《高三数学一轮复习讲义 空间几何体的三视图与表面积、体积.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学一轮复习讲义 空间几何体的三视图与表面积、体积.docx（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、课题：空间几何体的三视图的表面积和体积 知识点一、空间几何体的三视图的定义1.正(主)视图:光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图；2.侧(左)视图:光线从几何体的左面向右面正投影,得到的投影图；3.俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图.注意：1.正(主)视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度 ；2.俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度；3.侧(左)视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度.4.因此正(主)视图与俯视图的长度相等,且相互对正,即“长对正”;正(主)视图与侧(左)视图的高度相等,且相互平齐,
2、即“高平齐”;俯视图与侧(左)视图的宽度相等,即“宽相等”.正侧俯 如图所示:知识点二、空间几何体的表面积与体积直棱柱、棱锥、棱台的表面积1.直棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算,可以先计算其侧面积,然后加上它们的底面积.(1)从侧面展开图可知:直棱柱侧面积=,底面周长为,侧棱为.(2)棱锥侧面积=,底面周长为,斜高为.(3)棱台侧面积=,上、下底面的周长分别为、,斜高为 .圆柱、圆锥、圆台、球的表面积1.圆柱:侧面展开图是矩形,长是圆柱底面圆的周长,宽是圆柱的高(母线), =,=,其中为圆柱底面半径,为母线长. 2.圆锥:侧面展开图为一个扇形,扇形的半径是圆锥的母线,弧长等于圆锥底面周长,侧面展
3、开图的扇形圆心角为,S圆锥侧=,= ,其中为圆锥底面半径,为母线长.3.圆台:侧面展开图是扇环,内弧长等于圆台上底周长,外弧长等于圆台下底周长,侧面展开图的扇环圆心角为,= ,.4.球：柱体、锥体、台体、球的体积1.=,其中和分别是柱体的底面积和高.特别地,=,其中和分别是圆柱的底面半径和高.2.=,其中和分别是锥体的底面积和高.特别地,=，其中和分别是圆锥的底面半径和高. 3.=（S，分别上、下底面积，为高）特别地, ,其中、和分别是圆台的上底面半径、下底面半径和高.4.【典型例题】【例1】某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（ ）A圆柱 B圆锥 C棱锥 D棱柱【答
4、案】B试题分析：当棱锥和棱柱分别为正四棱锥和正四棱柱时，会出现正方形；圆柱的横截面为长方形，当其底面直径和高相等时，就是正方形；对于圆锥，三视图可能出现的有：圆、三角形所以选B【例2】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D【答案】B试题分析：由三视图知：几何体是三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为，底面是直角边长为的等腰直角三角形，几何体的体积故选：B【例3】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A B C D【答案】D试题分析：由三视图可知该几何体为半个圆柱，底面圆的半径为1，高为2，所以表面积为【例4】已知几何体的三视图及其尺寸如图（单位:
5、cm），则该几何体的表面积和体积分別为（ ）A. B.C. D.以上都不正确【答案】A试题分析：根据三视图可知该几何体是圆锥，其底面半径为，母线长为，高为，所以该几何体的表面积为，体积为,故选A.【例5】某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意得，根据给定的三视图可知，挤黑头是一个半径为的半球，所以其几何体的表面积为，故选A.【例6】圆锥的高扩大到原来的 倍，底面半径缩短到原来的，则圆锥的体积（ ）A.缩小到原来的一半 B.扩大到原来的倍 C.不变 D.缩小到原来的【答案】A试题分析：由题意得，设原圆锥的高为，底面半径为，则圆锥的体积
6、为，将圆锥的高扩大到原来的倍，底面半径缩短到原来的，则体积为，所以，故选A【举一反三】1如图是一个底面为正三角形的三棱柱的正视图，那么这个三棱柱的体积为（ ）A B C D【答案】D试题分析：由三视图可知底面正三角形边长为2，棱柱的高为1，所以体积为3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D【答案】D试题分析：由三视图可知，该几何体为如下图所示的多面体，它是由三棱柱截去三棱锥后所剩的几何体，所以其体积，故选D.考点：三视图.4某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长棱的长度为（ ）A4 B C D【答案】D试题分析：由三视图可知，该几何体为如下图所示的四棱锥，由图可知其
7、中最长棱为，因为，所以，故选D.考点：三视图.5底面圆半径和高都为2的圆柱的侧面面积为（ ）A B C D【答案】C 试题分析:因,故应选C.6已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B.35 C. D.【答案】C.试题分析：由题意得，该几何体为三棱柱被切去了两个三棱锥构成的几何体，如下图所示，故所求几何体的体积，故选C.【课堂巩固】1.棱长为的正方体的8个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）A B C D【答案】B试题分析：正方体的对角线是其外接球的直径，所以,球O的表面积,故选B.2.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A B C D【答案】B试题分析
