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1、第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组A卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1（10分）计算：（98766798）（246+252533） 2（10分）从1，2，3，4，5这5个数中选出4个不同的数填入下面4个方格中+，有 种不同的填法使式子成立（提示：1+52+3和5+12+3是不同的填法）3（10分）将图中左边的大三角形纸板剪3刀，得到4个大小相同的小三角形纸板（第一次操作），见图中间，再将每个小三角形纸板剪3刀，得到16个大小相同的更小的三角形纸板（第二次操作），见图右边，这样继续操作下去，完成前六次操作共剪了 刀4（10分）一个两位数与109的乘积为四位数，它能被2
2、3整除且商是一位数，这个两位数最大等于 5（10分）图中的网格是由6个相同的小正方形构成，将其中4个小正方形涂上灰色，要求每行每列都有涂色的小正方形，经旋转后两种涂色的网格相同，则视为相同的涂法，那么有 种不同的涂色方法6（10分）有若干个连续的自然数，任取其中4个不同的数相加，可得到385个不同的和则这些自然数有 个7（10分）在44方格网的每个小方格中都填有一个非零自然数，每行、每列及每条对角线上的4个数之积都相等，如图给出了几个所填的数，那么五角星所在的小方格中所填的数是 8（10分）甲、乙两人在一条长120米的直路上来回跑，甲的速度是5米/秒，乙的速度是3米/秒，若他们同时从同一端出发
3、跑了15分钟，则他们在这段时间内共迎面相遇 次（端点除外）二、解答题（共4小题，满分20分）9（5分）图中有一个边长为6厘米的正方形ABCD与一个斜边长为8厘米的等腰直角三角形AEF，E在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米？10（5分）有10个两两不同的自然数，其中任意5个的乘积是偶数，全部10个数的和是奇数，则这10个自然数的和最小是多少？11（5分）在1到200这200个自然数中任意选数，至少要选出多少个才能确保其中必有2个数的乘积等于238？12（5分）最初，盒子中有三张卡片，分别写着数1，2，3，每次，从盒子里取出两张卡片，将上面的数之和写到另一张空白卡片上，再把一张卡
4、片放回盒子，如此5次后，除了最后一张写数的卡片外，其他的卡片都至少取出过一次，不超过两次，问：此时盒子里面卡片上的数最大为多少？第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组A卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1（10分）计算：（98766798）（246+252533）1【分析】有括号，所以先算括号里面的，再算括号外面的，据此解答即可【解答】解：（98766798）（246+252533）（74485432）（144+18753）201620161；故答案为：12（10分）从1，2，3，4，5这5个数中选出4个不同的数填入下面4个方格中+，有48种不同的填法使
5、式子成立（提示：1+52+3和5+12+3是不同的填法）【分析】我们可以从首尾数字入手考虑：比1+5大的组合入手（有1种），就有3+41+5比1+4大的组合入手（有2种），就有2+51+4，3+51+4比1+3大的组合入手（有3种），就有2+41+3，2+51+3，4+51+3以此类推，比1+2大的组合有3种比2+3大的组合有2种比2+4大的组合有1种每种组合有4种不同的填法，依此即可求解【解答】解：比1+5大的组合入手（有1种），就有3+41+5比1+4大的组合入手（有2种），就有2+51+4，3+51+4比1+3大的组合入手（有3种），就有2+41+3，2+51+3，4+51+3以此类推，
6、比1+2大的组合有3种比2+3大的组合有2种比2+4大的组合有1种（1+2+3）2412448（种）答：有48种不同的填法使式子成立故答案为：483（10分）将图中左边的大三角形纸板剪3刀，得到4个大小相同的小三角形纸板（第一次操作），见图中间，再将每个小三角形纸板剪3刀，得到16个大小相同的更小的三角形纸板（第二次操作），见图右边，这样继续操作下去，完成前六次操作共剪了4095刀【分析】首先分析第二块是剪3刀，变成4块，之后就是每一块上都是3刀，继续计算即可【解答】解：依题意可知：第一次是剪3刀变成4块第二次是每一块都被剪3刀共12刀变成16块第三次为16348（刀）；块数是16464（块）
7、；第四次为643192（刀）；块数是644256（块）；第五次为2563768（刀）；块数是25641024（块）；第六次为102433072（刀）3+12+48+192+768+30724095 故答案为：40954（10分）一个两位数与109的乘积为四位数，它能被23整除且商是一位数，这个两位数最大等于69【分析】按题意，此两位数是23的倍数，而使此两位数与109的乘积为四位数，则此两位数能取得数为：23、46、69，而最大的是69【解答】解：根据分析，此两位数是23的倍数，而使此两位数与109的乘积为四位数，则此两位数能取得数为：23、46、69，综上，这个两位数最大为69，故答案是：6
8、95（10分）图中的网格是由6个相同的小正方形构成，将其中4个小正方形涂上灰色，要求每行每列都有涂色的小正方形，经旋转后两种涂色的网格相同，则视为相同的涂法，那么有7种不同的涂色方法【分析】首先可以根据第一列涂色的数量进行分类讨论，注意考虑旋转后相同的视为相同涂法【解答】解：当第一列涂了3个时，涂色情况如下：，有3种情况；当第一列涂了2个时，涂色情况如下：，有4种情况共计3+47种故答案为：76（10分）有若干个连续的自然数，任取其中4个不同的数相加，可得到385个不同的和则这些自然数有100个【分析】假设这些连续的自然数中最小的数为a，最大的教为a+n+3，那么任取4个自然数和最小必为a+a
