《2021-2022学年江苏省无锡市市北高级中学高一（下）期中数学试卷（附答案详解）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2022学年江苏省无锡市市北高级中学高一（下）期中数学试卷（附答案详解）.pdf（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021-2022学年江苏省无锡市市北高级中学高一（下）期中数学试卷一、单 选 题（本大题共8 小题，共 40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面 B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形 D.共点的三条直线确定一个平面2.若复数z满足（l-2 i）z=5,则|z|=（）A.V5 B.5 C.V3 D.33.ABC的两边长分别为2,3,其夹角的余弦值为则其外接圆的半径为（）A.%B.%C.%D.9V22 4 84.在AABC中，若其面积为S,且 荏 前=2V5S，则角4的大小为（）A.30 B,60 C.120 D.1505.埃及
2、胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A#B d4C.包D.96.如图，在三棱锥S-ABC中，SA _ L平面力BC,S4=2,AC=2,BC=1,AACB=9 0,则直线SB与平面S4c所成角的正弦值为（）C.返2D 邈107 .设6 是4 4 B C 的重心，a、b、c 分别是角4、B、C 的对边，且a 而+b 福+c 前=6，则 4=（）A-R -r -n -c 6 0 4 3 28 .已知三棱锥PA B C 的高为1,底面 A B C 为等边三
3、角形，PA =PB =P C,且P,A,B,C都在体积为竽的球。的表面上，则该三棱锥的底面 A B C 的边长为（）A.竽 B.V3 C.3 D.2 V3二、多 选 题（本大题共4小题，共 2 0.0 分。在每小题有多项符合题目要求）9 .已知m,7 1 是两条不重合的直线，a,B，y 是三个两两不重合的平面，下列命题是真命题的有（）A.若m l a,m l/?,贝 i j a/?B.若 mu a,n u 0,m/n,则 a/C.若z n,r i 是异面直线，m c a,m/,n u 0,n a,则戊D.若a l y,/?1 y,则a/夕1 0.以下有关复数的描述中，说法正确的是（）A.若复数
4、z =聘N（i 为虚数单位），则z 的虚部为2B.Z i =2 +i 的共辗复数为-2 +iC.若复数3x +i =2 +y i（x,y R）,则D.设ZrZ2 为复数,Z1+Z2=Z1+Z21 1.已知向量五=（2,1）,b=（-3,1）-3是与方同向的单位向量，则下列结论正确的是（）A.（a+b-）/aB.向量Z 在向量方上的投影向量为一：3C.五与日一方的夹角余弦值为尊D.若e=（噂,一等），则 五1 2.九章算术中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称 为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖麝”.如图在堑堵力BC-4
5、181cl中，AC 1 B C,且441=2.下列说法正确的是（）A.四棱锥B-力MCG为“阳马”B.四面体为C1CB为“鳖蠕”C.四棱锥B-AiACCi体积最大为,D.过A点分别作力E 1&B于点E,4FJL&C于点F,则EF _ L 4$三、填 空 题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图，四边形ABC。是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，则 原 图 形 的 面 积 为.14.冬季奥林匹克运动会简称“冬奥会”，第一届冬奥会于1924年在法国的夏慕尼举行，第24届冬季奥林匹克运动会（又称2022年北京冬季奥运会）将在北京和张家口共同举办，单板滑雪（/型池比赛是冬
6、奥会的一个比赛项目，其场地近似一个横着的半圆柱（如图），其长35m,口宽12/n,如果将U型池铺上特殊材料，共需要特殊材料 平方米.15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径4,B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C,。，测得CO=35m,Z.ADB=135,Z.BDC=Z.DCA=15。，乙4cB=120,则4B两点的距离为 m.1 6 .如图，在 4 B C 中，D 是8 c 的中点，E 在边A B 上，A C =2,B E=2EA,A D 与C E 的交点为。.若万 瓦:=一 2，则力B
