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1、ss-SSI太笈期n(新 图 考)2021届昌三第三次模拟考试卷数 学(四)注意事项：1 .答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2 .选择题的作答：每小题选出答案后，用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4 .考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第I卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共4 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .
2、已知集合4 =兄2?-7工 一4 0 ,8 =小|3,则A f 3=()A.(-2,3)B.(-2,3 C.卜g,2)D.卜g,3)答案：D解：由2/一7工-4 4 0,即(2工+l)(x-4)W0,得一；W x 4,集合A=一;,4 ,由打 3,得/9,即一3 V x 3,集合3=(-3,3),由数轴表示可得A p|B=故选D.w数s2.设复数z满足z(百 i)=(l +i，则忖=()A1 R V 2 r x/32 2 2解：(G i bo+i y f+zi+i=zi,一卷二濡普r毕T+争3.关于命题，下列判断正确的是()A.命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题B.命题“有一个素数不是奇
3、数”是全称量词命题C.命题“V xe R./e R”的否定为 勺与e R,石任R”D.命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数”答案：C解：A选项，命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词“每个”，是全称量词命题，故A错；B选项，命题“有一个素数不是奇数”含有存在量词“有一个”，是存在量词命题，故B错；C选项，命题“/天1t/1的否定为 三1,父必1 ”，故C正确；D选项，命题“每个整数都是有理数”的否定为“存在一个整数不是有理数”，故D错，故选C.4.已知函数/(x)=L -./八一满足对任意工七，都 有(-2)x+、0成立,3,(x O)Xj-x,则a的取值范用是()A.6/
4、e(0,l)B.C.D.ae答案：C解：由题意，函数/(x)对任意的N工期都有 0成立,/、优，(%0)0 13可得 a-2 0，解得0 a-2 +3a答案：D5.函数.f(x)=/2 si n x-1的奇偶性为()A.奇函数 B.既是奇函数也是偶函数C.偶函数 D.非奇非偶函数答案：D解:由2sinx120,B P sin.v-,得函数定义域为 2hi+,2kit+y7t（k EZ）,2 L 6 6 J此定义域在x轴上表示的区间不关于原点对称.所以该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数，故选D.6.已知点P是A ABC所在平面内一点，旦 脓+郎+走=0，则（）一 1一 2 2一 1 一A.PA=
5、-BA+-B C B.PA=-B A +-B C3 3 3 3 1 2 2一 1 一C.PA=BA BC D.PA=-B A BC3 3 3 3答案：Duu uu uiai解：由题意，PA-BA=P B 苏+/=前，而PA+PB+PC=53丽-丽+/=0，一2 一 1 一又 衣=阮-BA，3E 4-2B A +BC=0.：.PA=-B A-B C,故选 D.x-y 07.已知实数X、y满足约束条件|，x-y M 0,其中“-1,若目标函数），=一 的最大值为2,.x-mx+y 则 m=（）3 1 3A.-2 B.-2或一二 C.一2或一 D.-2 2 2答案：Ax-y 0解：因为实数、y满足约
6、束条件，德.一），（）,x+y 如，则以下结论正确的有()A.ag-a10 an)C.bJ0 0 D.bg Z?10答案：AD2解：数列 勺 是公比g为 一弓的等比数列：是首项为1 2,公差设为d的等差数列,则 =a ()s 4。=a ()9%a。a；()17%,不能求得方io的符号，故C错误;2 2由 且 K o 4）,则 4 （一耳）1 2 +8d 4 （）9 1 2 +9d,可得等差数列 定是递减数列，即d 九，故D正确，故选A D.1 2.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，过抛物线/=2），的焦点的直线/与该抛物线的两个交点为A（X|,y）,8（吃,力），则（）A.凹必1B.以A 3
7、为直径的圆与直线y二 相 切C.|O 4|+|O 8|的最小值2近D.经过点8与工轴垂直的直线与直线O A交点一定在定直线上答案：A B D解：抛物线的焦点为（0,：设直线A B的方程为 =+；，、,=去+!联立“2,可得/一2 h一 1 =0，所以用 +工2=2%,%w=T，y+8=左（内+占）+1 =2犬+1,y2=1 j =k2x.x2+1 A;（x,+x2）+1 ,故A正确；以A B为直径的圆的圆心为（牛 旦,笑 也 即，,内+；）,半 径 为 四=山 1 =二+1,2 2所以圆心到直线 丫=-；的距离为&2+g +g =&2+l,等于半径，所以以A B为直径的圆与直线y =-g相切，
8、即B正确：当直线A 8与*轴平行时，|。4|=|0用=当，|0 4|+|0 8|=60）外一点（2,o）引直线/与圆。相交于从，B两 点,当A 4 O 3的面积取最大值时，宜线/的斜率等于土立，则r的值为.3答案：72解：5 八o s =|O A|O B|s in ZA OB=1 r2 s inZA OB ,当N A O 4 =9 0。时，AAOA的面积最大，此时圆心。到直线A8的距离d =V2r2 设直线A3方程为y =2(x2),则羽考、b i 1则由-N 得 k(2.e1)之 1,即 k 2-k+i 2e、7 2e-故答案为一,k之 二-.e 2e-所以g产，再将&2=g代入，求得=夜.
