《2022届高三数学一轮复习（原卷版）8．2 空间几何体的表面积与体积.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高三数学一轮复习（原卷版）8．2 空间几何体的表面积与体积.doc（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 1 82 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积 1柱体、锥体、台体的表面积 (1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 S直棱柱侧_，S正棱锥侧_， S正棱台侧_(其中 C，C为底面周长，h为高，h为斜高) (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积 S圆柱侧_，S圆锥侧_，S圆台侧_ (其中 r，r为底面半径，l 为母线长) (3) 柱 或 台 的 表 面 积 等 于 _ 与_的和，锥体的表面积等于_与_的和 2柱体、锥体、台体的体积 (1)棱柱、棱锥、棱台的体积 V棱柱_，V棱锥_，V棱台_ (其中 S，S为底面积，h 为高) (2)圆柱、圆锥、圆台的体积 V圆柱_，V圆锥_，V圆台_ (其中
2、 r，r为底面圆的半径，h 为高) 3球的表面积与体积 (1)半径为 R 的球的表面积 S球_ (2)半径为 R 的球的体积 V球_ 自查自纠： 1(1)Ch 12Ch 12()CC h (2)2rl rl (rr)l (3)侧面积 两个底面积 侧面积 一个底面积 2(1)Sh 13Sh 13h()S SSS (2)r2h 13r2h 13h()r2rrr2 3(1)4R2 (2)43R3 (2018全国卷)已知圆柱的上、 下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为 ( ) A12 2 B12 C8 2 D10 解：由题意
3、知，圆柱的轴截面是一个面积为 8的正方形，则圆柱的高与底面直径均为 2 2，所以圆柱的表面积为 2( 2)22 22 24812故选 B (2017 天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 ( ) A92 B3 3 C9 D27 解：由正方体的表面积为 18，得正方体的棱长为 3设该正方体外接球的半径为 R，则 2R3，R32，所以这个球的体积为43R34327892故选 A (2018安徽皖西教学联盟联考)如图， 网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 ( ) A4 B2 C23 D43 解：由三视
4、图知该几何体是一个三棱锥，其中一个面是腰长为 2 的等腰直角三角形，这个面上的高为 2，故所求体积为131222243故选 D 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为_ 2 解：由三视图可知该多面体由一个正方体截去两个相同的小正三棱锥所得， 正方体的表面积为 S24，两个全等的三棱锥以正方体的相对顶点为顶点，侧面是三个全等的且直角边长为 1 的等腰直角三角形，其侧面面积的和为 3，三棱锥的底面是边长为 2的正三角形，其底面积的和为 3，故所求几何体的表面积为 243321 3故填 21 3 (2018江苏)如图所示， 正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_ 解：
5、由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为 1，底面正方形的边长等于 2，所以该多面体的体积为 213( 2)2143故填43 类型一类型一 空间多面体的面积问题空间多面体的面积问题 某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的表面积是 ( ) A2 5 B4 5 C22 5 D5 解： 由三视图可知该几何体是棱长分别为 2， 2，1 的长方体中的三棱锥 PABM， 如图所示，其中 SPMASPMB52，SPAB5， SMAB2， 所以该几何体的表面积为 2252 522 5故选 C 点 拨： 求解多面体的表面积，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台
6、中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，通过建立未知量与已知量间的关系进行求解 某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为直角梯形， 俯视图为两个正方形，则该几何体的表面积为 ( ) A992 B61 C62 D73 解：由三视图画出几何体如图所示， 3 上、下底面分别是边长为 1、4 的正方形；左、后两个侧面是上底为 1， 下底为 4， 高为 4 的直角梯形；前、右两个侧面是上底为 1，下底为 4，高为 5的直角梯形其表面积为 S114412(14)4212(14)5262故选 C 类型类型二二 空间旋转体的面积问题空间旋转体的面积问题 几何体的三视图如图所示， 则该几何体
