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1、数学仿真模拟卷（四）（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合 A=2,4,B=xN|x30,则 A U 3=（）A.1，2,3,4 B.0,1,2,3,4）C.2 D.xx向旋转5后 得 到 向 量 则 点。的坐标是（）A.（一也，1）B.（1，也）C.（f,1）D.（-1,小）D 由 P（小，1）,得 2cos/2sin,.将向量5绕点0 按逆时针方向旋转 后得到向量员,2cos知）,2sin知）,兀又 c o s 仁+#一S i 铲1 6s i n|6 十2,兀=c o s6=巫
2、2，.0(1,小).故选 D.4.f+l方 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件%0,xAf+1V x 0,x-2 x-=2,当且仅当x=J,即x=l 时取等号.A-1 人 A-1T若 4 1时，则V x 0,f+l因此“。1”是“V x 0,2a”的充分条件;X+1x 2 1 0,-a 9 则好|X2+1m i n,即日2,推不出X%2+J因此“。1”不是“v心 0,1 三。的必要条件.f+1故是“V x 0,x2a”的充分不必要条件.故选A.Y cin V5.函数/（x）=w=在 一 兀，句上的图象大致为（）Ar-7TITxDA 记 g(x)=x
3、s i n x,兀，兀,g (x)=1 c o s x N O,.,.g(x)在 一 兀，无 上单调递增，又g(0)=0,.当 XG O，兀 时，g(x)Ng(O),即 x-sinxK),又 丁+0 0,.,.当 回0,兀 时，沙,故排除B,C,D.故选A.6.玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙江省余杭市反山文化遗址.玉琮王通高8.8 cm,孔径4.9 cm、外径17.6 cm.琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图象.兽面的两侧各浅浮雕鸟纹.器形呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔.试估计该神人纹玉琮王的
4、体积约为(单位：c m 3)()A.6 250 B.3 050 C.2 850 D.2 350D 由题可知，该神人纹玉琮王可看做是一个底面边长为17.6 c m,高为8.8cm的正四棱柱中挖去一个底面直径为4.9 cm,高为8.8 cm 的圆柱，此时求得体积记为V”(4 92口 =(17.6)2x8.8兀 x(旬 X8.8=2 5 6 0 cm3,记该神人纹玉琮王的实际体积为V,则 VVi,、2 2l 以”7.6、(4.9、且由题意可知，f1x(；J X8.87rx(J X8.8 1 9 7 4 cm3,故 1974V2560,故选 D.7.定义在 R 上的偶函数/(x)=2k 1,记 a=/
5、(ln3),b=f(log25),c=/(2”，则()A.abc B.acbC.cab D.ch02x-1,x0./(x)在 0,+s)上单调递增，a=f(-In 3)=/(In 3),h=f(log25),c=f(2m)=f(2)=/(1),V lln 32,/.lln 3log25,J/(ln3)0)的焦点为F,点、P(xo,2小)(xo是抛物线。上一点.以P 为圆心的圆与线段PF相交于点。，与过焦点尸且垂直于对称轴的直线交于点A,B,AB=PQ,直线尸 产 与抛物线C 的另一交点为M,若|P F|=V5|P Q,则 解=()A.1 B.仍 C.2 D.小B 由题意得|P|=x o+m 直
6、线AB方程为：P 到直线A 3距离为xo22以P 为圆心的圆与线段PF相交于点Q,与过焦点F 且垂直于对称轴的直线交于点 A,B,AB=PQ,，阳引=与次一身，：PF=y3PQ,.*.xo+2=73-0 2：.(2/y=2p彗,又p 0,故p=2,，解得xo=当,二抛物线方程为Y2=4X,P(3,2小),F(h 0)直线PQ方程为y=2伫/-1）=小x木,与抛物线方程联立得y2=4xy=y/3x-yl3消去y 整理得，3x210 x+3=0,解得x=g或 3,二 叫，一 苧），|FM|=1+|=|,小.故选 B.3二、选择题（本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的选项中,有多
7、项符合题目要求.全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3分）9.已知双曲线3 一=sin2。（*E,ZWZ）,则不因。改变而变化的是（）A.焦距 B.离心率C.顶点坐标 D.渐近线方程BD 整理双曲线方程可得就两一云斜=1，。=闹 而，该双曲线焦距为：2洞 河,离心率为:A/6sin2V62ylsid 8 2顶点坐标为（2点而%,0）和（一2水泊仇 0）,渐近线方程为尸5不因。改变而变化的是离心率与渐近线方程.故选B D.10.下图是 2018年全国教育事业发展统计公报中 19492018年我国高中阶段在校生数条形图和毛入学率的折线图，根据下图可知在1949-2018年万 5000