9、故答案为及.x-.1 r r1 6.设函数4)=土 二，g(x)=-7,则函数g*)=彳(x 0)的 最 大 值 为:若对任意西，x e eX7G(0,+O O),不 等 式 空 工 恒 成 立，则正数的取值范围是.k k+答案：一，k -e 2e-r r r *px _ Y px 1-解：g(x)=(x0),gf(x)=-_ _;-=e(，)由g (x)0,可得Ovx l,此时函数g(x)为增函数:由g (x)1,此时函数g(x)为减函数,g(x)的最大值为g =-：e若对任意占，x,w(0,+8),不 等 式 四 恒 成 立，k k+则等价为:!|M J7 恒成立，f(x)=-=x+-2,
10、lx-=2,当且仅当x=1,即x=l 时等号成立,X X X X即/(A-)的最小值为2，且g M的最大值为g =e1则 等 1的最大值为f M 2 2e四、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.(1 0 分)在AABC中，角A，B，C所对的边分别为。，方，c,满 足 辰=力卜皿A +百C QS A).(1)求角B的大小；(2)若a +c =2,求b 的取值范围.答案：(1)B =；G 1,2).解：(1)由 Z 5c =(s in A +/5c o s A),得6$也。=$血1 8$由4 +/55出8(：0 4，:.x/3 s in(A+B
11、)=s in 8 s in A十百s in 8 c o s A ,*/3 s in A c o s B +G c o s A s in B =s in B s in A +G s in B c o s A，所以 V 5 s in A c o s 8 =s in A s in B，：.t a n B =,V B e(0,7i),：.B =(2)a+c=2 B =三,3:.h2=a2+cr-2f l c c o s B =a2+C1-ac=(a +c)2-3 a c =4 3 a c N 4 3()=1 (当且仅 =c 时取等号)，又方=2,所 以 B D B C?=C D 所 以 BD1.BC，
12、又因为平面SCO_L平面ABC。，平面s c o n平面A3C)=CD,且SC上CD,S C u平面SC O,所以SC J上平面ABCQ，又由B O u平面A 8C Q,所以8D_LSC,因为5C r)BC=C且SC6Ce平面S B C,所以B D 1平面SBC,又因为8)u平面S 8 D,所以平面S3。_L平面SBC.(2)由(1)知SC_L平面A3CO,以。为坐标原点，CD所在直线为轴，在平面A8CD内垂直于CD的直线为)轴，CS所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(2,l,0),3(1,1,0),D(2,0,0),设SC=/?(0),所以S(0,0,可 得 丽 二 (1,
13、0,0),丽BD=(l,-l,0),由(1)得8O_L平面S 5 C,所以平面S8C的 个法向量 为 丽=(1,一1,0),(2)设点A为圆0：/+丁=亍 上任意点，且圆。在点A处的切线与E交于P，。两点.试问:衣 湎 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.答案：(1)-F-1 ：(2)是，一 -.4 3 7解：设公共点为户，则|尸耳|=|叫|=4一，|尸|+|/玛|=4|耳闾,即公共点P的轨迹为椭圆，且 勿=4,。二2,2 2又c=l,Z/=3,故曲线E:土+匕=1.4 3(2)方法一：当直线PQ斜率不存在时，PQ:x=代入E得y=占，故而=易知OPOQ；当直线PQ斜率存在，设P