7、的表面积为_ 解：先根据三视图还原该几何体的形状，如图所示，则该几何体的表面积为圆锥的侧面积 S1、圆台的侧面积 S2以及底面积 S3的和 因为 S1122236， S22123152，S31224， 所以 SS1S2S361524554故填554 点 拨： 先通过三视图分析几何体的构成，再找计算面积所必备的量，如高、半径等 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A3 B4 C24 D34 解： 该几何体为半圆柱， 底面半径为 1， 高为 2，其表面积为12221221234故选 D 类型三类型三 空间多面体的体积问题空间多面体的体积问题 如图，在多面体 ABCDEF 中，已
8、知ABCD 是边长为 1 的正方形，且ADE，BCF 均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为 ( ) A23 B33 C43 D32 解：如图，过 A，B 两点分别作 AM，BN 垂直于 EF，垂足分别为 M，N，连接 DM，CN，可证得DMEF，CNEF，则多面体 ABCDEF 分为三部分，即多面体的体积 VABCDEFVAMDBNCVEAMDVFBNC 依题意知 AEFB 为等腰梯形 易知 RtDMERtCNF，所以 EMNF12 又 BF1，所以 BN32 作 NH 垂直于 BC，则 H 为 BC 的中点，所以 4 NH22 所以 SBNC12BCNH24 所以 VFBNC1
9、3SBNCNF224， VEAMDVFBNC224，VAMDBNCSBNCMN24 所以 VABCDEF23，故选 A 点 拨： 求空间几何体体积的常用方法为割补法和等积变换法： 割补法： 将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而得出要求的几何体的体积；等积变换法：特别的，对于三棱锥，由于其任意一个面均可作为棱锥的底面，从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用“等积性”还可求“点到面的距离” 如图所示，在等腰梯形 ABCD 中， AB2CD2，DAB60，E 是 AB 的中点，将ADE，BEC 分别沿 ED，EC 向上折起，使 A，B 重合于点 P， 则三棱锥P- CD
10、E 的体积为_ 解：根据题意，折叠后的三棱锥 PCDE 的各棱长都相等，且等于 1，根据此三棱锥构造相应的正方体，则该正方体的棱长为22， 故正方体的体积为22324，所以三棱锥P- CDE 的体积为2441312222222212故填212 类型四类型四 空间旋转体的体积问题空间旋转体的体积问题 已知球的外切圆台上、 下底面的半径分别为 r，R，求圆台的体积 解：如图，图是该几何体的直观图，图是该几何体的轴截面平面图 圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，根据切线长定理，ACAO1，BOBC，得梯形腰长为 Rr，梯形的高即球的直径长为 OO1AB2（OBO1A）2（Rr）2（Rr）2 2 R
11、r， 所以，球的半径为 rR，圆台的体积 V132 Rr(r2rRR2)23 Rr(r2rRR2) 点 拨： 圆台和球的组合体，需要将球的外切圆台用直观图和轴截面图表示出来，借助于圆外接四边形的性质，特别是外接四边形是等腰梯形时，还要运用平面几何知识将内切球的半径求出来 (2018湖南师大附中质检改编)若某圆柱体的上部挖掉一个半球、 下部挖掉一个圆锥后，所得的几何体的三视图中的正视图和侧视图如图所示，则此几何体的体积是 ( ) A4 B8 C12 D14 解： 该几何体的体积 V224124323132228故选 B 5 类型五类型五 球的切接问题球的切接问题 (1)棱长为 1 的正四面体外接
12、球的体积为_ 解：设 SO1是正四面体 S- ABC 的高，外接球的球心 O 在 SO1上，设外接球半径为 R，AO1r， 则在ABC 中，由平面几何知识得 r33 从而 SO1 SA2AO2111363， 在 RtAOO1中，由勾股定理，得 R263R2332，解得 R64 所以 V球43R34364368故填68 点 拨： 几何体的外接球问题关键是确定球心位置，主要方法有： 将几何体还原或补为正方体或长方体，进而确定球心；几何体的外接球球心一定在过底面的外心与底面垂直的直线上；球心到各顶点的距离都相等；球心一定在外接球的直径上 (2)( 2018广西柳州模拟 ) 已 知 直 三 棱 柱AB
