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1、2021届广东省佛山市南海区石门中学高考数学模拟试卷一、单选题(本大题共8 小题，共 40.0分)1 .己知全集=R,集合4 =x|-1 x 1 ,则4 n (Q B)=()A.(-1,1)B.(-1,1 C.1,3)D.(1,3)2 .已知i为虚数单位，复数z满足i 3.z =l-3i,则z =()A.3+i B.3 i C.3+i D.3 t3.从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为1/5,已知袋中红球有3个，则袋中共有除颜色外完全相同的球的个数为().A.5个 B.1 5个 C.1 0个 D.8个4 .设aeR,贝ij“a 1”是“厂 b 1,0 c bc B.abc l o gf ccD
2、.a l o gbc 0,则命题“p且q”是命 题.(填“真”或 假”)15.某校在一次测试中约有.600人参加考试，数学考试的成绩XN(100,“2)(0,试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在80分 到 120分之间的人数约为总人数的|,则此次测试中数学考试成绩不低于120的学生约有 人.16.已知抛物线y2=4x的焦点F恰好是双曲线=l(a 0,b 0)的右顶点，且双曲线的渐近线方程为y=土 有 x,则双曲线方程为四、解答题(本大题共6 小题，共 70.0分)1 7.数列 册 的前n项和为又，且 是 5和1的等差中项，等差数列&J 满 足 瓦=/也=$3.（I）求数列%、h1的通
3、项公式;（口）设（=:=二，数列 金 的前M项和为4,证明：18.在AABC中，锐角B所对的边b=7,其外接圆半径R=gV5,AABC的面积S=10百，求A ABC其他两边的长.19.空气质量指数PM2.5（单位：g/rn3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：PM2.5日均浓度03535 7575 115115150150250 250空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市2012年3月8日-4 月7日（30天）对空气质量指数PM2.5进行监测，获得数据后得到如条形图:（I）估计该城市一个月内空气质量类别为
4、良的概率；（II）在上述30个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优的天数，求X的分布列.20.如图PDCE为矩形，4BCD为梯形，平面PDCE 平面力BCD,BAD=/.ADC=90,AB=AD=Q，PD=y/2a-(I)若M为P4中点，求证：AC平面MDE；(n)求平面PAD与PBC所成锐二面角的余弦值.21.已知椭圆G：磊+，=l(b 0),抛物线C2：/=y b).过点F(0,6+1)作x轴的平行线，与抛物线C2在第一象限的交点为G,且该抛物线在点G处的切线经过坐标原点0.(1)求椭圆6的方程；(工)设直线八y=依 与椭圆G相交于两点C、D两点，其中点C在第一象限，点4为椭圆G的右
5、顶点,求四边形ACF0面积的最大值及此时 的方程.22.已知函数/(x)=x+sinx.(I)求曲线y=/(%)在点,/)处的切线方程；(11)若不等式/(乃21比”%在区间0,上恒成立，求实数a的取值范围.参考答案及解析1.答案：B解析：解：.全集U =R,A=(-1,3),B =(l,+8),C y f i =(-0 ,1 则力 n(Q B)=(-1,1 ,故选：B.由全集U,求出B 的补集，找出4 与B 补集的交集即可.此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键.2.答案：C解析：解：,复数z 满足1 3 .z =1 -3 i,-i z =1 -3 i,.-.z=
6、3 +-i-it故选：c.利用复数的运算法则即可得出.本题考查了复数的运算法则，属于基础题.3.答案：B解析：试题分析：根据古典概型的概率公式和摸出红球的概率，列出方程求解即可求出所求.解：设袋中的球共有m个，其中有3 个红球，则摸出红球的概率为根据题意有，解得：m=1 5.3m故选B考点：随机事件概率点评：本题考查的是随机事件概率的求法的运用，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件4 出现m种结果，那么事件4 的概率m:n4.答案：A解析：解：由 一:1 a 得;-a 1 a，即 l,则：1不成立,即必要性不成立,故“a 1”是“F l a”的充分不必要条件,故选：A根据
7、充分条件和必要条件的定义，结合不等式的关系进行判断即可.本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键.5 .答案：B解析：本题考查圆柱的侧面积，考查基本不等式的运用，注意基本不等式的使用条件是解题的关键.根据题意，设出矩形的长、宽，求出圆柱的侧面积，再利用基本不等式，即可求得结论.解：设矩形的长、宽分别是x,y,则x +y =1 0,所以圆柱的侧面积S 掰=2 兀孙 Al(a-l)2+(b-2)2=l,2化为5 b 2 -4tb+t2-2t+4=0.当直线a +2b=t与圆有公共点时，=1 6 t2-2 0(t2-2 t+4)0,解得 t2-i0 t+2 0 W 0,
