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1、2021.2022学年辽宁省沈阳市同泽高级中学高一（下）期中数学试卷一、单 选 题（本大题共8 小题，共 40.0分）1.co s 20co s 250 cos7 0 sin25 0=（）A.三B.在2C-TD.12.己知|五|=1,|3|=2，且五l +），则五在方上的投影向量为（）A.-bB.bc.T4D.评43.设 a=co s 6。-V-3s i.?i,6o，b,_ 2t an l3。292 l-t an21 3Il-cos5 0 0C-J 2，则有（）A.a b cB.a b cC.a c bD.b c b,则Q+i b +iC.x2+y2=0,则x =y=0D.两个虚数不能比较大小
2、1 0.下列命题为真命题的是()A.函数y=t an x在定义域内是单调增函数B.函数f(x)=4 s勿(2x +勺的表达式可以改写成/(无)=4cos(2x-=)C.y=s in|%|是最小正周期为的偶函数D.若一扇形弧长为2,圆心角为9 0。，则该扇形的面积为之7 T1 1.在4 BC中，a,b,c分别为乙4,乙 B,4 C的对边，下列叙述正确的是()A.若 唉=一三，则 A BC为等腰三角形COSB COSAB.若力=30。，b =4,a=3,则A BC有两解C.若t cm A +tanB+tanC 0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图像.若g(x)在 麻 壬 上没有零点，则3的取值
3、范围_.第2页，共1 4页四、解答题(本大题共6 小题，共 70 0 分)17.复数Z=一 市 一6+(机2 _ 2机 _ 15)/.m+3 7(1)当血为何值时，Z是纯虚数.(2)当TH 为何值时，Z为实数？18.已知 ABC中角A,B,C的对边分别是a,b,c,且汝九4+tanB+V3=y/3tanAtanB-求 tcmC；(2)若c=4,a+b=8,求ABC的面积.19.已知向量五=(当,cos(2x-g),b=(s in 2 x,-i),设/(%)=百不.(1)求f (%)的单调递增区间；(2)若关于x的不等式/(%)-m sin26=sin26 0,ii-：5。=s%2 5,v si
4、n240 sin25 0 sin26 0,：a V c s in2 6。，c=s m2 5 ,再由第4 页，共 14页正弦函数的单调性，得解.本题考查三角恒等变换的综合应用，熟练掌握二倍角公式、辅助角公式，以及正弦函数的单调性是解题的关键,考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.4.【答案】A【解析】解：由 正 弦 定 理 号=七，得sim4=吧 里=每，stnA sinB b 8若48C有两解，X 4则八,缶，1，4 V x V 4A/20 1.x的取值范围为（4,4位）.故选：A.由正弦定理求出sizM,再由三角形有两解，列出不等式组即可得出.本题考查了解三角形、不等式的解
5、法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.5.【答案】C解析】解：cos2/l+COS2B=1Hs2+比广g=i+g（cos24+cos2B）v,2A+2B 2A-2B=1+COS-COS-2 2=1 +cos（i4+B）cos（X 5）,+B=拳 cos27l+COS2B=14-cos与 cos（2A 争=1 1COS（271-y）,.COS（2/l-y）e -l,l,A cos2/l+COS2F 6L2 2J故选：c.通过二倍角降基公式化简，再利用和差化积公式以及A+B=早将COS2A+COS2B,化简为l-g c o s（24 半），根据余弦函数的性质得出答案.本题主要考查的是三角函数中
6、的二倍角以及和差化积公式的应用，属于中档题.6.【答案】B【解析】解：.当 W -U 时 ，sinx=y等价于=arcsiny,lmsinx=，等价于=.1arcsin-.3若角a,6 一 屋 且戊=arctan*/?=arcsin(-|),tana,sin/3=|,sina=,cosa=cos=_ siM/?=g13 5 12 13 5则 sin(a+/?)=sinacosp+cosasinp=-x-4-x(-|)=,12 5 13 5 65故 选:B.由题意，利用新定义，同角三角函数的基本关系式，两角和的正弦公式，求得sin(a+6)的值.本题主要考查新定义，同角三角函数的基本关系式，两角