13、C- A1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB3，AC4，ABAC，AA112，则球 O 的半径为 ( ) A3 172 B2 10 C132 D3 10 解法一： (直接法)由题意， 直三棱柱的底面 ABC是直角三角形， 所以底面ABC外接圆的圆心是BC的中点 E， 底面A1B1C1外接圆的圆心是 B1C1的中点 E1由球的截面的性质可得直三棱柱外接球的球心 O 就是线段 EE1的中点，OA 为球 O 的半径如图所示，连接 OA，AE在ABC 中，ACAB，所以 BC AB2AC2 32425，所以 EA12BC52又OE12AA16， 由球的截面的性质可得OE平面 ABC，
14、所以 OA EA2OE252262132即直三棱柱外接球的半径为132 解法二：(补体法)如图所示，将直三棱柱ABC- A1B1C1的 底 面 补 成 矩 形 ， 得 到 长 方 体ABDC- A1B1D1C1显然， 直三棱柱 ABC- A1B1C1的外接球就是长方体 ABDC- A1B1D1C1的外接球而长方体 ABDC- A1B1D1C1的外接球的直径等于长方体的体对角线长，连 AD1，则 AD1 324212213，所以直三棱柱外接球的半径为132故选 C 点 拨： 求解几何体外接球的半径主要从两个方面考虑：一是根据球的截面的性质，利用球的半径 R、截面圆的半径 r 及球心到截面圆的距离
15、 d 三者的关系 R2r2d2求解，其中确定球心的位置是关键；二是将几何体补成长方体，利用该几何体与长方体共有外接球的特征，由外接球的直径等于长方体体对角线长求解 (1)(2018辽宁沈阳高三月考)正四面体 ABCD 的棱长为 4，E 为棱 BC 的中点，过点 E作其外接球的截面，则截面圆的面积的最小值是 ( ) A4 B8 C12 D16 解：将正四面体 ABCD 放置于如图所示的正方体中，可得该正方体的外接球就是正四面体 ABCD的外接球，设该外接球的球心为 O，半径为 R 因为正四面体 ABCD 的棱长为 4，所以正方体 6 的棱长为 2 2， 所以正方体外接球的半径 R 满足 2R 3
16、2 2，解得 R 6 E 为棱 BC 的中点， 过点 E 作其外接球的截面，当截面到外接球的球心 O 的距离最大时， 即 E 为截面圆的圆心时，截面圆的面积最小，此时球心 O 到截面的距离 dOE 2， 由截面的性质可得截面圆的半径 rR2d2（ 6）2（ 2）22 故截面圆的面积的最小值为 Sr24故选A (2)(2018浙江台州高三月考)半球内有一个内接正方体，若正方体的棱长为 6，则这个半球的体积为_ 解法一：过正方体的对角面作截面如图所示，设半球的半径为 R，因为正方体的棱长为 6，所以CC1 6，OC22 6 3 在 RtC1CO 中，由勾股定理，得 CC21OC2OC21，即( 6
17、)2( 3)2R2，所以 R3故 V半球23R318 解法二：将其补成球和内接长方体，原正方体的棱长为 6， 则(2R)266(2 6)2， 所以 R3故V半球23R318故填 18 若正四面体的棱长为 a，则其内切球的半径为_ 解： 如图正四面体 A- BCD 的中心为 O， 即内切球球心，内切球半径为 R，即为 O 到正四面体各面的距离 因为 ABa，所以正四面体的高 h63a 又 VABCD4VOBCD，所以 R14h612a故填 612a 点 拨： 正多面体存在内切球且正多面体的中心为内切球的球心求多面体内切球的半径，往往可用“等体积法”V多13S表R内切正四面体内切球半径是高的14，
18、外接球半径是高的34并非所有多面体都有内切球(或外接球) (2018 湖南株洲高一月考)已知三棱锥 PABC，若 PA，PB，PC 两两垂直，且 PA2，PBPC1， 则三棱锥 P- ABC 的内切球的表面积为_ 解：由题意，设三棱锥 P- ABC 的内切球的半径为 r，球心为 O，则由等体积得 VPABCVOPAB VOPACVOPBCVOABC， 即1312211131221r2131211r1312 2512r，解得 r14故内切球的表面积为 4r24故填4 1几何体的展开与折叠 (1)几何体的表面积，除球以外，一般都是利用展开图求得的，利用空间问题平面化的思想，把一个平面图形折叠成一个
19、几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法 (2)多面体的展开图 直棱柱的侧面展开图是矩形； 正棱锥的侧面展开图是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多边形； 正棱台的侧面展开图是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多边形 (3)旋转体的展开图 圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长(或宽)是底面圆周长，宽(或长)是圆柱的母线长； 圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径长是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长； 圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上、下弧长分别为圆台的上、下底面周长 7 注：圆锥和圆台的侧面积公式 S圆锥侧12cl 和 S圆台侧12(cc)l与三角形和梯形的面积公式在形式上相同，可将