8、A 4 5004 0003 5003 0002 5002 0001 5001 00050001949 1965 1978 1990 2000 2010 2012 2015 2016 2017 2018（年份）(*100)9080706050403020100高中阶段在校生数和毛入学率A.1 97 8年我国高中阶段的在校生数和毛入学率比建国初期大幅度提高B.从1 990年开始，我国高中阶段的在校生数和毛入学率在逐年增高C.20 1 0年我国高中阶段在校生数和毛入学率均达到了最高峰D.20 1 8年高中阶段在校生数比20 1 7年下降了约0.91%,而毛入学率提高了 0.5个百分点AD 观察条形图
9、和折线图可知，1 97 8年我国高中阶段的在校生数和毛入学率比建国初期大幅度提高，故A正确；20 1 6年和20 1 8年的高中阶段在校生数都低于前一年，故B错误；20 1 0年我国高中阶段在校生数达到了最高峰，但是毛入学率均低于后续儿年，故C错误；20 1 8年高中阶段在校生数为3 93 5万人，20 1 7年高中阶段在校生数为3 97 1万人，20 1 8年高中阶段在校生数比20 1 7年下降了约3吆97而1 3产93 5=0.91%,20 1 8年高中阶段毛入学率为8 8.8%,20 1 7年高中阶段毛入学率为8 8.3%,毛入学率提高了 0.5个百分点，故D正确.1 1.已知函数/(x
10、)对V x G R,满足/(幻=一/(6 幻，/(x+l)=/(x+l),若/=一/(20 20),a S 5,9且f(x)在 5,9上为单调函数，则下列结论正确的是()A./(3)=0B.。=8C./(x)是周期为4的周期函数D.的图象关于点(1，0)对称AB .ya)=/(6 x),.V(x)+/(6-x)=0,即y=/(x)的图象关于点(3,0)对称，令x=3 得，f(3)=/(3),故/(3)=0,A 正确；.y(x+l)=/(-x+l),/./(x+l)=/(lx),即y=/(九)的图象关于直线x=1 对称，/(x+l)=/(尤+1)=-/6-(-x+l)=-/(5+x),即 /(x
11、+4)=-/(九)，(x+8)=f(x+4)=/(x),./Q)是周期为8的周期函数，：.f(20 20)=/(25 2x8+4)=/(4)=-/(8),V/(a)=-/(20 20),V (a)=f(8),ae 5,9,且/(x)在 5,9 上为单调函数，V 可 ，故。=8,故 B正确；假设/(x)是周期为4 的周期函数，则/。+4)=/(x)，又/。+4)=/(x),：.f(x)=f(x),即/(x)=0,与尸在 5,9 上为单调函数”矛盾，故假设不成立，C错误；,：f(3)=0,.V(7)=-/(3)=0,假设y=/(x)的图象关于点(1，0)对称，则/(力+-II-:.PS 工 P K
12、,即 PC_LPK,肃 泰=用（万 或）=|附|阈 cosNCPB|附|阈cos/C/?4=0,：.PCLAB,又易知4?与 PK为相交直线，A 8与PK均在平面PQH上,，PCJ_平面P Q R,即PC_L平面附8,与正四面体P-A8C相矛盾，所以假设不成立，故 C 错误；对于选项D,易知点。到面PB C,面出C,面以8 的距离相等，记为d,记 PC与平面出8 所处角的平面角为a,a 为常数，则sin a 也为常数,则点S 至P Q R的距离为PSsin a,又 SAPQR=4 哂|讼 卜 导 乎 同|刚,|哂 陶 网 sin a,又 SZ X&R=R躯 卜 阈 sin畀 季 同 园,SAP
13、SQ=胴H卧 导 由 雨.雇SPQR 2VS-PQR VO-PSR+VO-PSQ-V VO-PQR=翔网同+同同1+同,网)占=呼 为 常 数，故 D 正确.故选A B D.同同网三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）1 3.已知复数黑是纯虚数（i 是虚数单位），则实数。的值为12金.。-i=，-4 皿，m -i(-i)(2-i)2a 1 ,2a,复数式p e 纯 虚 数 且 不=(2+i)(2i)=5+5-1.（用数字作答）8-r,y r 16Tr112 通项公式为7；+尸旧=2 9&3令，=2,解得r=2,，九 2项的系数为22奠=112.1 5.已知函数/(x)=Asin(co
14、x+9)(A0,0,0夕0,09兀)是偶函数,兀 kill k e z.又 0 伊 兀，兀 9=5，.*./a)=A sin(+1)=A cos(s),:将 y=/。)的图象沿x 轴向左平移,个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为=8()，g(x)=f 修+翡 Acos 修+制,y=g(x)的图象相邻对称中心之间的距离为2兀，.,.=2 n,解得 co=1,2 G J2；y=g(x)的图象在其某对称轴处对应的函数值为-2,AQ,=2,.g(x)=2cosG+d)当 回 0,句时,第,cos修+翡 T明故 g(x)=2cos仔+田 e -b 小,.
