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1、数学仿真模拟卷(八)(时间：1 20 分钟 满分：1 50 分)一、选择题(本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1 .若集合 A=x l x 2,B=x|l x 3,则 Af W=()A.(-1,2)B.1,2)C.1,3 D.(-1,3B 由题意，集合A=x l r 2,8=x|l-3,根据集合的交集的概念及运算,可得 1 8=却玄.=/)、=I +i，所以|z|=-/.故选 C.1+1 i)3.20 1 9年4 月，习近平总书记专程前往重庆石柱考察了“精准脱贫”工作，为了进一步解决“两不愁，三保障”的突出问题，当地安排包括甲、乙在内
2、的4 名专家对石柱县的A、B、C、D,4 乡镇进行调研，要求每个乡镇安排一名专家，则甲安排在A 乡镇，乙不在3 乡镇的概率为()A-8 B-1 2 C-4 D-6D 由已知得，包括甲、乙两名专家在内的四名专家对四个乡镇进行调研，要求每个乡镇安排一名专家，共有24种情况，如果甲安排在A 乡镇，乙不在8 乡镇，共有4 种情况，4 1所以甲安排在A 乡镇，乙不在B 乡镇的概率为。=二=不 故选D.4.已知向量 a=(l，2),b=(2,A2),且 a_ L),则 2 等于()A.4 B.3 C.2 D.1D 因为。=(1,2),6=(2,2-2),且所以 a仍=2+2(22)=0,则4 1.故选D.
3、5._1已知a=l o g/?=l o gf|,c=3 3,则a,。，c的大小关系是（)A.bac B.acb C.cba D.bcl o g_ i=1,Z?=l o g12l o gil=0,c=3 1 3=1,则 0 cl,所 以*c8.已知函数/(x)=+尤应0lx2+2 x+1,由|明=|B5i|=2 知 XB=2 用=一小,X4=2,|4F|=|A4i|=|.,函数 g(x)=/(l x)一日+&g 恰x 0有三个不同的零点，则Z 的取值范围是（）A.（-2-隹 0 u j|B.（-2+72,0 u 1|JC.（一2一 啦,0 U*D.（-2+2,0 U|D .工亍。一x）一丘十女一
4、3恰有3 个不同零点，方程1 x）=Z（x l)+g恰有3 个不同实根，令 1一=3则方程/)=一灯十3恰有三个不同实根,即函数y=/(x)与y=一丘+g的图象恰有3 个不同交点，画出函数图象如图：当一人=0 即k=0时有三个交点，当y=一依+与/(九)=f+2x+l(x0)相切1 1 Y 1时可求得&=2+也，当y=依+与/(x)=R p 后0 相切时可求得故由图可得一2+啦 后0 或&=g时函数y=/(%)与的图象恰有3 个不同交点，即函数g(x)=/(lx)丘+攵一g恰有3 个不同零点，故选D.二、选择题(本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求
5、.全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3分)9.居民消费价格指数(C onsumer Price Index,简称CPI),是度量居民生活消费品和服务价格水平随着时间变动的相对数，综合反映居民购买的生活消费品和服务价格水平的变动情况.如图为国家统计局于2020年 4 月公布的2019年 3月至2020年 3 月C PI数据同比和环比涨跌幅折线图:76543210-1-2,2019年4月5月6月7月8J 9J 10月11月12月2020年2月3月3月1月(注：同比=/犒1,同比涨跌幅=本月C黑源T%。%,环本月C PI比一上月C PI环比涨跌幅=加皆高产XI。)，则下列说法正确的是
6、A.2019年 12月与2018年 12月C PI相等B.2020年 3 月比2019年 3 月C PI上涨4.3%C.2019年 7 月至2019年 11月 C PI持续增长D.2020年 1月至2020年3 月C PI持续下降BC 由图可知，2019年 12月比2018年 12月C PI上涨4.5%,故A 不正确；2020年3 月比2019年 3 月C PI上涨4.3%,故 B 正确；2019年 7 月至2019年 11月的环比均为正数，所以C PI持续增长，故 C正确；2020年 1 月至2020年 3 月的环比有正有负，所以C PI有升有降，故 D 不正确.故选B C.1 0.下列说法
7、中正确的有（）A.正角的正弦值是正的，负角的正弦值是负的，零角的正弦值是零B.若三角形的两内角a,4 满足sinavos尸 0,则此三角形必为钝角三角形C.对任意的角 a,都有|sin a+cos a|=|sin a|+|cos a|D.对 任 意 角 丹，攵 e z）,都 有 tan a+_ 7-=|tan a|+工上BD 对于A,正角和负角的正弦值都可正、可负，故 A 错误；对于 B,Vsin a-cos0 cos/kO,即尸6 俘 兀）,三角形必为钝角三角形，故 B 正确；对于C,当sin a,cos a 异号时，等式不成立，故C错误；对于 D,tan a,的符号相同，,tana+=|t