7、 的长为.四、解 答 题（本大题共6小题，共 7 0.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）1 7 .（本小题1 0.0 分）设复数Z i =2 +a i（其中a G /?）,z2=3 -4 t.若言是纯虚数，求a.（2）求满足|z -z2|b 的复数z 在复平面上对应的点构成的图形的面积.1 8 .（本小题1 0.0 分）已知向量五，b所以 sin/BSC=尊=:，D O D故选：A.根据已知条件，利用线面垂直的判定与性质，得到NBSC为直线SB与平面S4C所成的角的平面角,进而计算求解.本题主要考查线面角的计算，空间想象能力的培养等知识，属于基础题.7.【答案】A【解析】解：:G
8、 是ABC的重心，,根据重心的向量式可得：GA+GB+GC=0又a 淹+b 赤+等 元=6,a：b：c=1：1：B，不妨设a=b=l,c=V3,则 CS4=卫A7T61+3-12x1x75V3-92故选：A.根据重心的向量式及余弦定理即可求解.本题考查重心的向量式及余弦定理，属基础题.8.【答案】C【解析】解：设球。的半径为R,由球的体积为争可得，1兀R 3=半，解得R =2.因为三棱锥P -A B C的高/i为1,所以球心0在三棱锥外.如图，设点0 1为A B C的外心，贝I。】_ L平面4 B C.在R t 4 0 1。中，由A 0工=。4 2一。工，且。1=/?一 九=1,得4。1 =b
9、.因为 4 B C为等边三角形，所以A O 1=|”-sin6 0=苧4 B，所以 S B =7 5 A o i =3.故选：C.利用球的体积求出球的半径，画出图形，设点0 1为A A B C的外心，则。1 1平面A B C.求解A。1=V 3.通过求解三角形推出4 8即可.本题考查几何体的外接球的体积的应用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题.9.【答案】A C【解析】解：垂直于同一直线的两平面平行，故A正确；两条分别在不同平面的直线平行，不能说明这两个平面平行，故8错误；两条分别在不同平面的异面直线平行，可得这两个平面平行，故C正确：垂直于同一平面的两平面不一定平行，故。错误
10、.综上所述，本题选A C.故选：A C.由平面平行的判定定理直接判断.本题考查平面平行的判断，考查平面平行的判定定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.1 0 .【答案】A C【解析】解：对于4复数z =经黯迫=群图=券=-4 +2 1,则z 的虚部为2,故 A正确；对于B：z i =2 +i 的共朝复数为2 i,故 8错误；对于C：若复数3 x +i =2 +y i,则故c正确；对于C：设Z 1，Z 2 为复数，Z 1+Z 2=Z 1+Z 2，故。错误.故选：A C.直接利用复数的运算，复数的共规，复数的相等的相关运算判断4、B、C、。的结论.本题考查的知识要点：复数的运算，复数的共筑，
11、复数的相等，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.11.【答案】C D【解析】解：由题意，向量丘=(2,1)石=(一 3,1)，E 是石与同向的单位向量，可得五+B=(1,2)，由一1X1-2 X2 H0,所以五+9 与五不共线，所以A 不正确；由五 h=2 X(-3)+1 X 1 =-5,b=-/1 0 可 得 方 泰-孚所以向量日在向量石上的投影向量为-苧 E，所以B 不正确；由方一至=(5,0)可得方=1 0,|a-K|=5,|a|=V 5.设立与苍一石的夹角余弦值为d 可得c o s。=*普=熬=竽，所以C 正确；|a-b|-|a|5x v 5 5由行亮=(2,1)小，-等
12、)=2 xg+1 x (-怜=0，可得日1乙 所以。正确.故选：CO.由共线向量的坐标表示，可判定4根据向量的几何意义，求得向量a 在向量方上的投影向量为一 苧 5可判定B；由向量的夹角公式，可判定C；由向量垂直的坐标表示，可判定。.本题考查了向量的综合应用，属于基础题.12.【答案】A B D【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.A.利 用“阳马”定义直接判断；B.利用“鳖席”定义直接判断；C.当ac=BC=或 时，四棱锥B 4 A C G体积拉余。.过4点分别作4E J.&B于点E,4F 1 4 C于点尸，推导出BC
13、_ L平面441cle，从而4 F，平面&BC,进 而 是 平 面4 E F,由此得到EF 1 ArB.【解答】解：4四边形4 4 C G为矩形，BC_L平面44CC1 四棱锥B-4p4CG为“阳马”，故A正确；B.四面体&G C B中，&G C、&BC、4/6、ZiBCCi都是直角三角形，.四面体4 G C B为“鳖腌”，故B正确；C.当4C=BC=鱼 时，四棱锥8 A 4 C G体积为：VB-A1ACC1=1X2XV2XV2=5|故 C 错误；。.过4点分别作4E 1 于点E,AF 1&C于点F,BC A.AC,BC 1 AAX,AC C t AAr=A,BC 1 平面4&G C,又AF