9、+1+a+2+a+34a+6，最大的和为a+n+a+n+1+a+n+2+a+n+34a+6+4n且由于连续自然数之间的所有和都能够取到可得方程4n3851，解得n96，依此得到最小的自然数为a最大的自然数为a+99，共100个数，从而求解【解答】解：设这些连续的自然数中最小的数为a，最大的教为a+n+3，那么任取4个自然数和最小必为a+a+1+a+2+a+34a+6，最大的和为a+n+a+n+1+a+n+2+a+n+34a+6+4n依题意有4n3851，解得n96则最小的自然数为a，最大的自然数为a+99，共100个数答：这些自然数有100个故答案为：1007（10分）在44方格网的每个小方格
10、中都填有一个非零自然数，每行、每列及每条对角线上的4个数之积都相等，如图给出了几个所填的数，那么五角星所在的小方格中所填的数是1【分析】首先分析题中的幻方规律可知可根据比较法求解，不需要求出幻和【解答】解：依题意可知：根据幻方规律比较法可知：设方格数字如图所示：a216ba8328，b64再根据c4812864c五角星64五角星就是1故答案为：18（10分）甲、乙两人在一条长120米的直路上来回跑，甲的速度是5米/秒，乙的速度是3米/秒，若他们同时从同一端出发跑了15分钟，则他们在这段时间内共迎面相遇23次（端点除外）【分析】根据题意，要明白他们的迎面相遇时，2人一共的行程是2个单程12022
11、40（米），用时为240（3+5）30（秒），即每30秒就相遇一次（包括端点的）那端点的相遇用时为：2人单程用时（120340，120524）的公倍数，最小公倍数第一次在端点相遇的用时用120304可知，他们4次相遇中就有1次为端点相遇即15分钟内相遇的总次数为：15603030，其中在端点相遇的次数为304的整数部分，即7所以 他们在这段时间内共迎面相遇（端点除外）的次数为：30723【解答】解：240（3+5）30（秒）120340（秒）120524（秒）40与24的最小公倍数120（2人第一次在端点相遇的用时） 12030415603030（次） 3047230723（次） 答：他们在这
12、段时间内共迎面相遇23次（端点除外）二、解答题（共4小题，满分20分）9（5分）图中有一个边长为6厘米的正方形ABCD与一个斜边长为8厘米的等腰直角三角形AEF，E在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米？【分析】按题意，阴影部分的面积与直角三角形的面积之和，等于正方形的面积加上三角形BGE的面积，故可以先求得三角形BGE的面积，即可求得阴影部分的面积【解答】解：根据分析，BGBEAEAB862（厘米），故三角形BGE的面积BGBE222（平方厘米），因为三角形AEF为等腰直角三角形，所以由AE2AF2+FE2得出AF4，阴影部分的面积+AEF的面积正方形ABCD的面积+BGE的面
13、积阴影部分的面积正方形ABCD的面积+BGE的面积AEF的面积66+24422（平方厘米），故答案是：2210（5分）有10个两两不同的自然数，其中任意5个的乘积是偶数，全部10个数的和是奇数，则这10个自然数的和最小是多少？【分析】按题意，任意5个的乘积是偶数，说明至多有4个奇数，又全部10个数的和是奇数，则奇数的个数为1个或3个，取奇数里的最小数1或1，3，5，其他几个数可能的情况，分别比较大小，求出最小值【解答】解：根据分析，10个自然数中奇数的个数为1个或3个，只有一个奇数时，则奇数最小为1，其他偶数最小的为：0，2、4、6、8、10、12、14、16、18，此时自然数和0+1+2+4
14、+6+8+10+12+14+16+1891；若有三个奇数，则奇数为1、3、5，则其他偶数最小为：0，2、4、6、8、10、12此时自然数和0+1+3+5+2+4+6+8+10+1251综上，这10个自然数的和最小是51故答案是：5111（5分）在1到200这200个自然数中任意选数，至少要选出多少个才能确保其中必有2个数的乘积等于238？【分析】首先分析238的因数，使其中2个因数相乘得238的共4组，利用最不利原则求出结果【解答】解：依题意可知：将238分解成小于200的数字积有23817147342119共有三组的两位数相乘的因数有（17，14），（7，34），（2，119）共6个数约数分
15、为3组最不利原则是其他的194选择了，再从三组因数中每组挑选一个共197个，再选择一个就是组成两个因数的积是238了共197+1198；答：至少选出198个才能保证有连个数的乘积是23812（5分）最初，盒子中有三张卡片，分别写着数1，2，3，每次，从盒子里取出两张卡片，将上面的数之和写到另一张空白卡片上，再把一张卡片放回盒子，如此5次后，除了最后一张写数的卡片外，其他的卡片都至少取出过一次，不超过两次，问：此时盒子里面卡片上的数最大为多少？【分析】由已知可知：最后一共得到8个数，所有得数一共加了2510次，由于每张卡片至少取过1次，不超过两次，有4个数被计算了一次，第七个数只会被第8个数计算一次，因此第7个数只会被计算一次，要想卡片上的数尽可能的大，要让4，5，6个数计算两次，第1，2，3个数计算1次，可以使第8个数最大，分情况讨论即可【解答】解：由分析可得：要想卡片上的数尽可能的大要让4，5，6个数计算两次，第1，2，3个数计算1次可以使第8个数最大1，2，3，4，6，10，16，261，2，3，3，6，9，15，241，2，3，5，6，11，17，28答：此时盒子里面卡片上的数最大为28声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 11:01:57；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02；学号：20913800第9页（共9页）