《山西省山西大学附属中学2023-2024学年高三上学期10月月考（总第四次）数学试卷含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《山西省山西大学附属中学2023-2024学年高三上学期10月月考（总第四次）数学试卷含答案.pdf（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、试卷第 1 页，共 4 页学科网（北京）股份有限公司山西大学附中20232024 学年第一学期高三 10 月月考（总第四次）数 学 试 题数 学 试 题考查时间：120 分钟 满分：150 分 考查内容：高考综合一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1若复数z满足1)21(zi，则z的共轭复数是（）A12i55B12i55C12i55D
2、12i552若集合|23Axx，|RBx xbb，则AB的充要条件是（）A3b B23b C2b D2b 3二项式612xx展开式的常数项为（）A160B60C120D2404.某玻璃制品厂需要生产一种如图 1 所示的玻璃杯，该玻璃杯造型可以近似看成是一个圆柱挖去一个圆台得到，其近似模型的直观图如图 2 所示（图中数据单位为 cm），则该玻璃杯所用玻璃的体积（单位：3cm）为（）A436B476C516D5565若,ln,ln,lncebeaecba则（）AcbaBbcaCacbDcab6有 6 名选手（含选手甲、乙）参加了男子 100 米赛跑决赛（无并列名次），则在甲比乙快的条件下，甲、乙两
3、人名次相邻的概率为（）A21B61C31D417已知nS是等比数列 na的前n项和，且12nnSa，则12231011a aa aa a（）A23283B13283C20213D252838 设椭圆2222:1xyCab)0(ba的右焦点为 F，椭圆 C 上的两点 A、B 关于原点对称，且满足0FA FB ，3FBFAFB，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）试卷第 2 页，共 4 页A5,13B210,24C2,312D31,1二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得每小题
4、给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，选对但不全得分，选对但不全得 2 分，有选错得分，有选错得 0 分分.9两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则不符合这一结果的试验是（）A抛一枚硬币，正面朝上的概率B掷一枚正六面体的骰子，出现 1 点的概率C转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率D从装有 2 个红球和 1 个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率10函数 sin0,0,02f xAxA的部分图象如图所示，将 f x的图象向左平移6个单位长度得函数 g x的图象，则（）A2B g x的图象关于点,0对称C g x在2 5,
5、36上单调递增D g x在0,上有两个极值点11函数 f x的定义域为,2 2，其导函数为 fx，若 sincosxf xxfxx，且 00f，则（）A f x是减函数B f x是增函数C f x有最大值D f x没有极值12已知三棱锥ABCD的棱长均为 6，其内有n个小球，球1O与三棱锥ABCD的四个面都相切，球2O与三棱锥ABCD的三个面和球1O都相切，如此类推，.，球nO与三棱锥ABCD的三个面和球1nO都相切（2n，且*nN），球nO的表面积为nS，体积为nV，则（）试卷第 3 页，共 4 页学科网（北京）股份有限公司A168V B338S C数列 nV是公比为18的等比数列 D数列
6、nS的前 n 项和为18 14n三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分分.13已知向量a、b满足abab，则ab与a的夹角是_14在ABC中，角,A B C所对的边为cba,，且222sinsinsin sinsinBCBCA，5,7ba，则c_.15若正实数ba,满足1ba，则2122baab的最小值为_ .16新冠病毒肺炎疫情防控难度极大，某地防疫防控部门决定进行全面入户排查 4 类人员：新冠患者、疑似患者、普通感冒发热者和新冠密切接触者，过程中排查到一户 6 口之家被确认为新冠肺炎密切接触者，按要求进一步对该 6 名成员逐一