20、二者联系起来记忆 2空间几何体的表面积的计算方法 有关空间几何体的表面积的计算通常是将空间图形问题转化为平面图形问题，这是解决立体几何问题常用的基本方法 (1)计算棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积，可以分别求各面面积，再求和，对于直棱柱、正棱锥、正棱台也可直接利用公式 (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算其侧面积时需将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和 (3)组合体的表面积应注意重合部分的处理 3空间几何体的体积的计算方法 (1)计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面，特别是轴截面，将空间问题转化为平面问题求解 (2)
21、注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、还台为锥法、等积变换法(如求三棱锥的体积可灵活变换顶点与底面)等， 它们是计算一些不规则几何体体积常用的方法，应熟练掌握 (3)利用三棱锥的“等体积性”可以解决一些点到平面的距离问题，即将点到平面的距离视为一个三棱锥的高，通过将其顶点和底面进行转化，借助体积的不变性解决问题 4建议对下列一些具有典型意义的重要空间图形的数量关系予以推证并适当记忆 (1)正多面体 正四面体就是棱长都相等的三棱锥，正六面体就是正方体，连接正方体六个面的中心，可得到一个正八面体，正八面体可以看作是由两个棱长都相等的正四棱锥拼接而成 棱长为 a 的正四面体中： a斜高为32a；
22、 b高为63a； c对棱中点连线长为22a； d外接球的半径为64a， 内切球的半径为612a； e正四面体的表面积为 3a2，体积为212a3 如图， 在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，连接 A1B，BC1，A1C1，DC1，DA1，DB，可以得到一个棱长为 2a 的正四面体 A1BDC1，其体积为正方体体积的13 正方体与球有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方体它们的相应轴截面如图所示(正方体的棱长为 a，球的半径为 R) (2)长方体的外接球 长、宽、高分别为 a，b，c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即 a2b
23、2c22R 棱长为 a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即 3a2R 1某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 ( ) A B2 C3 D4 解：由三视图可知，该几何体为半径为 r1的半球体， 表面积为底面圆面积加上半球面的面积，所以 Sr2124r212124123故选 C 2(2018呼伦贝尔二模)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) 8 A12 B24 C40 D72 解：由三视图可知，该几何体是四棱锥和长方体的组合体长方体的体积为 34224，四棱锥的底面积为 3412，高为 624，所以四棱锥的体积为1312416，所以组合体的体积 V241640故选 C 3
24、如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 ( ) A6 B9 C12 D18 解：由三视图可推知，几何体的直观图如图所示， 可知 AB6，CD3，PC3，CD 垂直平分AB， 且 PC平面 ACB，故所求几何体的体积为131263 39故选 B 4(2018太原模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( ) A8( 31) B8( 31)2 C8( 31) D8( 31) 解：由三视图可知该几何体由长方体中间挖掉一个圆锥得到，圆锥的底面半径为 1，母线长为 2，则几何体的表面积为 S42 3222 1212228 38故选 A 5已 知
25、 球 O 是 棱 长 为 1 的 正 方 体ABCD- A1B1C1D1的内切球，则平面 ACD1截球 O 的截面积为 ( ) A66 B3 C6 D33 解： 平面 ACD1截球 O 的截面为ACD1的内切圆 因为正方体的棱长为 1，所以 ACCD1 AD1 2， 所以内切圆的半径 r66，所以所求截面积 Sr26366故选 C 6(2018全国卷)设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为 9 3， 则三棱锥 D- ABC 体积的最大值为 ( ) A12 3 B18 3 C24 3 D54 3 解：如图所示，点 M 为ABC 的中心，点 E为
