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1、八年级数学八年级数学上上 新课标新课标 冀教冀教 第十七章特殊三角形第十七章特殊三角形 学习新知学习新知检测反馈检测反馈17.2直角三角形直角三角形第1页思索思索:什么样三角形是直角三角形什么样三角形是直角三角形?有一个角是直角三角形是直角三角形有一个角是直角三角形是直角三角形.那么这个特殊三角形有哪些性质呢那么这个特殊三角形有哪些性质呢?我们又怎我们又怎样来判定一个三角形是直角三角形呢样来判定一个三角形是直角三角形呢?第2页(1)观察图中三角形观察图中三角形,C=90,从从A+B度数度数,能说明什么能说明什么?为何为何?学学 习习 新新 知知直角三角形两个锐角互余直角三角形两个锐角互余.(性
2、质定理性质定理1)(2)想一想想一想:假如一个三角形两个角互余假如一个三角形两个角互余,那么这个三角那么这个三角形是直角三角形吗形是直角三角形吗?假如一个三角形两个角互余假如一个三角形两个角互余,那么这个三角形是直角三那么这个三角形是直角三角形角形.(判定定理判定定理)(3)讨论讨论:直角三角形性质定理直角三角形性质定理1和判定定理是什么关系和判定定理是什么关系?第3页对应练习对应练习(1)在直角三角形中在直角三角形中,有一个锐角为有一个锐角为52,那么另一那么另一个锐角度数为个锐角度数为.(3)如图所表示如图所表示,在在 ABC中中,ACB=90,CD是斜是斜边边AB上高上高,与与B互余角有
3、互余角有;与与A互余角有互余角有;与与A相等角有相等角有;与与B相等角有相等角有.(2)在在Rt ABC中中,C=90,A-B=30,那么那么A=,B=.3860 30 A,DCBACD,BDCBACD第4页想一想想一想:假如在练习假如在练习(3)中添加中添加A=45条件条件,那么各个锐那么各个锐角是多少度角是多少度?各条线段之间有什么数量关系各条线段之间有什么数量关系?猜一猜猜一猜,量一量量一量:直角三角形斜边上中线等于斜边直角三角形斜边上中线等于斜边二分之一吗二分之一吗?第5页 (1)在一张半透明纸上画出一个直角三角形在一张半透明纸上画出一个直角三角形,按照教材第按照教材第147页页“观察
4、与思索观察与思索”进行操作进行操作.(2)思索思索:ECF与与B有什么关系有什么关系?线段线段EC与线段与线段EB有什么关系有什么关系?(3)由发觉上述关系以及由发觉上述关系以及A+B=ACB,ACE+ECF=ACB.你能判断你能判断ACE与与A大小关系吗大小关系吗?线段线段AE与线段与线段CE呢呢?从而你发觉了从而你发觉了什么结论什么结论?将你结论与大家交流将你结论与大家交流.CE=AE=EB,即即CE是是AB中线中线,且且2CE=AB.第6页已知已知:如图所表示如图所表示,在在Rt ABC中中,ACB=90,CD是斜边是斜边AB上中线上中线.求证求证:CD=AB.A=FDB,AD=BD,A
5、DE=B,证实证实:如图所表示如图所表示,过点过点D作作DEBC,交交AC于点于点E,作作DFAC,交交BC于点于点F.在在 AED和和 DFB中中 AED DFB(ASA),AE=DF,ED=FB(),全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等同理可证同理可证 CDE DCF.从而从而ED=FC,EC=FD().全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等AE=CE,FC=FB().等量代换等量代换又又DEAC,DFBC(),两直线平行两直线平行,同位角相等同位角相等DE为为AC垂直平分线垂直平分线,DF为为BC垂直平分线垂直平分线.AD=CD=BD(),线段垂直平分线性质定理线段垂直平分线性质定