7、进行核糖核酸检测，若出现阳性，则该家庭定义为“感染高危户”，设该家庭每个成员检测呈阳性的概率相同均为01pp，且相互独立，该家庭至少检测了 5 人才能确定为“感染高危户”的概率为 fp，当0pp时，fp最大，此时0P _四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10 分）等差数列na的前 n 项和为nS，数列 nb是等比数列，满足13a，11b，2210bS，5232.aba(1)求数列na和 nb的通项公式;(2)令2,nnnnScb n为奇数为偶数设数列
8、nc的前 n 项和为nT，求2.nT18（12 分）信用是指依附在人之间、单位之间和商品交易之间形成的一种相互信任的生产关系和社会关系.良好的信用对个人和社会的发展有着重要的作用.某地推行信用积分制度，将信用积分从高到低分为五档，其中信用积分超过 150 分为信用极好；信用积分在120,150内为信用优秀；信用积分在100,120内为信用良好；信用积分在80,100内为轻微失信；信用积分不超过 80 分的信用较差.该地推行信用积分制度一段时间后，为了解信用积分制度推行的效果，该地政府从该地居民中随机抽取 200 名居民，并得到他们的信用积分数据，如下表所示.信用等级信用极好信用优秀信用良好轻微
9、失信信用较差人数2560653515(1)从这 200 名居民中随机抽取 2 人，求这 2 人都是信用极好的概率.(2)为巩固信用积分制度，该地政府对信用极好的居民发放 100 元电子消费金；对信用优秀或信用良好的居民发放 50 元消费金；对轻微失信或信用较差的居民不发放消费金.若以表中各信用等级的频率视为相应信用等级的概率，现从该地居民中随机抽取 2 人，记这 2人获得的消费金总额为 X 元，求 X 的分布列与期望.试卷第 4 页，共 4 页19（12 分）长方形ABCD中，22 2ABAD，点E为CD中点（如图 1），将点D绕AE旋转至点P处，使平面PAE 平面ABCE（如图 2）(1)求
10、证：PAPB；(2)点F在线段PB上，当二面角FAEP大小为4时，求四棱锥FABCE的体积 20（12 分）已知函数)(ln2)(2Raaxxxxf.(1)当0a时，求)(xf的单调区间；(2)若函数maxxfxg)()(在1,ee上有两个零点，求实数m的取值范围.21（12 分）已知平面四边形 ABDC 中，对角线 CB 为钝角ACD的平分线，CB 与 AD相交于点 O，5AC，7AD，1cos5ACD.(1)求 CO 的长；(2)若BCBD，求ABD的面积.22（12 分）已知函数1()elnlnxf xaxa（1）当ae时，求曲线 yf x在点 1,1f处的切线与两坐标轴围成的三角形的面
11、积；（2）若不等式 1fx 恒成立，求 a 的取值范围试卷第 1 页，共 16 页学科网（北京）股份有限公司山西大学附中20232024 学年第一学期高三 10 月月考（总第四次）数 学 试 题数 学 试 题考查时间：120 分钟 满分：150 分 考查内容：高考综合命题人：吴晨晨 审核人：张耀军一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1
12、若复数z满足1)21(zi，则z的共轭复数是（）A12i55B12i55C12i55D12i55【答案】C【详解】11 21212555izii，所以1255zi，故选：C2若集合|23Axx，|RBx xbb，则AB的充要条件是（）A3b B23b C2b D2b【答案】D【详解】因为集合|23Axx，|RBx xbb，若AB，利用数轴，可求2b，故选：D.3二项式612xx展开式的常数项为（）A160B60C120D240【答案】B【详解】612xx展开式的通项为：3266rr61661C2C21rrrrrrTxxx，令3602r得：4r，所以展开式的常数项为2644C2160，故选：B4
13、.某玻璃制品厂需要生产一种如图 1 所示的玻璃杯，该玻璃杯造型可以近似看成是一个圆柱挖去一个圆台得到，其近似模型的直观图如图 2 所示（图中数据单位为 cm），则该玻璃杯所用玻璃的体积（单位：3cm）为（）试卷第 2 页，共 16 页 A436B476C516D556【答案】A【详解】依题意，该玻璃杯所用玻璃的体积为222313343()6()11 423226 .故选：A5若,ln,ln,lncebeaecba则（）Acba Bbca Cacb Dcab【答案】B【详解】在同一直角坐标系中作出xyxyeyeyxxln,ln,的图象：由图象可知bca故选：B6有 6 名选手（含选手甲、乙）参加