8、an a|+,故ldll C Z ldll U.ldll（A,D 正确.因此正确的有B,D.故选B D.1 1.设正项等差数列。“满足（0+0 0）2=20209+20,则（）A.a2ag的最大值为10B.4 1 2 +（29的最大值为2Wc.5+*的最大值为!ai ag JD.晶+/的最小值为2 0 0ABD 因为正项等差数列%满足(a i+a i o)2 =2 a 2 a 9+2 0,所以(0 2+0 9)2=2a2a9+2 0,即 ai+a=20.a 2 a 9 笥 的=苧=1 0，当且仅当。2=的=，而时成立，故A选项正确.2由于”)二竺答=1 0,所以竺爱 自 何，z+aW 2,当且
9、仅当“2=。9=/正时成立，故B选项正确.,1 晶+届 2 0 2 0 2 0 1 及+益=赤=须 新 产 子=不=亍 当 且 仅 当。2=诙=时 成”，所以3+W 的最小值为与故C选项错误.C l 2 C l 9 J结合的结论，有。3+/=(。3+而)2 2 a%a 3=4 0 0 2 次於4 0 0 2 x l()2=2 0 0,当且仅当 2 =4 9=4 1 时成立，故 D选项正确.故选A B D.1 2.若存在?，使得/。心机对任意xG O 恒成立，则函数/(x)在。上有下界，其中2 为函数/的一个下界；若存在M，使得/(x)WM对任意xeo 恒成立，则函数/(x)在。上有上界，其中M
10、 为函数/(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.下列说法正确的是()A.1 不是函数/(x)=x+%x 0)的一个下界B.函数/(x)=x l n x 有下界，无上界C.函数/(*)=亳有上界，无下界D.函数/()=岑 有 界BD 对于A,当x0时，尤+：2 2(当且仅当x=时取等号)，。)1 恒成立，是7 Q)的一个下界，A错误；对于 B,f(x)=lnx+l(x0),/.x e(O,晨1)时，1(x)0,./(x)在(0,e7)上单调递减，在(e 2+s)上单调递增，(e )=3./(x)有下界，又 x+oo时，/(x)+o o,(x)无上界，综上所述：/(x)
11、=xlnx有下界，无上界，B正确；对于C,x20,e0,.(),.寸有下界，C错误；对于D,smxe1,1，4齐7斗不p1 1 cin V又 不F 1,百yw,一 新 w,./a)既有上界又有下界，即/(X)有界，D正确.故选B D.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知函数/(x)=；o?+g(a2*2 x+l(。和)，若/(x)在 x=3 处取得极小值，则实数”的值为.2|由题意知，fx)=ax2+(a-2)x-2,则/(3)=9。+3(。-2)2=0,解得 a=1.2 2 2经检验，当时，函数/(工尸产322 x+l在x=3处取得极小值.14.为激发学生团结协作，敢于
12、拼搏，不言放弃的精神，某校高三5个班进行班级间的拔河比赛.每两班之间只比赛1场，目前(一)班已赛了 4场，(二)班已赛了 3场，(三)班已赛了 2场，(四)班已赛了 1场.则目前(五)班已经参加比赛的场次为.2 画图所示，可知目前(五)班已经赛了 2场.15.椭圆与双曲线有相同的焦点F K-c,0),巳(c,0),椭圆的一个短轴端点为8,直线与双曲线的一条渐近线平行，若椭圆与双曲线的离心率分别为e,ez，则3e?+曷 的 最 小 值 为.2 s 由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，设椭圆的长轴为2 a,短轴为2b,双曲线的实轴为2优，虚轴为2 ，.椭圆的一个短轴端点为8,直 线 与b h b b
13、2 b1双曲线的一条渐近线平行，.女 尸 出=5,即=?，平方可得崇=，由此得到C2优2 2一/3_.(cX_(a _c _c_._ -族-=-3 3-,即涓=*j 由 约=7。2=,eie2=l e,_ _ _ _ L、八e2都是正数，.3e，+e任2小碎急=2小，当且仅当3e?=及，即e2=小e”er=J小时，等号成立，.3舒+a的最小值为2小，故答案为2小.16.如图，在四棱锥C-A8DE中，四边形ABDE为矩形，E A=CA=CB=2,ACCB,F,G分别为AB,A E的中点，平面A 8 D E,平面ABC,则四面体CFDG的体积为,若四面体CFDG的各个顶点均在球。的表面上，则球。的
14、体 积 为.(本 题 第 一 空2分，第二空3分)1 驾 五 兀 因 为F为A B的中点，CA=C B,所 以CF_LAB.因为平面ABDEL-ABC,所以 C/J_ 平面 A 8O E,则 CF1FG.易知在矩形 ABOE 中，FG2=AF2+A G2=3,FD2=FB2+B D2=6,D G2=GE2+E D2=9,所以 DG 2=G产+F。2,则 GF1FD,所以四面体 CFDG 的体积 V=|CF-5AGFD=|CFGF-FD=|X72XX3XV6=因为点F,C,D,G 均在球。上，所以以尸为顶点，FC,F D,尸 G 为相邻棱的长方体的所有顶点均在球。上,则球0 的直径2R=yFC?
