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1、第五章第五章 三角函数三角函数5.2.2同角三角函数的基本关系课标要求课标要求1.1.理理解解同同角角三三角角函函数数的的基基本本关关系系式式.2.2.会会用用同同角角三三角角函函数数的的基基本本关关系系式进行三角函数式的求值、化简和证明式进行三角函数式的求值、化简和证明.素养要求素养要求通通过过同同角角三三角角函函数数式式的的应应用用，重重点点提提升升学学生生的的数数学学抽抽象象、逻逻辑辑推推理理、数学运算素养数学运算素养.问题导学预习教材必备知识探究 1互动合作研析题型关键能力提升2拓展延伸分层精练核心素养达成3内容索引CONTENTS问题导学预习教材问题导学预习教材 必备知识必备知识探究
2、探究WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU一、同角三角函数的基本关系一、同角三角函数的基本关系1.1.问题计算下列式子的值：问题计算下列式子的值：(1)sin(1)sin2 200coscos2 200；(2)sin(2)sin2 24545coscos2 24545；(3)sin(3)sin2 26060coscos2 260.60.由此你能得出什么结论？由此你能得出什么结论？提示提示3 3个式子的值均为个式子的值均为1.1.猜想：设任意角猜想：设任意角，有，有sinsin2 2coscos2 21.1.索引3.3.填空填空(
3、1)(1)同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系平方关系：平方关系：sinsin2 2coscos2 2_.1 1语言叙述：同一个角语言叙述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于的正弦、余弦的平方和等于1 1，商等于角，商等于角的的_.(2)(2)同角三角函数基本关系的变形同角三角函数基本关系的变形sinsin2 2_；coscos2 2_.sin sin _；cos cos 正切正切1 1coscos2 21 1sinsin2 2cos cos tan tan 温温馨馨提提醒醒注注意意“同同角角”，这这里里“同同角角”有有两两层层含含义义，一一是是“角角相相同同”，二二是是对对“任任意意”
4、一一个个角角(在在使使函函数数有有意意义义的的前前提提下下)关关系系式式都都成成立立，即即与与角角的的表表达达形形式式无无关关，如如sinsin2 23 3coscos2 23 31 1成成立立，但但是是sinsin2 2coscos2 21 1就就不不一一定定成立成立.4.4.思考辨析正确的在后面的括号内打思考辨析正确的在后面的括号内打“”“”，错误的打，错误的打“”.“”.B B二、二、sin sin cos cos，sin sin cos cos 之间的关系之间的关系1.1.问问题题利利用用sinsin2 2coscos2 21 1，你你能能否否发发现现(sin(sin cos cos)
5、2 2与与sin sin cos cos 的关系？能否用的关系？能否用sin sin cos cos 表示表示sin sin cos cos？提提示示(sin(sin cos cos)2 21 12sin 2sin cos cos，1 12sin 2sin cos cos(sin(sin cos cos)2 2.解析左边解析左边1 12sin 2sin cos cos 1 12sin 2sin cos cos 2.2.2.2.填空填空(sin(sin cos cos)2 2(sin(sin cos cos)2 2_._.2 2C CHU DONG HE ZUO YAN XI TI XING G
6、UAN JIAN MENG LI TI SHENG互动合作互动合作研研析析题型题型 关键关键能力提升能力提升2 2题型一基本关系的简单应用题型一基本关系的简单应用是第二或第三象限角是第二或第三象限角.(1)(1)当当是第二象限角时，则是第二象限角时，则索引(1)(1)已知已知sin sin(或或cos cos)求求tan tan 常用以下方式求解常用以下方式求解思维升华思维升华(2)(2)若若没没有有给给出出角角是是第第几几象象限限角角，则则应应分分类类讨讨论论，先先由由已已知知三三角角函函数数的的值值推推出出的终边可能在的象限，再分类求解的终边可能在的象限，再分类求解.索引例例2 2 已知已
7、知tan tan 3 3，求下列各式的值：，求下列各式的值：题型二三角函数式的求值题型二三角函数式的求值角度角度1 1弦切互化求值弦切互化求值函函关于关于sin sin，cos cos 的齐次式的求值方法的齐次式的求值方法(1)(1)关关于于sin sin，cos cos 的的齐齐次次式式，可可以以通通过过分分子子、分分母母同同除除以以cos cos 或或coscos2 2转化为关于转化为关于tan tan 的式子后再求值的式子后再求值.(2)(2)假假如如代代数数式式中中不不含含分分母母，可可以以视视分分母母为为“1”“1”，灵灵活活地地进进行行“1”“1”的的代代换换，由由1 1sinsi