14、了男子 100 米赛跑决赛（无并列名次），则在甲比乙快的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为（）A21B61C31D41【答案】C试卷第 3 页，共 16 页学科网（北京）股份有限公司【详解】甲的名次比乙高，当甲第一名时，乙有 5 种位置，其中甲乙相邻有 1 种情况，当甲第二名时，乙有 4 种位置，其中甲乙相邻有 1 种情况，当甲第三名时，乙有 3 种位置，其中甲乙相邻有 1 种情况，当甲第四名时，乙有 2 种位置，其中甲乙相邻有 1 种情况，当甲第五名时，乙有 1 种位置，其中甲乙相邻有 1 种情况，所以甲的名次比乙高共有5432 115 种情况，甲的名次比乙高且甲乙相邻有 5 种情况，所以在
15、甲的名次比乙高的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为51153.故选：C.公众号：高中试卷君7已知nS是等比数列 na的前n项和，且12nnSa，则12231011a aa aa a（）A23283B13283C20213D25283【答案】A【详解】因为12nnSa，所以114aSa，32221224aSSaa，43332228aSSaa，又 na是等比数列，所以2213aa a，即248 4a，解得2a ，所以122nnS当2n 时，1122222nnnnnnaSS，又12a 满足2nna，所以，22121242nnnnnnnnaaaaaa，故数列1nnaa是公比为4，首项为122 48a
16、a 的等比数列，所以1023122310118 1 4281 43a aa aa a故选：A.8 设椭圆2222:1xyCab）（0 ba的右焦点为 F，椭圆 C 上的两点 A、B 关于原点对称，且满足0FA FB ，3FBFAFB，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A5,13B210,24C2,312D31,1【答案】B【详解】如图所示：设椭圆的左焦点F，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF为平行四边形，试卷第 4 页，共 16 页又0FA FB ，则FAFB，所以平行四边形AFBF为矩形，故2ABFFc，设AFn，AFm，则BFn，在直角ABF中，2mna，2224mnc，所以222222
17、2444mnmnmnacb，则22mnb，所以22222mnmncnmmnb+=，令mtn，得2212cttb，又由3FBFAFB，得1,3mtn，因为对勾函数1ytt 在1,3上单调递增，所以2221102,3ctbt ，所以 2251,3cb，即2222222511,3aabcbbb，则2282,3ab，故223 1,8 2ba，所以222101,24cbeaa，所以椭圆离心率的取值范围是210,24.故选：B.二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 5 分，选对但不全得 2 分，有选错得 0 分.9两名同学在
18、一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则不符合这一结果的试验是（）A抛一枚硬币，正面朝上的概率B掷一枚正六面体的骰子，出现 1 点的概率C转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率D从装有 2 个红球和 1 个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率【答案】ABC【详解】解：根据统计图可知，实验结果在0.33附近波动，即其概率0.33P，则选项 A，掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为12，故此选项不符合题意；选项 B，掷一枚正六面体的骰子，出现 1 点的概率为16，故此选项不符合题意；选项 C，转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率为23，故此选项不符合题意；试