14、u 平面4&GC,BC A.AF,ACdBC C,AF,A F L A1B,v AE n AF=A,AXB JL平面4EF,EF u 平面AEF,EF 1 4 iB,故。正确.故选ABD.13.【答案】2y2【解析】解：由己知中A BC。是边长为1的正方形，又知 fy它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，可得该四边形的原图形，如下图所示：这是一个底边长2,高鱼的平行四边形,故原图的面积为：2五.故答案为：2夜.根据斜二测画法的作图步骤，由已知的直观图可得原图，分析形状后，代和平行四边形面积公式,可得原图面积.本题考查的知识点是平面图形的直观图，熟练掌握斜二测画法的作图步骤，是解答的关键.14
15、.【答案】2107r【解析】解：由题意可知，半圆柱的底面半径为r=6 6，半圆柱的长，=35 m,所以U型池的表面积为b1=7rx6x35=210兀平方米，故答案为：2107r.直接根据圆柱的侧面积公式即可得结果.本题主要考查空间几何体表面积的计算，空间想象能力的培养等知识，属于基础题.15.【答案】35V5【解析】解：如图所示：BCD中，CD=35m,/.BDC=15,ABCD=ACB+DCA=120+15=135,所以“BC=3 0 ,由正弦定理得一 =若 不，解得BD=35鱼(m)，sml35 sm30 1 7 ACD中，CD=35m,/.DCA=15,Z.ADC=乙 ADB+乙 BDC
16、=135+15=150,所以NC4。=1 5 ,所以4。=CD=35(m),ABC中，由余弦定理得4辟=加+-24。8。cos乙4。8=352+(35立 产-2 x 35 x 35 x cosl35=352 x 5,所以4B=35岔(m),即A、8两点间的距离为356 m.故答案为：355/5-根据题意画出图形，BCD中利用正弦定理求出BD,4CD中利用等角对等边求出Z D,在ABD中由余弦定理求出AB.本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了推理与运算求解能力，是中档题.16.【答案】2V 3【解析】解：。是B C 的中点，B E=2EA,.,.屁=|明 反=2 前，E,
17、0,C 三点共线，设 的=2 芯+(l-Q=?+2(l-a)说,且三点4,0,D 共线,y+2(1 A)=1 解得 4-；B O=B A +B C,2 4：.A O=A B +B O=A B +B A+河=(A B +A C),一 一，一，1 ,-一 ，一3 1 2 2 1 .2A A O-B C =+A C)(A C-A B)=A C -A B )=(4-A B)=-2,.加=12 A B =2V 3.故答案为：2k.根据条件可得出而=|瓦?屈 =2 前，可设前=4 而+(1-；1)反:=与瓦?+2(1-/1)前，根据三点4,0,D 共线即可得出/!=：,从而可得出面=:瓦？玩，进而得出万.
18、沆：=。(近+4 2 4 4 A C)-(A C-A B)=-2,进行数量积的运算即可求出A B 的长.本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，三点4,B,C 共线，且 丽=4 函+历 时，可得出4+=1,向量数量积的运算，考查了计算能力，属于中档题.17.【答案】解：(1)复数Zi =2+出(其中a GR),z2=3-4i,g r-p.Zj _ 2+a i _(2+a i)(3+4i)_ 6-4a+(3a+8)i所以石=3 =(3-4i)(3+4i)=25，当6-4a =0 时，即a =|时，褰纯虚数.(2)满足|z-Z2|W%，该图象表示的几何意义为以(3,4)为圆心，声为半径的圆，故该
19、图象的面积为37r.【解析】(1)直接利用纯虚数的定义求出a 的值；(2)利用复数表示的几何意义求出该图象所表示的面积.本题考查的知识要点：复数的定义，复数表示的儿何意义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.18.【答案】解：(1)由题意可得k 五 +3=(3 k-2,2 k+1)，a-2 b =(7,0).又上五+E与五一2方与垂直，(fca+K)(a-2K)=21/c-14=0,2 /c=-；(2)v c=b+%a=(3%2,2x+1)，=J(3x-2尸+(2x+I t=J l 3a-凝+捺 xR,当X=2 时，|现最小为左，此时可得1=(9有，又 =(-2,1),-c,f
20、o=T3x 2 +T3=T3-【解析】(1)根据向量垂直的性质及向量数量积建立方程即可求解；(2)先构建I列关于x的函数模型，再通过函数思想及向量数量积的定义即可求解.本题考查向量垂直的性质，函数建模，函数思想，向量数量积的定义，属中档题.19.【答案】解：由/=鬻，则(2c-b)cos4=acosB,由正弦定理可知：二=三=2/?,则a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,sin A sinB sinC(2sinC sinB)cosA =sinA cosB,整理得：2sinC cosA -sinB cosA =sinA cosB,由4=yr (B +C),则sizM=sin7r