8、：该几何体是上面一个三棱锥，下面一个三棱柱，故体积为.3一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）A B C D【答案】A试题分析：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，它的对角线的长为球的直径，即，所以该三棱锥的外接球的表面积为：4半径为的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为( )A B C D【答案】C试题分析：半圆的弧长为圆锥底面圆的周长，所以，圆锥的高为所以体积为5已知点A、B、C、D在同一个球的球面上，若四面体中球心O恰好在侧棱DA上，DC=，则这个球的表面积为（ ）A. B
9、. C. D.【答案】C试题分析：由可知取AC 中点M，则OM为DA 的中位线，又点M 为外接圆圆心，球心O到面ABC 的距离为，球半径为，故球表面积为.6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A B C D【答案】B试题分析：由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形（上下底边长为，高位），一条长为的侧棱与底面垂直的四棱锥，四个侧面面积分别为，底面面积为，所以该几何体的表面积为，故选B.7已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A. B. C. D.【答案】A试题分析：因为正四棱柱底面边长为1，侧棱长为2，所以它的体对角线的长是：2所以球的
10、直径是：2，半径为1所以这个球的体积是：8一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知几何体是底面为正方形，侧面为等腰梯形的棱台，等腰梯形的上底为，下底为，高为，另两个侧面为矩形，所以两等腰梯形面积和为，其余四面的面积为，所以几何体的表面积为9一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 【答案】10.如图是一个几何体的三视图，若该几何体的体积是，则 ，该几何体的表面积为 【答案】，【解析】根据几何体的三视图，知该几何体是一个平放的直三棱柱，如下图所示，直三棱柱的高是，底面三角形的边长为，高为，底面三角形的面积是，该直三棱柱
11、的体积为，解得.该直三棱柱的表面积为.故填：，【课后练习】 正确率： 1如图，一个体积为的正三棱柱（底面为正三角形，且侧棱垂直于底面）的三视图如图所示，则侧视图的面积为（ ）A. B.8 C. D.12【答案】A试题分析：设底边长为，依题意有，体积，所以侧面积为.2如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ）A B C D【答案】C试题分析：由三视图知这是一个半球，由两个面组成，表面积为.3若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A B C D【答案】B试题分析：由三视图可知，该几何体为一四棱锥，底面是长为，宽为的正方形，四棱锥高为，故体积为
12、4如图是某几何体的三视图，图中圆的半径为1，且俯视图中两条半径互相垂直，则该几何体的体积为（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：该几何体是一半径为的球体截去后剩余的部分，所以该几何体的体积为，故选C.5一个正方体的体积为，则这个正方体的内切球的表面积是（ ）A. B. C. D.【答案】C试题分析：由正方体体积为8可知边长为2，所以内切圆半径为1，球的表面积为6在四面体中，则该四面体外接球的表面积是（ ）A B C D【答案】D试题分析：由下图可知，该几何体可以补形为长方体，其外接球恰好为长方体的外接球，长方体的体对角线长为，故其外接球的表面积为.7某空间几何体的三视图如图所示，该空
13、间几何体的体积是（ ） A. B. 10 C. D. 【答案】C试题分析：此几何体是 三棱锥，底面是直角三角形面积为，三棱锥的高是4，所以几何体的体积,故选C.8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于_【答案】56试题分析：由三视图可知该几何体为四棱柱，底面为梯形，梯形的两底为5,2，高为4，棱柱的高为4，所以棱柱的体积为9某几何体的三视图如图，则它的体积是_【答案】【解析】试题分析：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱挖掉一个圆锥形成的组合体，棱柱是一个棱长为的正方体，故，圆锥的底面直径为，所以底面面积，高，所以，故组合体的体积为10一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积
14、等于 【答案】4【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为四棱锥，其中四面为直角梯形，两底为2,4，高为2，棱锥的高为2，所以体积为11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 【答案】试题分析：几何体的直观图为底面积为，高为的三棱锥，所以体积为考点：空间几何体的三视图与直观图12已知某长方体的长宽高分别为，则该长方体外接球的体积为 【答案】试题分析：长方体的长宽高分别为的外接球的半径为由球的体积公式得：该长方体外接球的体积为13一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为和,侧棱长为,则其表面积为_.【答案】试题分析：如图所示，分别为上下底面的中心，取上下底面边的中点，则为侧面的斜高，
15、作底面，则在上，在直角中，所以表面积为，考点：棱台的表面积的求解.14一个几何体的三视图如图所示（单位），则该几何体的体积为_【答案】16试题分析：根据三视图恢复原几何体，原几何体为一个四棱锥，底面为直角梯形，其中，底面，则该几何体的体积为15一个几何体的三视图如图所示（单位）,则刻几何体的体积为 【答案】【解析】试题分析：从几何体的三视图可以看出该几何体是底部为边长为高为的正三棱柱,上部是一个半球体,所以其体积为.考点：三视图的识读和几何体的体积的计算16某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为_.【答案】【解析】试题分析：四棱柱的高为1，底面为等腰梯形，面积为，因此体积为第 15 页 共 15 页学科网（北京）股份有限公司