19、卷第 5 页，共 16 页学科网（北京）股份有限公司选项 D，从装有 2 个红球和 1 个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率为13，故此选项符合题意；故选：ABC.10函数 sin0,0,02f xAxA的部分图象如图所示，将 f x的图象向左平移6个单位长度得函数 g x的图象，则（）A2B g x的图象关于点,0对称C g x在2 5,36上单调递增D g x在0,上有两个极值点【答案】AC【详解】A 选项，设 f x的最小正周期为T，由图象知1151121222T，解得T，因为0，所以2，所以2，故 A 正确；B 选项，由5012f，得522,12kkZ，解得2 Z6kk，又02，所
20、以只有6符合要求；由 01f，得sin16A，故2A，所以 2sin 26f xx，所以 2sin 22sin 22cos2662g xxxx.由2g 得 g x的图象不关于点,0对称，故 B 不正确；C 选项，由2 22 Zkxkk，得Z2kxkk，即 g x的单调递增区间为,Z2kkk，令1k，得,2x，又2 5,362，故 g x在2 5,36上单调递增，故 C 正确；试卷第 6 页，共 16 页D 选项，当0,x时，20,2x，由于2cosyz在0,2z上，只有z 为极小值点，故 g x在0,上仅有一个极值点，故 D 不正确.故选：AC.11.已知函数 f x的定义域为,2 2，其导函
21、数为 fx.若 sincosxf xxfxx，且 00f，则（）A f x是减函数B f x是增函数C f x有最大值D f x没有极值【答案】BD【详解】因为 cossinfxxxf xx，所以 cossinsinfxxf xxxx，设 cosg xf xx，则 singxxx，因为,2 2x，所以 sin0gxxx恒成立，所以 yg x在,2 2上单调递增，又因为 00f，所以 00 cos00gf，所以当,02x 时，0g x，当0,2x时，0g x，2cossincoscosg xgxxg xxfxxx，当,02x 时，0g x，0gx，cos0 x，sin0 x，故()0fx恒成立；
22、当0,2x时，0g x，0gx，cos0 x，sin0 x，故()0fx恒成立.所以 0fx在,2 2上恒成立，故 yf x在,2 2上单调递增.故选：BD.12.已知三棱锥ABCD的棱长均为 6，其内有n个小球，球1O与三棱锥ABCD的四个面都相切，球2O与三棱锥ABCD的三个面和球1O都相切，如此类推，.，球nO与三棱锥ABCD的三个面和球1nO都相切（2n，且*nN），球nO的表面积为nS，体积为nV，则（）A168V B338S C数列 nV是公比为18的等比数列D数列 nS的前 n 项和为18 14n【答案】BCD【详解】如图所示，AO是三棱锥ABCD的高，O是三角形BCD的中心，试
23、卷第 7 页，共 16 页学科网（北京）股份有限公司设三棱锥ABCD的棱长均为a，所以323233OBaa，222236()33AOABOBaaa.1O是三棱锥ABCD的内切球的球心，1O在AO上，设三棱锥ABCD的外接球半径为R，球nO的半径为nr，则由22211O BOOOB，得22263()()33RaRa，得64Ra.所以116663412rAOAOaaa，又6a，所以162r，所以3311446332Vr6.故 A 不正确；在AO上取点E，使得11612EOra，则16662366AEAOraaa，即E为AO的中点，则球2O与球1O切于E，过E作与底面BCD平行的平面，分别与,AB
24、AC AD交于111,B C D，则球2O是三棱锥111ABC D的内切球，因为E为AO的中点，所以三棱锥111ABC D的棱长是三棱锥ABCD的棱长的一半，所以球2O的内切球的半径2112rr，以此类推，所以 nr是首项为62，公比为12的等比数列，所以1616()222nnnr，368r，22336448Sr38，故 B 正确；所以343nnVr，3311311()28nnnnVrVr，即数列 nV是公比为18的等比数列，故 C 正确；24nnSr166444nn，12211116(1+)444nnSSS1146114n18(1)4n，故 D 正确.故选：BCD三、填空题：本大题共 4 小
25、题，每小题 5 分，共计 20 分.试卷第 8 页，共 16 页13已知向量a、b满足abab，则ab与a的夹角是_【答案】6【详解】因为abab，则2222aa bba ，所以，22cos,0baba b，所以，1cos,2a b ，则2223cos,2abaaa baaba ba ，又因为2222222cos,3ababaa bbaaba bba ，所以，22332cos,23aabaab aabaa，因为0,ab a，因此，,6ab a.14.在ABC中，角,A B C所对的边为cba,，且222sinsinsin sinsinBCBCA，5,7ba，则c_.【答案】3【详解】由222s
