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1、4.5.1 函数的零点与方程的解学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1. 函数f(x)=log5(x-1)的零点是()A. 0B. 1C. 2D. (1,0)2. 若函数f(x)=23x+1+a的零点为1，则实数a的值为()A. -2B. -12C. 12D. 23. 函数f(x)=lnx-2x的零点所在的区间为()A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,+)4. 函数f(x)=x2-1x-1在区间(k,k+1)(kN)内有零点，则k=()A. 0B. 1C. 2D. 35. 若函数f(x)=lnx+x2+a-1在区间(1,e)内有唯一的零点，则实数a的取值范围是()
2、A. (-e2,0)B. (-e2,1)C. (1,e)D. (1,e2)6. 函数f(x)=x2-2x的零点个数是()A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个7. 已知函数f(x)=ex+x，g(x)=lnx+x，h(x)= x+x的零点分别为a，b，c，则()A. abcB. bcaC. cabD. acb二、多选题8. 已知函数f(x)=ax+b的零点是-1(a0)，则函数g(x)=ax2+bx的零点是()A. -1B. 0C. 1D. 29. 设函数f(x)=|lnx|,x0-x2-4x,x0，若函数g(x)=f(x)-m有四个零点，则实数m可取()A. -1B. 1C. 3D. 51
3、0. f(x)=2x-log12x，fx的零点为a，gx=12x-log2x，gx的零点为b，hx=12x-log12x，hx的零点为c，则a,b,c的大小关系是()A. acC. cb11. 已知函数f(x)= 2x,x0 1+log2x-1,x0,则方程f2(x)-52f(x)+1=0的解可能是()A. 1B. -1C. 3D. 2+ 2212. 定义域和值域均为-a,a(常数a0)的函数y=fx和y=gx的图象如图所示，下列四个命题中正确的结论是()A. 方程fg(x)=0有且仅有三个解B. 方程gf(x)=0有且仅有三个解C. 方程ff(x)=0有且仅有九个解D. 方程gg(x)=0有
4、且仅有一个解三、填空题13. 已知函数f(x)=x2-ax+2，若f(x)的零点均小于1，则实数a的取值范围为；若f(x)在(-4,-3)内恰有一个零点，则实数a的取值范围为14. 设函数f(x)=2x,x0, |log2x|,x0, 则g(x)=f(x)-12的零点所构成的集合为15. 已知函数f(x)= ex,x0, lnx,x0,若函数g(x)=f(x)+a有两个零点，且其中一个零点是x=0，则函数g(x)的另外一个零点是16. 已知函数f(x)=ax2+a-2019(aR)存在零点，且与函数y=f(f(x)的零点完全相同，则实数a的值为17. 已知函数f(x)=|log3x|,0xcb
5、a0，则(1)ab=；(2)abcd的取值范围为四、解答题18. (本小题12.0分)已知奇函数f(x)= -x2+2x (x0) 0 (x=0) x2+mx (x0)()求实数m的值；()讨论方程f(x)=a(aR)成立的零点个数。19. (本小题12.0分)已知二次函数f(x)=x2-2mx+2m+3有两个零点(1)若在区间(-3,-2)和(-1,0)上各有一个零点，求m的取值范围；(2)若在区间(-2,0)上只有一个零点，求m的取值范围20. (本小题12.0分)已知函数f(x)=2a4x-2x-1(1)当a=1时，求函数f(x)的零点；(2)若f(x)有零点，求a的取值范围21. (本
6、小题12.0分)已知f(x)=log2(4x+1)-kx(kR)(1)设g(x)=f(x)-a+1，k=2，若函数g(x)存在零点，求a的取值范围；(2)若f(x)是偶函数，设h(x)=log2(b2x-43b)，若函数f(x)与h(x)的图象只有一个公共点，求实数b的取值范围22. (本小题12.0分)已知函数f(x)=(13)ax2-4x+2，其中a为常数(1)若fx在区间2,+单调递减，求实数a的取值范围；(2)已知a1，若函数y=log3f(x)+log2x8在x1,2上有且仅有一个零点，求a的取值范围答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数零点与方程根的关系令log5