15、g(x)在 0，兀 上的最大值为小.16.定义函数/。)=口印,其中 x 表示不超过*的最大整数，例如：1.3 =1,1.5 =2,2=2.当 x 0，)(WN*)时，/(x)的值域为 A”.记集合 4 中2020 1元素的个数为而，则 x-4 的值为自3 1第2019.x 表示不超过X的最大整数,.,.当 XWO，)(GN*)时,0,xW0.1)=匕 2),n1,九 一1，)0,x0,1)x,1,2)AxM=7,14-sin C),且加 求 C；(2)若加c+38=3 a,求 sin A.解 因为m/z,所以(ca)(sin A+sin C)=(/?tz)sin B,由正弦定理得，(ca)(
16、a+c)=Sa)/?,所以 a2+b2c2=ab,由余弦定理得，cos C=-奇一=2ab=2因为 CW(0,7 T),故 C=y(2)由(1)知 8=专一A,因为册c+3/?=3a,由正弦定理得，,sin C+3sin B=3sin A,所以c o s,%孚,故 sin A=sin(A.(A 兀),(.n.7 i=sinl A Icos2+cosl A gIsm26+24.1 8.（本小题满分12分）在历=2 fo rH,及=加+历,加,历，儿成等比数列，这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解.已知数列 中 0 =1,m+i=3 z,公差不等于0 的等差数列 为 满足
17、,求数列拗的前项和S”.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解 因为 ai=l,an+=3an,所以。是以1为首项，3 为公比的等比数列，所以m=3一|.选时，设数列 儿 公差为小因为“2=3,所以历+在=3,因为4=2 5+1,所以”=1 时，b2=2b+l,2 7 5解得 bi=1,bi=y 所以 d=5,r r,5 一 3所以bn=Q所以bnar t5n3=3%一，“十G十十Z 一315n33，1?7 12所 以 尸?+于+?+.5九 一 8 5 一 3.+3+3 d()，-(ii),得：|s=|+5 件+*+/)5 一 33计|_2 5 15 5-3=3+6-2-3,+,-
18、3,+|3 _ 10+9=/2-3/1 u 9 10/1+9所以S=W 4-3”选时，设数列 小 公差为d,因为。2=3,所以历+历=3,即2历+d=3,因为。1,bl,4 成等比数列，所 以 员=从历，即(6+。)2=力31+31),化简得d1=bd,因为存0,所以从=d,从而d=bi=l,所以为=，所 以 铝 券，为 吟+料+*+抖 奈 十 十 券，所 以 上 号+奈+奈+点+令(甘)，(i)(ii),得:|s”=l+)+*+*+*-会2 23 lli 9 2+3所以 s,=a 一了选时，设数列 儿 公差为止因为 b2=lbn+,所以=1 时，bi=2b+l,所以 d=b+.又因为历,又
19、儿成等比数列，所以叫=力匕4,即(h+)2 =1(6+3),化简得招=历，因为存0,所以勿=d,从而无解，所以等差数列 d 不存在，故不合题意.1 9.(本小题满分12分)如图，在等腰直角三角形AOP中，NA=90。，A D=3,B,C分别是AP,DP上的点，且8CAD,E,尸分别是AB,PC的中点.现将P 8C沿3 c折起，得到四棱锥P-ABCD,连接EF(1)证明：EF平面出。；(2)是否存在点B,当将 灰：沿B C折起到P A L A B时，二面角P-CD-E的余弦值等于华？若存在，求出A B的长；若不存在，请说明理由.解(1)证明：作CMAB交 于 点M,连接P M,取PM中点N,连接
20、AN,F N,又AO BC,所以四边形ABCM为平行四边形，由中位线定理得FN/C M,且F N=*M,因为是A 8的中点，所以 AEC M,且故 ENA E,且 KV=AE,所以四边形AEKV是平行四边形，所以EFAN,因为ANu平面出。，平面以。，所以EF平面胆D.(2)存在.理由如下：因为 3C_L4B,BCLPB,.ABfPB=B,ABu 平 面%8,P8u 平面以3,所以BC，平面PAB,又 BC/AD,所以AO_L平面PAB,又 M e 平面PAB,所以PALAD,又 A B U。，PALAB,所以AB,AD,AP两两垂直，以A 为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z