26、AC 中点， 点 O 为球心， 显然当 DM平面 ABC， 9 D，O 两点在平面 ABC 同侧时，三棱锥 DABC 的体积最大因为球半径为 4，所以 ODOB4因为ABC 为等边三角形且面积为 9 3，所以34AB29 3，解得 AB6因为点 M 为ABC 的中心，所以 BM23BE233 32 3在 RtOMB 中，根 据 勾 股 定 理 可 知 ， OM OB2BM242（2 3）22，所以 DMODOM426，所以三棱锥 D- ABC 体积的最大值为139 3 618 3故选 B 7( 2018 天津 ) 如 图 ， 已 知 正 方 体ABCD- A1B1C1D1的棱长为 1，则四棱锥
27、 A1BB1D1D的体积为_ 解法一：连接 A1C1交 B1D1于点 E，则 A1EB1D1，A1EBB1，则 A1E平面 BB1D1D，所以 A1E为四棱锥 A1BB1D1D 的高，且 A1E22，矩形BB1D1D 的长和宽分别为 2，1，故 VA1BB1D1D131 22213 解法二：连接 BD1，则四棱锥 A1BB1D1D 分成两个三棱锥 B- A1DD1与 B- A1B1D1，VA1BB1D1DVBA1DD1VBA1B1D11312111131211113故填13 8(2018 全国卷)已知圆锥的顶点为 S， 母线SA，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为 45，若S
28、AB 的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为_ 解：因为母线 SA，SB 所成角的余弦值为78，所以母线 SA, SB 所成角的正弦值为158，因为 SSAB5 15，设母线长为 l，所以12l21585 15，l280， 因为 SA 与圆锥底面所成角为 45， 所以底面半径 rl cos4522l， 因此圆锥的侧面积为 rl22l240 2故填 40 2 9已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为 S，求圆锥的底面面积 解：如图所示， 设圆锥底面半径为 r，母线长为 l，由题意得12l2S，l2r 解得 rS2所以底面积为 r2S2S2 10(2018福建福州质检)如图，网格纸上小正方形的边长
29、为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，求该多面体的表面积 解：由三视图知该几何体为三棱锥，记为三棱锥 P- ABC，将其放在棱长为 2 的正方体中，如图， 其中 ACBC，PAAC，PBBC，PAB 是边长为 22的等边三角形，故所求表面积为 SABCSPACSPBCSPAB12221222 21222 234(2 2)224 22 3 10 11(2017全国卷)如图， 四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ADCD (1)证明：ACBD； (2)已知ACD 是直角三角形，ABBD，若 E为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AEEC，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比
30、解：(1)证明：取 AC 的中点 O，连接 DO，BO 因为 ADCD，所以 ACDO 又由于ABC 是正三角形，所以 ACBO 从而 AC平面 DOB，故 ACBD (2)连接 EO 由(1)及题设知ADC90，所以 DOAO 在 RtAOB 中，BO2AO2AB2 又 ABBD，所以 BO2 DO2 BO2 AO2 AB2 BD2， 故 DOB90 由题设知AEC 为直角三角形，所以 EO 12AC 又ABC 是正三角形，且 ABBD，所以 EO12BD 故 E 为 BD 的中点， 从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的距离的12，四面体 ABCE 的体积为四面体 AB
31、CD 的体积为12，即四面体 ABCE 与四面体 ACDE的体积之比为 11 (2018陕西部分学校摸底)已知四棱锥 S- ABCD 的底面是中心为 O 的正方形，且 SO平面 ABCD，SA2 3，那么当该四棱锥的体积最大时，它的高为 ( ) A1 B2 C 3 D3 解： 设四棱锥的高 SOh(0h2 3)， 设正方形ABCD 的边长为 2a，因为 SA2 3，所以 h2a212，所以四棱锥的体积 V23a2h23(12h2)h23h38h令函数V(h)23h38h(0h2 3)， 则V(h)2h28，令 V(h)0，得 h2当 0h0， V(h)单调递增， 当 2h2 3时， V(h)0，V(h)单调递减，所以当 h2 时，V(h)取得最大值，即当该四棱锥的体积最大时，它的高为 2故选 B 11