7、(x-1)=0，求出x的值即可【解答】解：由log5(x-1)=0，得x-1=1，x=2，函数f(x)的零点为2故选C2.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了函数零点，属于基础题已知函数零点的值，代入函数方程求解即可【解答】解：函数f(x)=23x+1+a的零点为1，f(1)=231+1+a=12+a=0，解得a=-12故选B3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数零点存在性定理，是基础题函数f(x)=lnx-2x在(0,+)单调递增，由零点存在性定理求解即可【解答】解：易得函数f(x)=lnx-2x在(0,+)单调递增，又f(2)=ln2-10，f(2)f(3)0时，函数f(x)=
8、x2-1x-1是增函数，计算f(1)=-10，可得结论【解答】解：由题意，当x0时，函数f(x)=x2-1x-1是增函数，且为连续函数，计算f(1)=-10，由函数零点存在定理知，f(x)=x2-1x-1在(1,2)上有零点，k=1故选B5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数的单调性、零点判定定理的应用，是中档题函数f(x)=lnx+x2+a-1在区间(1,e)内有唯一的零点，根据函数单调性及利用零点判定定理列出不等式，求解即可求出a的范围【解答】解：函数f(x)=lnx+x2+a-1在区间(1,e)内有唯一的零点，当x0时，函数f(x)=lnx+x2+a-1单调递增，则f(1)f(e)
9、0，可得：a(1+e2+a-1)0，解得a(-e2,0)故选A6.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的零点个数的判断，函数图象的应用，属于基础题画出y=x2，y=2x的图象，注意f(2)=0，f(4)=0，从而判断得答案【解答】解：由题意，画出函数y=x2和y=2x的图象，如图：函数f(x)=x2-2x的零点，即令f(x)=0，2x=x2，显然有f(2)=0，f(4)=0，当x0时，y=x2递减，y=2x递增，显然两函数有一个交点，即f(x)有1个零点，故共有三个交点，故选A.7.【答案】B【解析】【分析】解决函数的零点问题可以应用图象法，找到交点的横坐标，数形结合思想是解决问题的常用方法
10、a，b，c分别为f(x)=0，g(x)=0，h(x)=0的根，作出y=ex，y=lnx，y= x的图象与直线y=-x，观察交点的横坐标的大小关系即可【解答】解：由题意可得a，b，c分别为f(x)=0，g(x)=0，h(x)=0的根，作出y=ex，y=lnx，y= x的图象与直线y=-x的交点的横坐标分别为a，b，c，由图象可得acb，故选：B8.【答案】AB【解析】【分析】本题考查函数的零点与方程根的关系，属于基础题根据f(-1)=0得出a，b之间的关系，然后解方程g(x)=0，从而得解【解答】解：因为函数f(x)=ax+b的零点是-1(a0)，所以f(-1)=b-a=0，所以g(x)=ax2
11、+ax=ax(x+1)，令ax(x+1)=0，因为a0，所以可得x=0或-1，所以函数g(x)=ax2+bx的零点是-1，0故选AB9.【答案】BC【解析】【分析】画出函数的图象，利用已知条件结合函数的图象，推出结果即可本题考查了函数的零点，同时考查了学生的作图能力，属于中档题【解答】解：令g(x)=0，得f(x)=m，作出f(x)的函数图象如图所示：若函数g(x)=f(x)-m有四个零点，则函数f(x)的图象与y=m有四个交点，m的取值范围为0m4故选：BC10.【答案】AC【解析】【分析】本题考查了函数的图象的运用，求解函数的零点的方法，考查分析与计算能力，属于中档题画出y=2x，y=(1
12、2)x，y=log2x，y=log12x图象，结合图象可得他们零点的大小关系.【解答】解：在同一坐标系中画出y=2x，y=(12)x，y=log2x，y=log12x图象，如图所示，结合图象可得f(x)，g(x)，h(x)的零点分别为点A，B，C所对应的横坐标，由图可得ac0，解得x=3，令1+log2x-1=12x0，解得x=1 22=2 22，结合选项可知BCD正确故选BCD12.【答案】AD【解析】【分析】本题考查根的存在性及根的个数判断，函数的图像，考查逻辑思维能力及识别图象的能力，是中档题通过f(x)，g(x)的图像可知方程f(x)=0有三个解，g(x)=0有一个解，具体分析A，B，
13、C，D推出正确结论【解答】解：对于A，方程fg(x)=0有且仅有三个解，即g(x)有三个不同值，由于y=g(x)是减函数，所以有三个解， A正确;对于B，方程gf(x)=0有且仅有三个解，从图中可知，y=g(x)是减函数，且函数的零点为正数，所以f(x)(0,a)可能有1，2，3个解，B不正确;对于C，方程ff(x)=0有且仅有九个解，从图中可知，函数y=f(x)的零点有3个，所以f(x)-a,a可能有1，2，3个解，所以C不正确;对于D，方程gg(x)=0有且仅有一个解，结合图象，y=g(x)是减函数，且函数的零点为一个，所以由图象可得方程gg(x)=0有且仅有一个解.故D正确故选AD13.