21、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 A B=a,则 PB=BC=3-a,由 PBAB,得 0a,z),则DCn=ax-ay=ODP-n=-3 y+n j9-6=0取 y=l，则*b忌;）又平面COE的一个法向量m=（0,0,1）,若存在点B,当将2小?沿B C折起到PA L A B时，二面角P-CD-E的余弦值 等 于华，则 有 华=|co s（，机1=般3onVB y/96aJ 3-2a解得a=l,即AB的长为1.故存在点B,此时A B的长为1.2 0.（本小题满分12分）研究表明，肥胖人群有很大的心血管安全隐患.目前国际上常用身体质量指数（缩写为BMI）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是体
22、重（单位：kg）BM 1=二 产:苗 人 区.中国成人的B M I数值标准为：BMK18.5为偏瘦；身图2（单位：nr）18.5BMI24为偏胖.为了解某社区成年人的身体肥胖情况，研究人员从该社区成年人中，采用分层随机抽样方法抽取了老年人、中年人、青年人三类人中的45名男性、45名女性为样本，测量了他们的身高和体重数据，计算得到他们的BMI值后数据分布如下表所示:BMI标准老年人中年人青年人男女男女男女BMK18.533124518.5BMI245410542(1)从样本中的老年人、中年人、青年人中各任取一人，求 至 少 有1人偏胖的概率；(2)从该社区所有的成年人中，随机选取3人，记其中偏胖
23、的人数为X,根据样本数据，以频率作为概率，求X的分布列和数学期望；(3)经过调查研究，导致人体肥胖的原因主要取决于遗传因素、饮食习惯、体育锻炼或其他因素四类情况中的一种或多种情况，调查该样本中偏胖的成年人导致偏胖的原因，整理数据得到如下表：请根据以上数据说明我们学生应如何减少肥胖，防止心血管安全隐患的发生，请至少说明2条措施.分类遗传因素饮食习惯欠佳缺乏体育锻炼其他因素人次81 21 64 解(1)设“在老年人中任取1人，这个人恰好为偏胖的老年人”为事件A,“在中年人中任取1人，这个人恰好是偏胖的中年人”为事件8,“在青年人中任取1人，这个人恰好是偏胖的青年人”为事件C,则P(A)=W，P焉=
24、看 尸(0=击4，事件A,B,。互相独立，则至少有一人偏胖的概率为：-2 19 81 P(A B C)=1 P(A)P(B)P(C)=1 -p b 0)的左右焦点，A为椭圆的右顶点，点P为椭圆C上的动点(点P与。的左右顶点不重合)，当 P B B 为等边三角形时，SAPFIF 2=4(1)求椭圆。的方程；(2)如图，为A P 的中点，直线M。交直线=-4 于点。，过点。作OE/AP交直线x=-4于点E,证明：NOEFi=/ODFi.解(1)设椭圆C 的半焦距为c,因为 P F F 2 是等边三角形，所以此时尸在上顶点或下顶点处，所以a=2 c,又5A=小，P FIF2 V所 以 历=小，又由
25、a2=b2+c29解得。2=1,=4,b2=3.故椭圆的方程为3+f=l.(2)证明：由题意知A(2,0),设 A P 的中点 M(x o,(),P(x i,y i),直线 A P 的方程为 y=Z(x 2),后0,=%(*2)将直线AP的方程与椭圆 方 程 联 立 得+q=,消去 y 整理得，(4 +3)-1 6 +1 6 -1 2=0,I 6 P所以如+2=赤 三,所 以 次=爵？*=K 无。-2)=於 弱，即M的坐标为Q磊,温,-6k,.4 +3 3从而 koM=一 双2-=4k必2+33所以直线O M的方程为产一和，令 =4,得 )(4,%),直线OE的方程为=区，令x=-4,得 E(
