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1、空间向量基本定理 人教A版（2019）选择性必修第一册 (3227)1. 下列说法中正确的是（）A.已知则B.为空间四点，若不构成空间的一个基底，则不共面C.已知则与任何向量都不构成空间的一个基底D.若共线，则所在直线平行或者重合知识点：空间向量基本定理的理解空间向量的数量积答案：A ； D解析：对于若则 故 故正确； 对于若不构成空间的一个基底，则这个向量共面， 故共面，故错误； 对于当时，若与不共面，则为空间的一个基底， 故错误； 对于根据向量共线的定义可得与所在直线平行或重合，故正确. 故选.2. 已知空间中四个点在下列说法中，能使为空间的一个基底的是（）A.四点不共线B.四点共面，但不
2、共线C.四点中任意三点不共线D.四点不共面知识点：共面向量定理空间向量基本定理的理解答案：D解析：由空间向量基底的定义知，若为空间的一个基底，则这三个向量不共面， 但选项中的说法都有可能使共面. 故选.3. 对空间任意一点，则四点（）A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.无法判断知识点：共面向量定理空间向量基本定理的应用答案：B解析：由于 故四点一定共面，故选.4. 为空间的一个基底，则下列各项中，能构成空间的基底的是（）A.B.C.D.知识点：空间向量基本定理的理解答案：C解析：因为所以共面，故选项不能构成空间的基底. 因为所以共面，故选项不能构成空间的基底. 因为不共面，所以可以构成
3、空间的基底，故选项满足题意. 因为所以共面， 故选项不能构成空间的基底. 故选.5. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若则（）A.B.C.D.知识点：空间向量基本定理的应用答案：A解析：. 故选.6. 在正四面体中是上的点，且是的中点，若则的值为.知识点：空间向量基本定理的应用空间向量的线性运算答案：解析：连接如图所示，易得可得 故.7. 已知点为三棱锥的底面所在平面内一点，且则的值可能为（）A.B.C.D.知识点：共面向量定理空间向量的线性运算答案：C解析：且共面， 即 观察各选项，只有选项中符合， 故选.8. 如图所示，在直三棱柱中，则（）A.B.C.D.知识点：异面直线所成的角用空间向
4、量研究两条直线所成的角答案：D解析：易得设这三个向量不共面且两两垂直，则为空间的一个单位正交基底， 易知，9. 在四面体中在内在内，且满足若则下列说法中正确的是（）A.与所在直线是异面直线B.与所在直线平行C.线段与必相交D.线段与延长后相交知识点：空间两直线的共面、异面问题空间向量基本定理的应用答案：C解析：若则所以 所以四点共面；若则则设则 所以 所以四点共面.易知与不平行，线段与必相交.故选.10. 下列关于空间向量的说法中，正确的有（）A.若向量与空间中任意向量都不能构成基底，则B.若非零向量满足则有C.若是空间的一个基底，且则四点共面D.若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底知识点
5、：共面向量定理空间向量基本定理的应用向量在几何中的应用举例空间向量的线性运算空间向量共线定理答案：A ； C ； D解析：对于若向量与空间中任意向量都不能构成基底，则为共线向量，即，故正确；对于若非零向量满足则与不一定共线，故错误；对于若是空间的一个基底，且则即所以四点共面，故正确；对于若是空间的一个基底，则对空间中任意一个向量存在唯一实数组使得则也是空间的一个基底，故正确.故选.11. 已知是空间中的点，则“不共面”是“向量与向量不共线”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件知识点：共面向量定理空间向量基本定理的理解答案：A解析：当向量与向量共线时，存
6、在使得即所以共面； 当共面时，如图所示，此时向量不共线，即与向量不共线“共面”是“向量与向量共线”的必要不充分条件， “不共面”是“向量与向量不共线”的充分不必要条件，故选.12. 已知是空间的一个单位正交基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的表示为则在基底下的表示为.知识点：空间向量基本定理的理解空间向量的线性运算答案：解析：向量在基底下的表示为 故在基底下的表示为.13. 如图，平行六面体中与相交于点设则(1) (用表示)；(2) 若向量是两两夹角均为的单位向量，则.知识点：空间向量基本定理的应用空间向量的数量积空间向量的线性运算空间向量数量积的性质答案：(1) (2) 解析：(1)
7、平行六面体中， 所以.(2) 因为向量是两两夹角均为的单位向量，所以 所以所以.14. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是且它们彼此的夹角都是为与的交点.设.(1) 用表示；(2) 求的长；(3) 求.知识点：空间向量基本定理的应用空间向量的夹角空间向量的数量积空间向量的线性运算空间向量数量积的性质答案：(1) 连接如图所示，.底面是平行四边形，且.为的中点，.(2) 以顶点为端点的三条棱长都是且它们彼此的夹角都是由可知故的长为.(3) .解析：(1) 略(2) 略(3) 略15. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面底面，且，若分别为的中点(1) 求证：平面；(2) 求证：平面知
8、识点：直线与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的性质定理直线与平面平行的判定定理空间向量数量积的性质答案：(1) 方法一：连结，在矩形中，是的中点，则是的中点，又是的中点，在中，又平面平面，平面方法二：连接 所以 所以向量共面，又平面平面所以平面.(2) 方法一：平面平面，平面平面，平面，又由矩形得，平面，又是等腰直角三角形，且平面平面，平面方法二：因为侧面底面侧面底面所以平面所以.设则即所以所以所以由平面可得平面.解析：(1) 略(2) 略16. 已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是则的取值范围为（）A.B.C.D.知识点：空间向量的数量积空间向量的线性运算答案：
9、B解析：设正方体内切球的球心为连接则 为球的直径，又在正方体表面上运动， 当为正方体的顶点时最大，最大值为；当为内切球与正方体的切点时，最小，最小值为. 即的取值范围为. 故选.17. 已知是空间中的两个单位向量，.若空间向量满足，且对于任意，则，知识点：空间向量基本定理的应用空间向量的数量积空间向量数量积的性质答案：； ； 解析：由题意可令， 其中. 由 得， 由 得 ， 解得 .18. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形.(1) 设试用基底表示向量；(2) 证明：四面体中至少存在一个顶点，从其出发的三条棱的长度能够作为一个三角形的三条边的长.知识点：空间向量基本定理的应用空间向量的线性运算答案：(1) 由题知所以 .(2) 证明：不妨设是四面体中最长的棱，则在中，所以所以所以中至少有一个大于不妨设所以的长度可以作为三角形的三条边的长.解析：(1) 略(2) 略