6、理CD=AB.第7页归纳：归纳：性性质定理定理2:直角三角形斜直角三角形斜边上中上中线等于斜等于斜边二分之一二分之一.第8页课堂小结课堂小结1.直角三角形性质定理直角三角形性质定理1依据三角形内角和等于依据三角形内角和等于180,我们能够得到直角三角形我们能够得到直角三角形中两个锐角和是中两个锐角和是90,即直角三角形两个锐角互余即直角三角形两个锐角互余.这么这么,在直角三角形中在直角三角形中,假如已知一个锐角度数假如已知一个锐角度数,就能够求出另就能够求出另一锐角度数一锐角度数.2.直角三角形判定定理直角三角形判定定理假如一个三角形中两个角互余假如一个三角形中两个角互余,那么这个三角形是直角
7、那么这个三角形是直角三角形三角形.要判定一个三角形是直角三角形要判定一个三角形是直角三角形,只要能证实出一个三只要能证实出一个三角形中有两个角和是角形中有两个角和是90,那么这个三角形就是直角三角那么这个三角形就是直角三角形形.第9页课堂小结课堂小结3.直角三角形性质定理直角三角形性质定理2直角三角形斜边上中线等于斜边二分之一直角三角形斜边上中线等于斜边二分之一.注意注意:这一性这一性质成立条件是在直角三角形中质成立条件是在直角三角形中,而且是斜边上中线而且是斜边上中线,直角直角边上中线不具备这个性质边上中线不具备这个性质.在处理直角三角形问题时在处理直角三角形问题时,假假如包括到斜边上中点如
8、包括到斜边上中点,那么就要联想到这一性质那么就要联想到这一性质.4.含有含有30角直角三角形性质角直角三角形性质在直角三角形中在直角三角形中,30角所正确直角边等于斜边二分之一角所正确直角边等于斜边二分之一.第10页 检测检测反馈反馈1.在在 ABC中中,满足以下条件满足以下条件:A=60,C=30;A+B=C;A B C=3 4 5;A=90-C.其中其中能确定能确定 ABC是直角三角形有是直角三角形有()A.1个个B.2个个C.3个个D.4个个C解析解析:A=60,C=30时时,B=180-60-30=90是直角三角形是直角三角形;A+B=C时时,A+B+C=2C=180,C=90,是直角
9、三角形是直角三角形;A B C=3 4 5时时,C90,是锐角三角形是锐角三角形;A=90-C时,A+C=90,B=90,是直角三角是直角三角形形.总而言之总而言之,是直角三角形有是直角三角形有,共共3 3个个.故选故选C.第11页 2.设计一张折叠型方桌如图设计一张折叠型方桌如图(1)所表示所表示,AO=BO=50 cm,CO=DO=30 cm,将桌子放平后将桌子放平后,要使要使AB距离地面高为距离地面高为40cm,则两条桌腿需要叉则两条桌腿需要叉开角度开角度(AOB)应为应为()A.60B.90C.120D.150C解析解析:作作DEAB于于E,如图如图(2)(2)所表示所表示.AD=50
10、+30=80(cm),DE=40 cm,A=30,AO=BO,B=A=30,AOB=180-30-30=120.故选故选C.第12页3.如图所表示如图所表示,ABC中中,AB=AC=10,BC=8,AD平平分分BAC交交BC于点于点D,点点E为为AC中点中点,连接连接DE,则则 CDE周长为周长为()A.20 B.12 C.14 D.13C解析解析:AB=AC,AD平分平分BAC,BC=8,ADBC,CD=BD=BC=4,点点E为为AC中点中点,DE=CE=AC=5,CDE周长周长=CD+DE+CE=4+5+5=14.故选故选C.第13页4.如图所表示如图所表示,ABC中中,ACB=90,CD