26、4,4k).4 4 法一：由回(一1，0),得 kEFi=-j =w，所以 korkEFi=1 ,即。M_ LE F 1,记垂足为“，因为=-7=p koE=kAP=k,DR 3 k 1所以O E L O F i,记垂足为G,在直角三角形EH。和直角三角形。G。中,NODFi和/O E Q都与NEQD互余，所以 NODR=N O M i.法二：因为。(一4,凤一4,4k),F i(-1,0),所以动=(4,的，烯i=(3,4 Z),虎=(4,一 ,诟=(3,-1 z_ 、12+163 3+4d所以c o saEO,EFC=而西用次=/西币猊d 1 2+/3+4公cos(DO,DF)=E-内-卡
27、-/-；=/,?e5,所以 cos(EO,EFl)=cos(DO,DFi),(EO,EF=(DO,DF),所以 NOOFi=NOER.2 2.(本小题满分12分)已知函数/(x)=21nxf,g(x)=x+；设函数/(x)与g(x)有相同的极值点；求实数。的值；(ii)若对V xi,%2 4，31，不 等 屋 牛 沁 口 恒 成 立，求实数人的取值范围.(2)a=0时，设函数(%)=呼(力一sin(g(x)1.试判断力。)在(一兀，0)上零点的个数.2(1X2)解1 (l)(i)/(x)=、x，无 0，由广。)=0得x=l,九e(0,1)时，/(x)o,/(x)单调递增；x e(l,+00)时
28、，f(x)0,/(X)单调递减，故x=1为/(x)唯一的极大值点,由题意，X=1也是g(x)的极值点，g，(x)=l-由 g(l)=l 4 =0 得 4=1，1 f-1此时，g u)=i一点=一尤w(0,1)时，g，(x)0,g(x)单调递增，所以x=l为g(x)的极小值点，符合题意，所以a=.(i i)由知，a=,由于/(|=一2一2，/(1)=一1，/(3)=2 1 n3-9,显 然/勺 勺 ，故x W 3时，结合中所得/(x)单调性可知，f(X)m i n=2 1 n 3 9,f(X)m ax =-1，又 g g)=+e，g(D=2,g(3)=3+g=，故 g gQ)0,即4 1时,问题
29、等价于7 3)g(X2)女一1 ,即 以(为)一g(X2)+1 恒成立，即 Q/(Xl)g(X2)m ax+1 ,因为7 3)8(X2)+l2,故kl符合题意.当上 1 0,即M l时，问题等价于/Q i)g(X2)：一1 ,即 k f()g(X2)+l 怛成立，即任伏川)-g3)m i n+1 ,因为/()g(X 2)+n (x)m i ng(x)m ax+l=2 1 n3 9 +l=2 1 n 3 学 34所以依21 n 3 于综上：后21 n 3一当或Q4.(2)法一：。=0 口 寸，g(x)=x,/z(x)=evs i nx 1,x(一兀，0),c o s x,当兀，一方)时，%(%)
30、单调递增,力(一 兀)=e -1 0,故(一 兀，甘)存在唯一零点.当了(甘，。寸，己 m(x)=h(x)=evc o s x,加(0)=0,mz(x)=ex+s i n x 在7 1又加 je(0)=l0,故存在唯一 x o(-xo即 e +s i n尤o=O,当x (一5 x o)时当 X(M),0)时，7 C又加V)=e 2m(xo)=e -c o s x(1一：,o j上单调递增，3 1 12、e 2-l e3J 22-0,一;，0),使加(x o)=O,，加(x)0,机(x)单调递增,0,)=(s i n x o+c o s x o)=一啦s i n(M)+g)v0,故存在唯一 XI
31、G(甘，0),使(x i)=o,且 x w(X1)时，2(X)0,/(x)单调递增,尤以XI,0)时，)0,故 闻 甘，0)时,M”)没有零点.综上，%(x)在(一兀，0)上有1个零点.法二：当。=0 时，g(x)=x9/i(x)=evs i n%1,%E(TU,0),.s i n x+1令 u(x)=二1,九W(一兀,0),I c o s x-s i nx 1则 uf(x)=-二-啦 c o s(x+J-1T T令%x)=0,解得 x=-2，当兀，_今)时，(元)单 调 递 减,当/(一%0)时，/(%)0,“(%)单调递增.又 (一7t)=e Xl 0,(一野=一1 0,“(0)=0,所以“(X)在(一兀，0)只有一个零点,因此(x)在(一兀，0)只有一个零点.