7、和的正弦公式的应用，属于中档题.7.【答案】A【解析】解:由正弦定理及2asin4+csinC=bsinB,H2a2+c2=b2,由余弦定理得，cosZ=b-2 =肉/一 丁 =L N 23bc=也2bc 2bc 2bc-4bc 2当且仅当b=V5c时，等号成立，所以0 4 s ，即角4的最大值为？O O故 选:A.利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理与基本不等式，得解.本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，以及基本不等式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.8.【答案】C【解析】解：设M,N分别为4B,8C的中点，：(OA+0B)-AB=(OB+0C)-BC=0,20
8、M-AB=0,2 ON-BC=0,OM,ON是边AB,BC的中垂线，OA=OB=OC,0是4 ABC的外心，M -=AO-(AC-AB=AO-AC-AO-AB=|(4 -16)=-6.第 6 页，共 14页故选：c.由题意可知，。是A A B C的外心，利用数量积投影意义即可得到结果.本题考查了数量积投影意义，属于中档题.9.【答案】AD【解析】解：对于4因为产=一1,所以，l +i2 =o,故A正确；对于B,a+i,b +i均为虚数，两个虚数不能比较大小，故2错；对于C,当x =l,y =i时，x2+y2=0,故 C错；对于D,按照复数的定义，两个虚数不能比较大小，力正确.故选：AD.根据复
9、数的定义和复数的乘方，直接计算和判断各个选项即可.本题考查复数的性质，属于中档题.10.【答案】BD【解析】解：函数y =在定义域内不是单调函数，故4错误；v c o s(2x )=c o s2x),且si n(2x +()=c o s(2%),函数/(x)=4s讥(2x +勺的表达式可以改写成f(x)=4c o s(2 x-故8正确；OOy=si n|x|=SX)X-,该函数是偶函数，不是周期函数，故C错误；若一扇形弧长为2,圆心角为9 0 =J弧度，设半径为r,则2=?r,即r =二2 2 7 r该扇形的面积为S=：x 2x =&,故。正确.2 n n故选：BD.由正切函数的单调性判断4利
10、用诱导公式判断8；由函数的奇偶性与周期性判断C；利用弧长公式及面积公式判断D.本题考查命题的真假判断与应用，考查三角函数的图象与性质，考查扇形弧长与面积公式的应用，是基础题.11.【答案】BC D【解析】解：对于4：因为T=由正弦定理得当=注，即s讥24=si n2B,cosB cosA cosB cosA由于4、B为三角形的内角，2A=2 B,或24+2B =/r,即4=B,或A+B =m，AB C为等腰三角形或直角三角形，故A错误；,3 4 2对于B：因为A=30。，b=4,a=3,由正弦定理得，T=可得sinB=,2 3cos A=cosB +V1 sin2B-f，cosC COST T
11、 (4+B)cos(?l+8)sinAsinB-cosAcosB,若cosB=在，B是锐角，则cosC=Z x 2 渔 x 隹=上 正 0,C是锐角,故 3 有两角，故 B 正确;对于C：若taziA+tanB+tanC 0,因为tanC=tan(?l+8)=一tanA+tanB1-tanAtanB9tanA+tanB=tanC(l tanAtanB,tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 0,因为加几 4,tanB,tcmC中必有一个值为负,即4,B,C中必有一个为钝角,所以ABC为钝角三角形，故 C 正确;对于D：a=bsinC+ccosB,由正弦定理得:sinA=sinB
12、sinC+sinC cosB,即sin(B+C)=sinBsinC+sinCcosB,SsinBcosC=sinBsinC,因为sinC H 0,所以cost*=s in C,即 tcmC=1,因为0 3 24 sin0 -,sin20 =2sin(icos(i=,r7cos2p 2 cos2/7 1 =,:.sin(2 a +J =sin(2 a +g ：)=sin(2 ：)=si no2/o 3 cosn-cosc2op sm-=17,故 答 案 为.501 4.【答案】x|x 0【解析】解：根据题意，若山与方的夹角为锐角，则正不 0且弓、至不同向，(a-b=-+2 0 ,则有*，解可得
13、0，即X的取值范围为x|x 0 ；故答案为：已 仇 0 .根据题意，由向量数量积的计算公式可得万不 0且为、方不同向，由此可得关于x的不等式组，解可得答案.本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量夹角的分析，属于基础题.1 5.【答案】4 1 4【解析】解：根据题意作出图形如图所示，可得4 4 =4 5。，4 8 =1 0 5。，4 c=3 0。,设4 B =x,由正弦定理得=白=竿p:.BC =AB-S：A=ax,stnC sinA sinC又轮船总共航行了 1 0 0 0 km.-.V2 x+x=1 0 0 0,故答案为：4 1 4.根据题意作出图形如图所示，可得乙4 =4 5。，/.B