8、n2 2coscos2 2代换后，再同除以代换后，再同除以coscos2 2，构造出关于，构造出关于tan tan 的代数式的代数式.数数思维升华思维升华角度角度2 2sin cos sin cos 型求值问题型求值问题由上知，由上知，为第二象限角，所以为第二象限角，所以sin sin cos cos 00，1.1.已已知知sin sin cos cos，sin sin cos cos 求求值值问问题题，一一般般利利用用三三角角恒恒等等式式，采采用用整体代入的方法求解整体代入的方法求解.2.2.涉及的三角恒等式有：涉及的三角恒等式有：(1)(sin 1)(sin cos cos)2 21 12
9、sin 2sin cos cos；(2(2)(sin)(sin cos cos)2 21 12sin 2sin cos cos；(3)(sin 3)(sin cos cos)2 2(sin(sin cos cos)2 22 2；(4)(sin 4)(sin cos cos)2 2(sin(sin cos cos)2 24sin 4sin cos cos.上上述述三三角角恒恒等等式式告告诉诉我我们们，已已知知sin sin cos cos，sin sin cos cos，sin sin cos cos 中的任何一个，则另两个式子的值均可求出中的任何一个，则另两个式子的值均可求出.思维升华思维升华
10、索引sin sin 3cos 3cos sin sin cos cos，则则sin sin cos cos.因此因此sinsin2 2sin sin cos cos 1 1sinsin2 2coscos2 21 12.2.tan tan 1.1.题型三三角函数式的化简与证明题型三三角函数式的化简与证明角度角度1 1化简三角函数式化简三角函数式1.1.化化切切为为弦弦，即即把把正正切切函函数数都都化化为为正正、余余弦弦函函数数，从从而而减减少少函函数数名名称称，达达到到化化繁为简的目的繁为简的目的.2.2.对对于于含含有有根根号号的的，常常把把根根号号里里面面的的部部分分化化成成完完全全平平方方
11、式式，然然后后去去根根号号达达到到化化简的目的简的目的.思维升华思维升华索引角度角度2 2三角恒等式的证明三角恒等式的证明所以原等式成立所以原等式成立.1.1.证明三角恒等式的常用方法：证明三角恒等式的常用方法：(1)(1)由由繁繁到到简简，从从结结构构复复杂杂的的一一边边入入手手，经经过过适适当当的的变变形形、配配凑凑，向向结结构构简简单单的一边化简，或从等式两边同时入手，使它们等于同一个数的一边化简，或从等式两边同时入手，使它们等于同一个数(式式).).(2)(2)从从已已知知或或已已证证的的恒恒等等式式出出发发，根根据据定定理理、公公式式进进行行恒恒等等变变形形，推推导导出出求求证证的恒
12、等式的恒等式.(3)(3)比比较较法法，证证明明待待证证等等式式的的左左、右右两两边边之之差差为为0.2.0.2.证证明明三三角角恒恒等等式式关关键键在在于于消除差异，有目的的化简消除差异，有目的的化简.思维升华思维升华所以原等式成立所以原等式成立.所以原等式成立所以原等式成立.课堂小结课堂小结拓展延伸分层精练 核心素养达成1第章TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENGA AC CA.A.锐角三角形锐角三角形 B B.钝角三角形钝角三角形C.C.等边三角形等边三角形 D D.等腰直角三角形等腰直角三角形B B由由
13、是三角形的内角，知是三角形的内角，知sin sin 00，cos cos 00，则，则为钝角，为钝角，ABCABC为钝角三角形为钝角三角形.4.4.化简化简sinsin2 2coscos4 4sinsin2 2coscos2 2的结果是的结果是()C C解析原式解析原式sinsin2 2coscos2 2(cos(cos2 2sinsin2 2)sinsin2 2coscos2 21.1.ABAB索引12345678910 11 12 13 14则则tan tan 2.2.2 21 110109.9.已知已知tan tan 2 2，求下列代数式的值：，求下列代数式的值：索引1234567891
14、0 11 12 13 14所以原等式成立所以原等式成立.B B索引12345678910 11 12 13 14索引12345678910 11 12 13 14(2)(2)任任取取一一个个的的值值，分分别别计计算算sinsin4 4coscos4 4，sinsin2 2coscos2 2，你你又又有有什什么发现？么发现？则有则有sinsin4 4coscos4 41 1；sinsin2 2coscos2 21.1.(3)(3)证明证明 x xR R，sinsin2 2x xcoscos2 2x xsinsin4 4x xcoscos4 4x x.证明对于任意实数证明对于任意实数x x，都有，都有sinsin2 2x xcoscos2 2x x(sin(sin2 2x xcoscos2 2x x)(sin)(sin2 2x xcoscos2 2x x)sinsin4 4x xcoscos4 4x x.索引12345678910 11 12 13 14三、创新拓展索引12345678910 11 12 13 14