15、+FD2+FG?=5,即火=手，则球。的体积 V=*tR 3=*v p)3=*g L：.J 3 2。四、解答题(本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1 7.(本小题满分10分)在ABC 中，a,b,c 分别为内角A,B,C所对的边，且满足/acos C=(2Z?一4 c)cos A.(1)求A 的大小；(2)现给出三个条件：。=2；8=45。；c=Y尻试从中选出两个可以确定ABC的条件，写出你的选择并以此为依据求ABC 的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解 由正弦定理可得小sin Acos C=2sin Bcos A一 小sin C eos
16、 A,即小sin(A+C)=2sin 3cos A,小 sin B=2sin Bcos A,x/37 1Vsin B#：0,cos A=29 又 A(0，兀)，*.A=.(2)方案一：选择由正弦定 理 嘉=磊，得匕=喘 中=2也.A+B+C 71,72+6.sin C=sin(A+B)=sin Acos 5+cos Asin B=2L 4 丫，S=16z/?sin C_2x2x2,21.方案二：选择由余弦定理+才一2 6 e j s A=4 2,又。=2,c=y3 b,由得A=季，所以勿+3 3/=4,解得b=2,c=2 小，.,.S=g b c s i n A=g x 2 x 2 小 乂；=
17、小.说明：若选择，由。=小万得，s i n C=/s i n 8=乎 1 不成立，这样的三角形不存在.1 8.(本 小 题 满 分 1 2 分)已知数列 斯 的 首 项 a i =l,且an=an+-an-i(WN*,n2),其前项和当中，S3,S 4,S 2 成等差数列.(1)求数列&”的通项公式；设/?=21o giN+1 ,数列 仇 的 前n项 和 为T ,求满足(1一省)11 一丹.(1 一 卦 罪 的 最 大 正 整 数 的值.解(1)因为居=a+i s-i(eN*,n 2),所以 如 成等比数列，设公比为名若 7=1,则 S 3=3,S 4=4,S 2=2,显然5，S 4,S 2不
18、构成等差数歹i J,所以q Wl,故由S 3,S 4,8成等差数列得0(L q 4)0(1-力 (I/)2,1 -1 十 1 ，q Tq L q所以 2q 4=/+q 2=2q 2一1 =0=(2q+l)(q 1)=0.因为分1，所以4=一/所以3(厂忆 所 以22-1 32-1 42 1 n2 122-32,42Ix3x2x4x3x5x.x(i)x(n+1)+1=22X32X42X.X=丁所以空M舞.所 以 /0）的离心率为半，且过点心，孝（1）求椭圆。的方程；设点P（4,2）,点M在x 轴上，过点M的直线交椭圆C 交于A,B 两点.若直线A B 的斜率为一/且A 8=微,求点M的坐标；设直
19、线PA,PB,P M的斜率分别为k,k2,k3,是否存在定点M,使得防+依=2饱恒成立？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由.解 ，.椭圆c：提+*=1（0）的离心率为当且过点（啦，乎）.r c y3a 2?1U+方=1,后=I,2=4,2）,设直线A B的方程为x=-2y+m.x=-2 y+m x2+4y2=4 =S y24/M y+m24=0 .A=16 评32（/w24）0=/2+4=0.乂+4广=4-2mt 尸 一4+”=而，”=亦.由心+依=2依 可 得 黑+矢=含、2,2”1丫2+0 4-2=）+”）-4，+16 46 2y l y 2+（mL 4 M（y i +2）+/2
20、8 f+16 4f产 4 2,赤+（一4-2机）赤一4/+16即一-二-汴加一4W）.+尸一8 f+164化简得加（5L4 产）+於（22f）=0,.当f=l 时，上式恒成立，存在定点M。，0）,使得肌+依=2治恒成立.2 1.（本小题满分12分）某地有种特产水果很受当地老百姓欢迎，但该种水果只能在9 月份销售，且该种水果只能当天食用口感最好，隔天食用口感较差.某超市每年9 月份都销售该特产水果，每天计划进货量相同，进货成本每公斤8元，销售价每公斤12元；当天未卖出的水果则转卖给水果罐头厂，但每公斤只能卖到5 元.根据往年销售经验，每天需求量与当地气温范围有一定关系.如果气温不低于30度,需求