14、【答案】(-,-2 2-92,-113【解析】【分析】本题考查了函数零点存在定理、函数的零点与方程根的关系，属于基础题若f(x)的零点均小于1，由二次函数性质可得a的不等式组，解之即可；若f(x)在(-4,-3)内恰有一个零点，由函数零点存在定理或是由二次函数性质可得关于a的不等式组，解之即可【解答】解：若f(x)的零点均小于1，则 a2-80, f(1)=3-a0, a21解得a-2 2若f(x)在(-4,-3)内恰有一个零点，则f(-4)f(-3)=(18+4a)(11+3a)0，或 =a2-8=0, -4a2-3解得-92a0，讨论x0，x0，分别解方程即可【解答】解：g(x)=f(x)
15、-12=2x-12,x0|log2x|-12,x0，当x0时由2x-12=0可得x=-1;当x0时由|log2x|-12=0可得x= 2或 22故函数g(x)=f(x)-12的零点所构成的集合为-1, 22, 2故答案为-1, 22, 215.【答案】e【解析】【分析】本题考查函数的零点与方程根的关系.利用函数的零点，函数g(x)=f(x)+a有两个零点，即函数y=f(x)与y=-a有两个不同的交点，得出-a=f(0)=1，即可求出结果【解答】解：根据题意，即要求f(x)=-a，f(x)的图象与y=-a恰有两个交点，其中一个交点的横坐标为x=0，-a=f(0)=1，令1=lnxx=e，另一个零
16、点为e故答案为e16.【答案】2019【解析】【分析】本题考查函数零点问题，涉及二次函数，综合性较强，属于拔高题结合零点与方程根的关系列方程组求解即可【解答】解：如果函数y=f(x)与函数y=f(f(x)都有零点且它们的零点完全相同，则f(x)=x，方程ax2+a-2019=x的根就是函数y=f(x)与函数y=f(f(x)的零点，故ax2+a-2019=0ax2+a-2019=x，解得a=2019x=0即y=f(x)与函数y=f(f(x)的零点相同为0，且a=2019故答案为：201917.【答案】121,24【解析】【分析】本题主要考查对数函数、二次函数的图象和性质应用，函数零点与方程的根的
17、关系，属于难题由题意可得-log3a=log3b=13c2-103c+8=13d2-103d+8，可得log3(ab)=0，ab=1，c+d=10，所以abcd=c(10-c)，求出c的范围由此求得abcd的范围【解答】 解：画出函数f(x)的图象，如图：由题意可得-log3a=log3b=13c2-103c+8=13d2-103d+8，可得log3(ab)=0，故ab=1c+d=10，令13x2-103x+8=0，得x=4或6，结合函数f(x)的图象可知，3c4所以abcd=c(10-c)，3c4，故有21abcd24，故答案为：1；(21,24)18.【答案】解：()因为函数f(x)为奇函
18、数，故满足f(-x)=-f(x)，当x0，则f-x=-x2-2x=-x2-mxm=2；()由(1)可知，f(x)=-x2+2x(x0)0 (x=0)x2+2x(x1或a-1时，一解;a=1或a=-1时两解;-1a1时三解【解析】本题考查了函数奇偶性的应用以及利用图像交点个数确定函数零点个数()根据函数为奇函数，则f(-x)=-f(x)，即可求解m;()作出函数f(x)的图象，根据函数f(x)的图象与y=a交点个数即可求解方程f(x)=a(aR)成立的零点个数19.【答案】解：(1)函数f(x)=x2-2mx+2m+3，区间(-3,-2)和(-1,0)上各有一个零点，只需满足f(-3)f(-2)
19、0f(-1)f(0)0，得-32m-76，(2)函数f(x)=x2-2mx+2m+3，在区间(-2,0)上只有一个零点，f(-2)f(0)0，得-32m-76考虑边界情况：由f(-2)=0，得m=-76，f(x)=x2+73x+23，x=-2或x=-13，m=-76满足题意，由f(0)=0，得m=-32，f(x)=x2+3x，x=-3或x=0，m-32综上，m的取值范围为-32m-76【解析】本题考查函数的零点问题，属于中档题(1)由题意可得f(-3)f(-2)0f(-1)f(0)0，求解即可；(2)根据f(-2)f(0)0，解得-32m0，2a14-14=0，即a0【解析】本题考查函数的零点