11、是是 高高,A=30BD=5,则则AB长为长为()A.20B.15 C.10 D.18A解析解析:ACB=90,CD是高是高,A+ACD=ACD+BCD=90,BCD=A=30,在在Rt BCD中中,BC=2BD=25=10,在在Rt ABC中中,AB=2BC=210=20.故选故选A.第14页 5.如图所表示如图所表示,在直角三角形在直角三角形ABC中中,ACB=90,D是是AB上一点上一点,且且ACD=B.求求证证CDAB.解析解析:依据依据ACB=90,得出得出A+B=90依据依据ACD=B,得出得出A+ACD=90,再依据两锐角再依据两锐角互余三角形是直角三角形即可得出答案互余三角形是
12、直角三角形即可得出答案.证实证实:ACB=90,A+B=90,ACD=B,A+ACD=90,ACD是直角三角形是直角三角形,ADC=90,CDAB.第15页 6.在直角三角形在直角三角形ABC中中,ACB=90,B=30,CDAB于于D,CE是是ACB平分线平分线.(1)求求DCE度数度数.解析解析:由图知由图知DCE=DCB-ECB,由由B=30,CDAB于于D,利用直角三角形性质定理利用直角三角形性质定理,求出求出DCB度数度数,再由角平再由角平分线定义得分线定义得ECB=ACB,则则DCE度数可求度数可求;解解:B=30,CDAB于于D,DCB=90-B=60.CE平分平分ACB,ACB
13、=90,ECB=ACB=45,DCE=DCB-ECB=60-45=15.(2)若若CEF=135,求证求证EFBC.解析解析:依据依据CEF+ECB=180,由同旁内角互补由同旁内角互补,两直线平行两直线平行能够证实能够证实EFBC.证实证实:CEF=135,ECB=ACB=45,CEF+ECB=180,EFBC.第16页7.如图所表示如图所表示,在在Rt ABC中中,ACB=90,B=30,CDAB于于D.求证求证AD=AB.解析解析:在直角三角形在直角三角形ABC中中,由由B=30,利用利用在直角三角形中在直角三角形中,30角所正确直角边等于斜角所正确直角边等于斜边二分之一边二分之一,得到
14、得到AC等于等于AB二分之一二分之一,由由CD垂直于垂直于AB,得到得到 ACD和和 BCD都为直角三都为直角三角形角形,由由B为为30,求出求出ACD为为30,再利用在再利用在直角三角形中直角三角形中,30角所正确直角边等于斜边角所正确直角边等于斜边二分之一得到二分之一得到AD为为AC二分之一二分之一,等量代换即等量代换即可得证可得证.证实证实:在在Rt ABC中中,ACB=90,B=30,AC=AB,CDAB,CDB=90,在在Rt BCD中中,B=30,DCB=60,ACD=ACB-DCB=90-60=30,在在Rt ACD中中,AD=AC,AD=AB.第17页8.如图所表示如图所表示,
15、已知在已知在 ABC中中,ACB=90,CD为高为高,且且CD,CE三等分三等分ACB.(1)求求B度数度数;解析解析:利用直角三角形利用直角三角形BCD两个锐角互余进行解答两个锐角互余进行解答.解解:(1)在在 ABC中中,ACB=90,CD,CE三等分三等分ACB,ACD=DCE=BCE=30,BCD=60,又又CD为高为高,B=90-60=30.(2)求证求证CE是是AB边上中线边上中线,且且CE=AB.解析解析:利用已知条件和利用已知条件和(1)(1)中结论能够得到中结论能够得到 ACE是等边三角形和是等边三角形和 BCE为等腰三角形为等腰三角形,利用等腰三角形性质证得结论利用等腰三角形性质证得结论.证实证实:(2)由由(1)知知B=BCE=30,CE=BE,AC=AB.ACB=90,B=30,A=60,由由(1)知知ACD=DCE=30,ACE=A=60,ACE是等边三角形是等边三角形,AC=AE=EC=AB,AE=BE,即点即点E是是AB中点中点.CE是是AB边上中线边上中线,且且CE=AB.第18页