26、insinsin sinsinBCBCA可知，利用正弦定理可得222bcbca，将75ab，代入可得225549cc，整理可得25240cc，解得3c 或8c （舍）；即3c.故答案为：315.若正实数ba,满足1ba，则2122baab的最小值为_.【答案】41【详解】根据已知1ba，所以4)2()1(ba，所以 212141212222baabbabaab41412412112412222222babababbaaabba,当且仅当5253ba，时取等号.16新冠病毒肺炎疫情防控难度极大，某地防疫防控部门决定进行全面入户排查 4 类人员：新冠患者、疑似患者、普通感冒发热者和新冠密切接触者，
27、过程中排查到一户 6 口之家被确认为新冠肺炎密切接触者，按要求进一步对该 6 名成员逐一进行核糖核酸检测，若出现阳性，则该家庭定义为“感染高危户”，设该家庭每个成员检测呈阳性的概率相同均为01pp，且相互独立，该家庭至少检测了 5 人才能确定为“感染高危户”的概率试卷第 9 页，共 16 页学科网（北京）股份有限公司为 fp，当0pp时，fp最大，此时0P _【答案】613【详解】由题意可得，该家庭至少检测了 5 人才能确定为“感染高危户”，则前 4 人检测为阴性，第 5 人为阳性或前 5 人检测为阴性，第 6 人为阳性，由相互独立事件同时发生的概率公式，得45()(1)(1)f pp pp
28、p 3445()4(1)(1)5(1)(1)fppppppp 33236362(1)312(1)336pppppp令()0fp，即336362(1)033ppp，解得1p(舍)或363p（舍）或363p.当3603p时，()0fp；当3613p时，()0fp；所以函数 fp在360,3上单调递增，在36,13上单调递减；当363p时，函数 fp取得极大值，也是最大值.所以0366133P.故答案为：613.四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10 分）等
29、差数列na的前 n 项和为nS，数列 nb是等比数列，满足13a，11b，2210bS，5232.aba(1)求数列na和 nb的通项公式;(2)令2,nnnnScb n为奇数为偶数设数列 nc的前 n 项和为nT，求2.nT【答案】(1)解：设数列na的公差为 d，数列 nb的公比为 q，则由13a，11b，2210bS，5232aba，得331034232qddqd，解得2d，2q，21nan，12nnb；试卷第 10 页，共 16 页(2)解：由(1)可得，(2)nSn n，则12,(2)2,nnnn ncn为奇数为偶数，即111,22,nnncnnn为奇数为偶数，213521242(.
30、)(.)nnnTccccccc111(1)()33532111()(22.2)2121nnn12(1-4)1211-4nn 22(41).213nnn 18（12 分）信用是指依附在人之间、单位之间和商品交易之间形成的一种相互信任的生产关系和社会关系.良好的信用对个人和社会的发展有着重要的作用.某地推行信用积分制度，将信用积分从高到低分为五档，其中信用积分超过 150 分为信用极好；信用积分在120,150内为信用优秀；信用积分在100,120内为信用良好；信用积分在80,100内为轻微失信；信用积分不超过 80 分的信用较差.该地推行信用积分制度一段时间后，为了解信用积分制度推行的效果，该地
31、政府从该地居民中随机抽取 200 名居民，并得到他们的信用积分数据，如下表所示.信用等级信用极好信用优秀信用良好轻微失信信用较差人数2560653515(1)从这 200 名居民中随机抽取 2 人，求这 2 人都是信用极好的概率.(2)为巩固信用积分制度，该地政府对信用极好的居民发放 100 元电子消费金；对信用优秀或信用良好的居民发放 50 元消费金；对轻微失信或信用较差的居民不发放消费金.若以表中各信用等级的频率视为相应信用等级的概率，现从该地居民中随机抽取 2 人，记这 2人获得的消费金总额为 X 元，求 X 的分布列与期望.【答案】（1）从这 200 名居民中随机抽取 2 人，共有22