14、Q:)，=+/，PQ与圆。相切,设平面ABS的法向量为=(x,y,z),f n BA=0(x=0则 _,可得 ，八，令z=l,可得=(0,1),n BS=0-x-y +hz=0将PQ方程代入E，得(4公+3)x2+Shnx+4疗-12=0,:.x+x2=8切？_ 4/n2-124F+3*A 1 4&2+3OP-OQ=xx2+y2=xrv2+(3 +m)(kx2+m)=(A:2+1卜氏+初2 a+电)+川=佯+1)(4 8内加 “/=7 -1 2俨 +1)软2+3 4k2+3+m 4 8+312.将 加=与 化+1)代入，得 而.丽=0,即OP_LO。，综上，恒有OP_LOQ,AP-A0=-|A
15、P.|AC|=-|OA|2=-.法二：当直线PQ斜率不存在时，PQ:x=居,代入E得y=聆21.(12分)已 知 圆6 +1)2+丁=/与 圆 鸟：(工1)2+),2=(4 _ 4(“”3)的公共点的轨迹为曲线.(1)求E的方程;宏 屈=-|研 国=-网=；当直线PQ斜率存在，设PQ:)，=+/，i P Q 与圆 0相切，r-=r，即=(k 4-1).V+1 7将PQ方程代入E,得(4公+3)f +8如认+4?2-1 2 =0,8km:.x,+/=一W-12I A P|=J|OP-，=J x；+(依 +m)2-y同理可得|A Q|，2 1 2x；+2kmX+in-=/2彳；+2kniXi+左2
16、 =故|A P|A0 =F/X X 2+痴(斗+超)+*将上 玉+弓=一18耳6？x/=44w2.+-132 ，及口 =2 亍1 2(/.2+11)代3入、，1 2可得|A P|-MQ|=宁.综 上 市.硕=-|丽|间=-|明2=_今.I n r2 2.(1 2分)已知函数/(幻=.x(1)若宜线)，=辰-1是曲线y =/(x)的切线，求实数k的值；(2)若对任意xc(0,T8),不等式/(x)V a c-I-m成立，求实数a的取值集合.X答案：(1)k=l；(2)1 .解：(1)因为f(x)=W(x 0),所以/(x)=L芋，设切点为P(%,)，此时切线方程为y -平=上詈(x-%),又直线
17、y =H T过(0,-1),所以-1-叫 =上 当 殳(0-%),即21%+%-1=0,XQ XQ 2)不等式/(为 0,所以/=l +8 a 0,所以G(x)=0厅两个不等根占，K,x,x,=-0.不妨设 0&,2a所以F(x)在(0,天)上递减，在(为,+8)上递增，所以尸(XL =尸(七)=应 一 芍-n (仁).由6(为)=2._/_=0,得 2 =与：，所以尸(小)=与 一 仙 节：，所 以 宁 一I n与 工 2 0,2 2X2令 H(x)=-I n+I n 2x-l n(l +x),则 Hx)=。(芋),2 2x 2 2 M x+1)所以在(0/)上递增，在(1,入)上递减，所以
18、H)”=0,又尸(w)之0,所以尸(乙)=0,所以占=1，所以4 =1，所以，实数a的取值集合为 1 .方法 2：令 F(x)=a r2-x-I nx-I n c r,则 F()=0 W F(x),所以x=：是函数F(x)的极值点，所以F(：)=0,即a =l,此时，F(x)=x2-x-n x,广(x)=2/-x-1 =(x-l)(2 x+),X X所以尸(x)在(0,1)上递减，在 上 递 增.所以F(m in=尸二，符合题意，令/2(x)=2 1 nx+xI,则力=0,且(x)在(0,+0 0)上单调递增,所以，实数的取值集合为 1 .所以方程2 1 n.%+.%l=0有 唯 解 与=1,所以k=l.