21、量为5 000公斤；如果气温位于 25,30）,需求量为3 500公斤；如果气温低于25度，需求量为2 000公斤；为了制定今年9 月份订购计划，统计了前三年9 月份的气温范围数据，得下面的频数分布表：以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率.（1）求今年9 月份这种水果一天需求量X（单位：公斤）的分布列和数学期望;气温范围15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数414362115（2）设 9 月份一天销售特产水果的利润为丫（单位：元），当9 月份这种水果一天的进货量（单位：公斤）为多少时，Y的数学期望达到最大值，最大值为多少？解1 （1）今年9 月份这种
22、水果一天的需求量X 的可能取值为2 000、3 500、5 000公斤，4+14 36P（X=2 000）=-=0.2,P（X=3 500）=常=0.4,P（X=5 000）=2 4 1 5=0 4于是X 的分布列为：X2 0003 5005 000P0.20.40.4X 的数学期望为：E(X)=2 000 x0.2+3 500 x0.4+5 000 x0.4=3 800.(2)由题意知，这种水果一天的需求量至多为5 0 0 0 公斤，至少为2 0 0 0 公斤,因此只需要考虑2 0 0 0 9 S 5 0 0 0,当 3 5 0 0 n 5 0 0 0 时，若气温不低于3 0 度，则丫=4
23、；若气温位于 2 5,3 0),则 y=3 5 0 0 x 4(-3 5 0 0)x 3=2 4 5 0 0 3 ；若气温彳氐于 2 5 度，贝 I 丫=2 0 0 0 x 4 一(-2 0 0 0)x 3 =1 4 0 0 0-3 ；2?z 1、1止 匕 时 (1 )=x 4/7+x(2 4 5 0 0 3 )+-(1 4 0 0 0 3 )=1 2 6 0 0 1 1 9 0 0.当 2 0 0 0 S 3 5 0 0 时，若气温不低于2 5 度，则Y=4 n；若气温低于 2 5 度，则 丫=2 0 0 0 x 4(一 2 0 0 0)x 3 =1 4 0 0 0-3 ；4 1 1 3止
24、匕 时 E(y)=x 4+g(1 4 0 0 0 3/1)=2 8 0 0+5 0 在 0,上恒成立，(T l I当 x=0 时，a W R；当 0,今T ,则生一I7d Fl X7，的取值范围为 一1，+).兀(2)设 g(x)=/(x)b x=e r s i n 无 一 历 c,九 G 0,2，贝 I g (x)=ea(s i n x+c o s x)b.设/2(x)=e x(a s i n x+c o s x)b,贝 U /?,(x)=ea v(a2l)s i n x+2 a c o s x 0,7 T,.力(%)单调递增，即g，(x)在 0,会上单调递增，兀.g x)1 一。,，20
25、人.ae b_当后1时，g(x)K),g(x)在 o,方上单调递增，.g(xAg(O)=O,不符合题意；兀 L 15a 7 T当此ae一时，g，(也0,g(x)在 0,上单调递减，g(x)g(O)=O,符合题意;当16 aeM寸，由于gG)为一个单调递增的函数，而 g)=1 一人Q,由零点存在性定理，必存在一个零点须，使得/(回)=0,从而g(x)在x e O，配 上单调递减，在(xo，上单调递增，因此只需g&0,.岁多O 7 t 0 兀 n应 一e l从而一屋3 加2,一 兀 7 1 一综上，b的 取 值 范 围 为+力，L兀 Jc 2 4 C因 止 匕。2。之 一02e2a.一 兀 卫 7 t设 G(a)=忑1-e2a，则 G(a)=e2，e2,、4令 G(a)=0,则 l,.G(a)在1,3上单调递减，在g,+oo)上单调递增，从而 G(a)NG(=一羊，2e2。的最小值为一当.兀