14、=1 0 5 ,4 c=3 0。，设A B =x,由正弦定理可得B C =V x,可求.本题考查解三角形在实际生活中的应用，属基础题.1 6.【答案】(0,|U|弓第10页，共14页【解析】解：由题意，g(%)=2cos(2ax+,)，(3 0),因为g(x)在用)上没有零点，所以半周期 =即0 一(-O)+-所以，M阈 窘解得：0 3 W;或|0 所以，3的取值范围是(0币 U 居.故答案为：(。,|,刍.先根据图象的变换求出g(x),进而结合三角函数的图象和性质求得答案.本题考查利用三角函数的周期求取值范围，属于基础题.17.【答案】解：(1)z=哼詈+(/_ 2m-15)3 z是纯虚数，
15、m2-m-6 _ nm+3 ,解得？n=3或?n=-2.m2 2m 15 H 0(2)；z=7nl蓑6+(而-2m-15)3 z是实数，XX 5=0,解得.【解析】(1)根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解.(2)根据已知条件，结合实数的定义，即可求解.本题主要考查纯虚数和实数的定义，属于基础题.18.【答案】解：(l)i A ABC,tanA+tanB+V3=y/3tanAtanB;整理得：tanC=tan(A+B)=tanA+tanB=祗 屹 加=一百；(2)由于0 C 兀；所以。=拳由余弦定理：c2=a2 4-b2-2abcosC,整理得 c?=(a+b)2 2ab 2abcosC,
16、故 ab=48；所以SMBC=cibsinC=j x 48 x=12/3.【解析】(1)直接利用三角函数的和角的正切值的应用求出C 的值；(2)利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果.本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦定理和三角形面积公式的应用,主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.1 9 .【答案】解：(l)f(x)=a b =sin2x-|cos(2 x=f sin2 x cos2x=|sin(2 x-),由一 +2kn 2%-7 +2k7 i得:+kjr k 植+问 水 6 z；(2)关于x的不等式f(x)-m S。在 一!自恒成立，即f(x)m在 一己
17、,自恒成立，则只需f(x)m a x 即实数m的取值范围是E，+8).【解析】(1)化简解析式后，利用正弦函数的单调区间求解；(2)求/(%)的最大值即可.本题考查了三角函数的单调区间，不等式的恒成立问题，属于中档题.2 0 .【答案】解：(1)由(s讥B +si 7 i C)(b +c)=Qsi 几 4 +b s讥C,得(8 +c)2 =M+儿，即 0 2 =力 2 +be,又 由 余 弦 定 理=匕 2 +c2 -2bccosAf可得co s4 =又A 6 (O,T T),A=拳(2):。是边8。的中点，AD =(AB+AC),A D2=-(AB2+2AB-AC +A C2),N 4又A
18、O =V 3,-1 2 =b2 4-c2-be,第12页，共14页又/+。222儿，当且仅当b =c时等号成立，:.1 2 =62 4-c2-6 c 2bc-be,A be 1 2,A B C b e s i n A 0,所以，ta nB =V 3.故 B =p选 ，由a co sC 4-ccosA=2 b co sB 及正弦定理可得2 si nB co sB =sinAcosC +cosAsinC=si n(4 +C)=sinB,因为8 G(0,7 T),则s出8 0,所以，cosB=I，故B =p选 ，由Qsi zM +(c-d)sinC=b si nB 及正弦定理可得小+c2-a c=h
19、2,由余弦定理可得co sB =吐 4=Z，因为B e(0,/r),故B =g2ac 2 3(2)解：因 为 为 锐 角 三 角 形，且8=；,(0 C S矩 形PGBF=40016-12t+当当 =1 8 0 0()2+1400,t 6 停,我,故当t=当即a=卷时，S矩 形PGBF有最大值1421m2.【解析】本题主要考查了三角函数的实际应用，考查了二次函数的性质，是中档题.(1)过点P作PPi 1。4 PP2 1 O C,由题意可得S版阶GBF=BG PG=(80-60sina)(80-6 0 c o sa),当矩形PGBF为正方形时a=j 代入即可求出结果.(2)由(1)可知S解 形PGBF=BG PG=40016-12(sina+cosa)+9sina-cosa,令sina+cosa=V2sin(a+=t,则t e 哼,夜，sina-cosa=?，从而得到s矩 形PGBF=1 8 0 0(|)2+1400,再利用二次函数的性质即可求出形PGBF的面积SPGBF最大值.第1 4页，共1 4页