20、与方程的根的关系，考查方程的思想，属中档题(1)问题转化为a=1时解方程f(x)=0；(2)f(x)有零点，则方程2a4x-2x-1=0有解，分离出a后转化为求函数的值域问题21.【答案】解：(1)由题意函数g(x)存在零点，即f(x)=a-1有解当k=2时，f(x)=log2(4x+1)-2x=log2(4x+14x)=log2(1+14x)，易知f(x)在(-,+)上是减函数，又1+14x1，log2(4x+14x)0，即f(x)0，所以a-1(0,+)，所以a的取值范围是a(1,+)(2)f(x)=log2(4x+1)-kx的定义域为R，f(x)是偶函数，f(-1)=f(1)，log2(
21、14+1)+k=log2(4+1)-k，k=1，检验f(x)=log2(4x+1)-x=log2(2x+2-x)，f(-x)=log2(4-x+1)+x=log2(2x+2-x)，f(x)=f(-x)，f(x)为偶函数，若函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log2(2x+12x)=log2(b2x-43b)有且只有一个实根，化简得：方程2x+12x=b2x-43b有且只有一个实根，令t=2x0，则方程(b-1)t2-43bt-1=0有且只有一个正根，b=1t=-34，不合题意，当b1时，若方程有两个相等的正数根，则=-43b2+4b-1=0b=34或-3，若b=34，不合题
22、意；若b=-3t=12，若方程有一个正根和一个负根时，则-1b-11时，满足题意，实数a的取值范围为b|b1或b=-3【解析】本题主要考查了偶函数的性质，以及对数函数图象与性质的综合应用，考查了函数零点与方程根的关系，同时考查了分类讨论的思想，属于难题(1)由题意函数g(x)存在零点，即f(x)=a-1有解，转化为利用函数的单调性求出a的范围；(2)先根据偶函数的性质求出k的值，再根据函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点，则方程f(x)=h(x)有且只有一个实根，化简可得方程2x+12x=b2x-43b有且只有一个实根，令t=2x0，则转化为方程(b-1)t2-43bt-1=0有且只
23、有一个正根，讨论b=1，以及=0与一个正根和一个负根，三种情形，即可求出实数b的取值范围22.【答案】解：(1)y=f(x)(xR)是由函数y=13u和u=ax2-4x+2复合而成，而y=13u为减函数，当a=0时，u=-4x+2为R上的减函数，则y=f(x)为R上的增函数，不符合题意；当a0时，则u=ax2-4x+2在区间2,+)单调递增，a0-42a2a1,综上实数a的取值范围是1,+);(2)函数y=log3f(x)+log2x8在x1,2内有且只有一个零点方程log3f(x)+log2x8=0，即ax2-4x+5=log2x在x1,2内有且只有一个根令h(x)=ax2-4x+5,(x)
24、=log2x(1x2)，则条件等价于两个函数h(x)与(x)的图象在区间x1,2内有唯一的交点当a=0时，h(x)=-4x+5在x1,2上单调递减，(x)=log2x，在x1,2上递增，且h(1)=1(1)=0,h(2)=-3(2)=1，h(x)与(x)在x1,2内有唯一的交点；当a0时，h(x)=ax2-4x+5图象开口向下，对称轴为x=2a0，h(x)在1,2上单调递减，而(x)=log2x在x1,2上单调递增，则h(1)(1)h(2)(2)a+104a-31-1a1,故-1a0；当0a1时，h(x)=ax2-4x+5图象开口向上，对称轴为x=2a2，h(x)在1,2上单调递减，而(x)=log2x在x1,2上单调递增，则h(1)(1)h(2)(2)a+104a-31-1a1,故0a1；综上，所求实数a的取值范围是-1,1【解析】本题考查复合函数的单调性和函数零点问题，用分类讨论的思想解决函数的零点问题，属于难题(1)根据复合函数的单调性可得当a0时，则u=ax2-4x+2在区间2,+)单调递增，从而得解(2)因为函数在区间1,2内有且只有一个零点等价于ax2-4x+5=log2x在x1,2内有且只有一个根，等价于两个函数h(x)与(x)的图象在区间x1,2内有唯一的交点.利用分类讨论的数学思想可得结果第17页，共17页