知等比数列an的公比的公比q 1，前，前n项和为项和为Sn，证明，证明 Sn,S2nSn,S3nS2n,成等比数列，并这个数列的公比成等比数列，并这个数列的公比.新知探究二：等比数列的前n项和公式的应用 若等比数列若等比数列an的公比的公比q1，前，前n项和为项和为Sn，则，则Sn,S2nSn,S3nS2n成等比数列成等比数列,其中公比为其中公比为qn.等比数列的片段和性质：1.掌握等比数列前n项和公式推
9、导方法（错位相减法）.2.掌握等比数列前n项和公式（注意分类讨论）.课堂小结人教人教A版（版（2019）高中数学选择性）高中数学选择性必修二必修二4.3.2等比数列的前n项和公式 第二课时第二课时na1 等比数列的前等比数列的前n项项和和公式公式复习引入探究新知分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列。新知探究新知探究新知探究 1.一个乒乓球从一个乒乓球从1 m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的的0.61倍倍.(1)当它第当它第6次着地时，经过的总路程是多少次着地时，经过的总路程是多少(精确到精确到
10、1 cm)?(2)至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到400 cm?课本课本P40典例解析例11.去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列。因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算。新知探究新知探究归纳总结解决数列应用题时一
11、是：明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题；二是：明确是求an，还是求Sn.细胞繁殖、利率、增长率等问题一般为等比数列问题新知探究典例解析新知探究新知探究典例解析新知探究典例解析练习巩固题型一 等比数列前n项和的性质例1(1)在等比数列an中,若S2=7,S6=91,则S4=.(2)已知等比数列an共有2n项,其和为-240,且(a1+a3+a2n-1)-(a2+a4+a2n)=80,则公比q=.(3)若数列an是等比数列,且其前n项和为Sn=3n+1-2k,则实数k等于.典例解析练习巩固解析(1)数列an是等比数列,且易知公比q-1,S2,S4
12、-S2,S6-S4也构成等比数列,即7,S4-7,91-S4构成等比数列,(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或S4=-21.又S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)0,S4=28.典例解析练习巩固方法技巧等比数列前n项和的性质(1)若数列an为非常数列的等比数列,且其前n项和为Sn=Aqn+B(A0,B0,q0,q1),则必有A+B=0;反之,若某一非常数列的前n项和为Sn=Aqn-A(A0,q0,q1),则该数列必为等比数列.(2)若等比数列an的前n项和为Sn,则(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n).特
13、别地,如果公比q-1或虽q=-1但n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等比数列.(3)当等比数列an的项数为偶数时,偶数项的和与奇数项的和之比等于典例解析练习巩固(2)已知等比数列an共有32项,其公比q=3,且奇数项之和比偶数项之和少60,则数列an的所有项之和是()A.30B.60C.90D.120典例解析练习巩固答案(1)B(2)D解析(1)设S2=k,S4=3k,由数列an为等比数列(易知数列an的公比q-1),得S2,S4-S2,S6-S4为等比数列.又S2=k,S4-S2=2k,S6-S4=4k.(2)设等比数列an的奇数项之和为S1,偶数项之和为S2,则S1=a1+
14、a3+a5+a31,S2=a2+a4+a6+a32=q(a1+a3+a5+a31)=3S1.又S1+60=S2,则S1+60=3S1,解得S1=30,S2=90,故数列an的所有项之和是30+90=120.典例解析练习巩固题型二 等差数列与等比数列的综合问题例2已知Sn是无穷等比数列an的前n项和,且公比q1,1是 S2和 S3的等差中项,6是2S2和3S3的等比中项.(1)求S2和S3;(2)求数列an的前n项和;(3)求数列Sn的前n项和.典例解析练习巩固典例解析练习巩固反思感悟数列综合问题的关注点(1)等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点,特别是等差与等比数列的通项公式、前
15、n项和公式,以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点.(2)利用等比数列前n项和公式时应注意公比q的取值,熟悉两种数列的性质,知道它们的推导过程,利用好性质,可降低题目的难度,解题时有时还需利用条件联立方程组求解.典例解析练习巩固变2 已知等差数列an和各项均为正数的等比数列bn满足a1=b1=1,a2+a4=10,b3=a5.(1)求an的通项公式;(2)求数列bn的前n项和.解(1)设等差数列an公差为d,等比数列bn公比为q,q0,因为a1=b1=1,a2+a4=10,b3=a5,所以1+d+1+3d=10,q2=1+4d,d=2,q=3.因此an=1+(n-1)2=2n-1,bn=1
16、3n-1=3n-1.(2)数列bn的前n项和1、等等比数列前比数列前n项和公式，对于项和公式，对于公比未知公比未知的等比数列的等比数列，应应用等比数列的前用等比数列的前n项和公式时，需讨论公比是否为项和公式时，需讨论公比是否为1；3、数、数学思想方法的应用学思想方法的应用:方程思想方程思想:等比数列求和问题中的等比数列求和问题中的“知三求二知三求二”问问题题 就就是方程思想的重要体现；是方程思想的重要体现；分类讨论思想：分类讨论思想：由等比数列前由等比数列前 项和公式可知，解答项和公式可知，解答等等 比比数列求和数列求和问问 题题时常常要用到分类讨论思想时常常要用到分类讨论思想.2、等、等比数列前比数列前n项和公式的推导：项和公式的推导：错位相减法错位相减法；归纳小结归纳小结：47