32、00C种不同抽法，其中符合条件的不同抽法有225C，则所求概率2252200C25 123C100 199199P.（2）从该地居民中随机抽取 1 人，则这人获得 100 元电子消费金的概率是18，获得 50元电子消费金的概率是58，没有获得电子消费金的概率是14.由题意可知 X 的所有可能取值为 0，50，100，150，200.11104416P X，1215550C4816P X，试卷第 11 页，共 16 页学科网（北京）股份有限公司12115529100C488864P X，12155150C8832P X，1112008864P X，则 X 的分布列为X050100150200P1
33、165162964532164故15295117505010015020016166432642E X.19（12 分）长方形ABCD中，22 2ABAD，点E为CD中点（如图 1），将点D绕AE旋转至点P处，使平面PAE 平面ABCE（如图 2）(1)求证：PAPB；(2)点F在线段PB上，当二面角FAEP大小为4时，求四棱锥FABCE的体积【答案】（1）证明：在长方形ABCD中，22 2ABAD，E为CD中点，2AEBE，AEBE，平面PAE 平面ABCE，平面PAE 平面ABCEAE，BE 平面ABCE，BE平面PAE，AP平面PAE，BEPA，又PAPE，BE 平面PBE，PE 平面P
34、BE，PEBEE，PA平面PBE，PB平面PBE，PAPB.（2）试卷第 12 页，共 16 页如图，取AE的中点O，AB的中点G，连接,OP OG，由题意可得,OP OG OA两两互相垂直，以O为坐标原点，以OA，OG，OP分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则1,0,0A，1,0,0E，1,2,0B，0,0,1P，设PFPB ，则,2,1F，设平面FAE的一个法向量为,mx y z，则00m AEm AF ，201210 xxyz，令1y，得21z，20,1,1m，又BE 平面PAE，0,2,0nEB 是平面PAE的一个法向量，222cos,42121m nm nm n ，令2222
35、242121，解得13或1（舍）.即F为PB的靠近P的三等分点时，二面角FAEP的平面角为4，PO 平面ABCE，且1PO，公众号：高中试卷君F到平面ABCE的距离为23，又四边形ABCE的面积为 3，四棱锥FABCE的体积11223.3333FABCEABCEVSh 20（12 分）已知函数)(ln2)(2Raaxxxxf.(1)当0a时，求)(xf的单调区间；(2)若函数maxxfxg)()(在1,ee上有两个零点，求实数m的取值范围.【答案】（1）当0a时，)0(ln2)(2xxxxf，则，)0()1)(1(222)(xxxxxxxf令0)(xf得10 x，所以)(xf的单调递增区间为)
36、1,0(令0)(xf得1x，所以)(xf的单调递减区间为)1(，（2）22lng xf xaxmxxm，则 21122xxgxxxx，试卷第 13 页，共 16 页学科网（北京）股份有限公司1,eexQ，由=0gx，得=1x.当11ex，0gx，函数 g x单调递增，当1ex时，0gx，函数 g x单调递减，故当=1x时，函数 g x取得极大值 11gm，又2112eegm，2e2egm，且 1eegg，g xf xaxm在1,ee上有两个零点需满足条件 21=1011=20eegmgm，解得2112em故实数m的取值范围是211,2e.21.（12 分）已知平面四边形 ABDC 中，对角线
37、CB 为钝角ACD的平分线，CB 与 AD相交于点 O，5AC，7AD，1cos5ACD.(1)求 CO 的长；(2)若BCBD，求ABD的面积.【答案】（1）在ACD中，由余弦定理得225491cos2 55CDACDCD ，解得4CD 或6CD （舍去）.因为1cos5ACD，所以2 6sin5ACD.所以2cos1 2sinACDACO，解得15sin5ACO（负值舍去），所以15sinsin5DCOACO.因为ACDACODCOSSS，所以111sinsinsin222CA CDACDCA COACOCD CODCO.试卷第 14 页，共 16 页所以12 61151155 45425
38、2525COCO .所以8 109CO.（2）在ACD中，由正弦定理可得57sinsinsin2 65ACADADCACDADC，则2 6sin7ADC，由于ADC为锐角，所以5cos7ADC.因为BDBC，所以BDCBCD，所以15sinsin5BDCBCD，所以10cos5BDC，由余弦定理可得22210162cos528CDBDBCBDCCD BDBDBD，解得10BDBC.因为5cos7ADC，所以sinsinsincoscossinADBBDCADCBDCADCBDCADC155102156575735，所以11156sin71022352ABDSDA DBADB.22（12 分）已