21、 (B +C)=sin(B +C),即 2sbiceosA=sin(4+B)=sinC,由sinC H 0,则cosA=即A=全角 4 的大小会(2)过。作0E/4C于E,则AADE中，ED=AC=1,Z.DEA=y,由 余 弦 定 理 可 知=27rA E2 +E D2-2AE-EDcoSy,21=AE2+1+A E,解得AE=4,(负值舍去)，则4B =6,又4c=3,NB 4C=2，则 AB C为直角三角形，a=BC=33，.1.a的值为3次.【解析】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，两角和与差的三角函数公式，属于中档题.(1)由题意根据正弦定理求得二(2sinC-sinB)cosA
22、=sinAcosB,由A=兀-(B +C),根据诱导公式及两角和的正弦公式，即可求得4 的值；(2)过。作CEa8于E,贝 必/WE中，ED=C =1/D E 4=争,由余弦定理可得力E=4,AB =6,知 AB C为直角三角形，a=BC=3V3.20.【答案】解：(1).在 AB C中，己知C4=1,CB =2,乙4cB =60,由余弦定理可得 AB =JCA2+CB2-2 x C A x C B x cosZ.ACB=J l+4-2 x lx 2 x 1 =V3；(2)当4=时，由(1)可得4B 2+C42=cp2,A AB LAC 又 AB=痘，AC=1,.-.AE-CD=(AB+AC)
23、(AB-AC)1 2一 场2=；x34 24；(3)AD=XAB，BE=ABC，：.AE=AB+BE=AB+XC=AB+A(AC-AB)=(1-X)AB+AAC,CD=AD-AC=A AB-AC，若 屈 1 而，则 荏 而=0，(1 4)而+4而 (4而 一 万)=0，又由(2)知4B =b，AC=1,AB LAC，：.A(1-A)A B2-XAC2=32(1-2)-A =0 又4 4 0，解得；I=|.故存在;l=|,使 得 荏，丽.【解析】(1)根据余弦定理即可求解；(2)根据平面向量的基本定理，向量的线性运算，向量数量积的性质即可求解；(3)根据平面向量的基本定理，向量的线性运算，向量垂
24、直的性质，方程思想即可求解.本题考查余弦定理，平面向量的基本定理，向量的线性运算，向量数量积的性质，向量垂直的性质，方程思想，属中档题.21.【答案】解：(1)由题意，A4CE中，AC=4,乙4=*CE 二 尺,r1 .13=16+42-2 x 4 x AE x 芯:.AE=1 或3；(2)由题意，Z-ACE=tz 6 0；,Z.AFC=TT 乙4 Z-ACF=Q.在 尸 中,由正弦定理得照=占,CF2V3-;cosa在4CE中,由正弦定理得益=儡，：”=命,该空地产生最大经济价值时，aCE尸 的面积最大，112SCEF=CE-CF-sinzFCF=2sm(2 令+痔a e 0,2,0 fiJ
25、fflSACr=CE-CF-sin zfC F,计算面积，求出最大值，即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积.22.【答案】(I)证明：因为G为AE中点，AD DE =2,所以。G JL4E.因为平面ZDE _ L平面4BCE,平面4DE n平面4BCE=A E,D G u 平面ADE,所以0G，平面ABCE.(口)解：在直角三角形40E中，40=DE=2,A E 2V2，D G=A E=V2.所以四棱锥。-4BCE的体积的体积为力.48CE=梯 形ABCE D G=gx；x(l+4)x 2 x =5V 2亍.(ID)解：过点C作CF4E交AB于点尸，过点尸作FP力。交DB于点P,连
26、接PC,因为“/IE,A E u 平面4DE,C F C平面4DE,所以CT7/平面4DE.同 理/平 面ADE,又因为CFCPF=F,C F、P F u平面PCF,所以平面PCF 平面4DE.因为CP u 平面CFP,所以CP 平面A0E.所以在BD上存在点P,使得CP平面4DE.v A E/C F,A F/C E,四边形4ECF是平行四边形，A F =C E=1,F B=3,又 PF A D,.BP _ BF _ 3 BD=AB=4【解析】本题考查了面面垂直的性质，面面平行性质，棱锥的体积计算，属于中档题.(I)证明。G 1 AE,再根据面面垂直的性质得出DG _ L平面4BCE；()分别计算0G的长度和梯形4BCE的面积，即可得出棱锥的体积；(UI)过点C作CFAE交4B于点F,过点尸作FPAD交DB于点P,连接PC,可证平面PCF平面ADE,故 CP平面A D E,根据PF4D计算霁的值，即可得到结果.