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1、第三届“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛试卷（小学组笔试二）一、填空题（每题20分，共60分）1（20分）如图，ABEDCF90，AB3，DC5，BC6，BEEFFC，AF交DE于G则三角形DFG与三角形AGE面积的和为 2（20分）在正八边形的8个顶点和中心O处放上9个不同的自然数，使得位于每对平行边与中心O上的5个数之和都等于位于顶点的8个数之和那么位于中心O处的数最小是 3（20分）如图，对A，B，C，D，E，F，G七个区域分别用红、黄、绿、蓝、白五种颜色中的某一种来着色，规定相邻的区域着不同的颜色那么有 种不同的着色方法二、解答题（每题20分，共60分）4（20分）对于平面上垂直的两条直
2、线a和b，称 （a，b） 为一个“垂直对”，而a和b都是属于这个“垂直对”的直线那么当平面上有二十条直线时最多可组成多少个“垂直对”？5（20分）方格网上有三个地点A，B，C，每个小方格的边长为100米如果沿着网格线修路把三个地点连起来，问：修的总路长最短为多少米？6（20分）自然数a，b满足23a13b1，求a+b的最小值第三届“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛试卷（小学组笔试二）参考答案与试题解析一、填空题（每题20分，共60分）1（20分）如图，ABEDCF90，AB3，DC5，BC6，BEEFFC，AF交DE于G则三角形DFG与三角形AGE面积的和为【分析】过E点作EHBC交AF于H，过
3、F点作FIBC交DE于I，根据等高的三角形面积比等于底之比求解即可【解答】解：过E点作EHBC交AF于H，过F点作FIBC交DE于I， 因为ABEDCF90，AB3，DC5，BC6，BEEFFC，所以EH1.5，FI2.5，三角形EFH面积三角形AEH面积23221.5，三角形EFI面积三角形FID面积25222.5所以HG：GF1.5：2.5，IG：GE2.5：1.5，所以三角形EGH面积1.51.5（1.5+2.5），三角形GFI面积2.52.5（1.5+2.5）故三角形DFG与三角形AGE面积的和三角形AEH面积+三角形EGH面积+三角形FID面积+三角形GFI面积，1.5+2.5故答案
4、为：2（20分）在正八边形的8个顶点和中心O处放上9个不同的自然数，使得位于每对平行边与中心O上的5个数之和都等于位于顶点的8个数之和那么位于中心O处的数最小是14【分析】设这9个数分别为A，B，C，D，E，F，G，H，O然后根据题意列出式子，求出O的最小值【解答】解：由题意可知：A+B+E+F+OB+C+F+G+OC+D+G+H+OD+E+H+A+OA+B+C+D+E+F+G+H，整理得：A+EC+G，B+FD+H，所以A+B+C+D+E+F+G+H2O，即当A，B，C，D，E，F，G，H为0，1，2，3，4，5，6，7时，O最小，即O（0+1+2+3+4+5+6+7）14故答案为：143（
5、20分）如图，对A，B，C，D，E，F，G七个区域分别用红、黄、绿、蓝、白五种颜色中的某一种来着色，规定相邻的区域着不同的颜色那么有2880种不同的着色方法【分析】将问题分解为七步进行：ABCDEFG，得到每一步的着色方式，利用乘法原理解答即可【解答】解：对这五个区域，我们分五步依次给予着色：（1）区域A共有5种着色方式；（2）区域B因不能与区域A同色，故共有4种着色方式；（3）区域C因不能与区域B同色，故共有4种着色方式；（4）区域D因不能与区域A，B，C同色，故共有2种着色方式；（5）区域E因不能与区域A，D同色，故共有3种着色方式（6）区域F因不能与区域D，E同色，故共有3种着色方式（7
6、）区域G因不能与区域A，E，F同色，故共有2种着色方式于是，根据乘法原理共有54423322880种不同的着色方式故答案为：2880二、解答题（每题20分，共60分）4（20分）对于平面上垂直的两条直线a和b，称 （a，b） 为一个“垂直对”，而a和b都是属于这个“垂直对”的直线那么当平面上有二十条直线时最多可组成多少个“垂直对”？【分析】如下图：当二十条直线有10条互相平行；另10条不仅互相平行而且与前10条垂直时垂直对最多共100对【解答】解：当二十条直线有10条互相平行；另10条不仅互相平行而且与前10条垂直时垂直对最多1010100（对）答：平面上有二十条直线时最多可组成100个“垂直
7、对”5（20分）方格网上有三个地点A，B，C，每个小方格的边长为100米如果沿着网格线修路把三个地点连起来，问：修的总路长最短为多少米？【分析】由于要沿着网格线修路把三个地点连起来，可以先找到交点D，再分别求出各段的长相加即可【解答】解：如图所示，可得1004+1003+1002+1001000（米）答：修的总路长最短为1000米6（20分）自然数a，b满足23a13b1，求a+b的最小值【分析】由23a13b1，可得13b23a126a（3a+1），得到b关于a的解的形式：b26a13（3a+1）132a（3a+1）13因为a、b都是自然数，因此3a+1能被13整除，显然a最小为4，b同时取得最小值b7，进而求得a+b的最小值【解答】解：由23a13b1，可得13b23a126a（3a+1）推出b26a13（3a+1）132a（3a+1）13要使3a+1能被13整除，显然a最小为4，b同时取得最小值b7所以a+b最小值4+711声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:52:46；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02；学号：20913800第6页（共6页）