39、知函数1()elnlnxf xaxa（1）当ae时，求曲线 yf x在点 1,1f处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式 1fx 恒成立，求 a 的取值范围【答案】（1）()ln1xf xexQ，1()xfxex，(1)1kfe.(1)1feQ，切点坐标为(1,1+e),函数 f x在点(1,f(1)处的切线方程为1(1)(1)yeex,即12yex,切线与坐标轴交点坐标分别为2(0,2),(,0)1e,所求三角形面积为1222|=211ee（2）方法一：通性通法1()lnlnxf xaexaQ,11()xfxaex，且0a.设()()g xfx,则121()0,xg xaexg
40、(x)在(0,)上单调递增，即()fx在(0,)上单调递增，当1a 时，()01f,11minf xf,1fx 成立.试卷第 15 页，共 16 页学科网（北京）股份有限公司当1a 时，11a，111ae，111()(1)(1)(1)0affa eaa,存在唯一00 x，使得01001()0 xfxaex，且当0(0,)xx时()0fx，当0(,)xx时()0fx，0101xaex，00ln1lnaxx ，因此01min00()()lnlnxf xf xaexa000011ln1ln2ln122ln1axaaxaxx 1,1,f x 1fx 恒成立；当01a时，(1)ln1,faaa(1)1,
41、()1ff x不是恒成立.综上所述，实数 a 的取值范围是1,+).方法二【最优解】：同构由()1f x 得1elnln1xaxa，即ln1ln1lna xeaxxx ，而lnlnlnxxxex，所以ln1lnln1lna xxeaxex 令()mh mem，则()10mh me，所以()h m在 R 上单调递增由ln1lnln1lna xxeaxex ，可知(ln1)(ln)haxhx，所以ln1lnaxx，所以maxln(ln1)axx令()ln1F xxx，则11()1xF xxx 所以当(0,1)x时，()0,()F xF x单调递增；当(1,)x时，()0,()F xF x单调递减
42、所以max()(1)0F xF，则ln0a，即1a 所以 a 的取值范围为1a 方法三：换元同构由题意知0,0ax，令1xaet，所以ln1lnaxt，所以lnln1atx于是1()lnlnlnln1xf xaexatxtx 由于()1,lnln11lnlnf xtxtxttxx ，而lnyxx在,()0 x时为增函数，故tx，即1xaex，分离参数后有1xxae令1()xxg xe，所以1112222(1)()xxxxxexeexg xee当01x时，()0,()g xg x单调递增；当1x 时，()0,()g xg x单调递减所以当1x 时，1()xxg xe取得最大值为(1)1g所以1a
43、 方法四：因为定义域为(0,)，且()1f x，所以(1)1f，即ln1aa令()lnS aaa，则1()10S aa，所以()S a在区间(0,)内单调递增因为(1)1S，所以1a 时，有()(1)S aS，即ln1aa下面证明当1a 时，()1f x 恒成立令1()lnlnxT aaexa，只需证当1a 时，()1T a 恒成立试卷第 16 页，共 16 页因为11()0 xT aea，所以()T a在区间1,)内单调递增，则1min()(1)lnxT aTex因此要证明1a 时，()1T a 恒成立，只需证明1min()ln1xT aex即可由1,ln1xexxx，得1,ln1xexxx
44、 上面两个不等式两边相加可得1ln1xex，故1a 时，()1f x 恒成立当01a时，因为(1)ln1faa，显然不满足()1f x 恒成立所以 a 的取值范围为1a【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数 f x的单调性，求出其最小值，由min0f即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；方法二：利用同构思想将原不等式化成ln1lnln1lna xxeaxex ，再根据函数()mh mem的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；方法三：通过先换元，令1xaet，再同构，可将原不等式化成lnlnttxx，再根据函数lnyxx的单调性以及分离参数法求出；方法四：由特殊到一般，利用(1)1f可得a的取值范围，再进行充分性证明即可