8、解得5 -V 5 t bl,0c b 1,0 c bc,故 A正确；函数/(x)=在(0,+8)上为减函数,故a。一 1 Z?C T,故b a。bact 故 B 错误；l ogac 0,且 1 0 g b e 0,l ogab 1,即黑鸟=瞿 于 l og b C,故 C 正确；由C可得0 V -l ogac -l ogdc,又 1 b V a,blogac alogbc,即a/ogc 0,可得切线斜率A =2 m2 2 m +Q=3,由题意，可得关于m 的方程2nI?一 2m+a-3=0有两个不等的正根,且可知mi+m21 0,即7 nlm 2 0则4 8(a 3)0 02解得：3 a 2,
9、根据椭圆的定义可得点P 的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，故 8 正确，选 项 C：等式化简为：-+=1,故 C 正确，4 3选项。：等式化简为：3x2+12x-y 2 +16=0,显然不是椭圆的方程，故。错误，故选：BC.选项A 8,根据椭圆的定义即可判断，选项 C,化简等式与椭圆方程比较即可判断.本题考查了椭圆的方程以及定义，考查了学生的运算转化能力，属于基础题.13.答案：解析：解：设圆锥的底面半径为r,则有271T=x 2,解得r=%所以圆锥的表面积为兀x 4 x#兀x(2=也故答案为：v-4利用圆锥的底面周长即为侧面展开图的弧长，从而求出底面半径，然后利用扇形的面积公式以及圆的面积公式求
10、解即可.本题考查了圆锥的几何性质的应用，解题的关键是掌握圆锥的侧面展开图与圆锥之间关系，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于基础题.14.答案：真解析:本题考查复合命题真假性的判断，利用真值表，转化为p，q的真假性，属于基础题.分别判断出p,q的真假，再利用真值表作出判断.解：当沏=g时，tan x0=V5，二命题p 为真命题；x2-x+1=(x-1)2+0恒成立，二命题q为真命题，“p旦q”为真命题.故答案为：真15.答案：120解析：先根据正态分布曲线的图象特征，关注其对称性画出函数的图象，观察图象在80分 到 120分之间的人数概率，即可得成绩不低于120分的学生人数概率
11、，最后即可求得成绩不低于120分的学生数.本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.解：成绩(N(1 0 0,出)，其正态曲线关于直线4 100对称，又.成绩在80分 到 120分之间的人数约为总人数的|,由对称性知：成绩在120分以上的人数约为总人数的9(1-1)4 此次数学考试成绩不低于120分的学生约有：|x 600=120.故答案为：120.16.答案：产 _ 贮=1解析：抛物线的焦点坐标为（1,0）,故在双曲线中a=1,由双曲线的渐近线方程为y=三x=土有x,可得b=6,故所求的双曲线方程为/_，g =
12、1.17.答案：(I)%=2n-2,，=2nl（口）一 匕5 7 (2n-i)(2n+l)-2岛 一 金)v n e N,n n-11国一4 t =2n+l-2 n-l=(2n+l)(2 n-l)0 数列 是一个递增数列，.二2 A=综上所述，f.解析：本题主要考查了数列通项公式的求法及数列求和方法-裂项相消法，注意运算即可;解：（I）：a”是 又 和1的等差中项，.5”=2M 1；当月二1 时，Qi=Sx=2az 1,a-=1；当兀3 2 时，=5”5四-工=(2an-1)(2an_i-1)=2an 2a”7 ,二 an=2an_又见=1=0,则W；=2,；数列3是 以%=1为首项，2为公比
13、的等比数列;.a汽=2n-1,Sn=2n 1.设 4 的公差为d,%=k=1,久=l+3d=7,.=2=1+(n-1)x 2=2n-1.(II)cn-q-(2n-lX2n+l)-2(：n-l 2n+l)s e w,”=4(1 一表)号n n-11T-4 T =2n+l 2 n-l=(2n+l)(2 n-l)0 数列 T J是一个递增数列，二及2列=：.综上所述，/3,:.ac=40.（1）.（7分）,由余弦定理可得廿=a2+c2-2accosBf A a2+c2 ac=49.（2）（10分）由（1）（2）得或:二：.（13分）故三角形其他两边长为a=5,c=8,或a=8,c=5.（14分）即4
14、 4BC其他两边的长分别为5和8.解析：由正弦定理求得sinB=在，再根据B的范围求出8的值，再由，48。的面积5=10百，求得2ac=4 0,再由余弦定理求得a?+c2-ac=4 9,解方程组求得 4BC其他两边的长.本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，求得ac=40及a2+c2-ac=4 9,是解题的关键.19.答案：解：（I）由条形统计图可知I,空气质量类别为良的天数为16天，所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为芸=2（4分）（口）随机变量X的可能取值为0,1,2则P（X=0）=等=筌，*=1）=警=|，侬=2）=3=焉C0,设C Q c/昼)，由次+，1 得%c =l y=kx
15、21+4砂*SACFD=SCFD+S-c o=5 1。用 x 2 X c +-OA x 2kxc=2(1 +母，=嚼令t=l +/c,k=t-1,t G(l,+oo),1 G(0,1),(l+fc)2 _ /_ 1 5人1+4k2-l+4(t-l)2-5(l)2-8(l)+4 4,当且仅当t=k =时，等号成立.ACFD 2烟,.四边形力C FD 面积的最大值为2 西，1 的方程为y=4解析：(1)由/=4(一切，可得y=；/+b,与、=6 +1 联立可得6(2/+1),利用导数的几何4意义可得切线的斜率，进而点到过点G 的切线方程为y=x+b-l,把(0,0)代入可得b =1 即可点到椭圆的
16、方程.(1 1)依题意有/0,设C(x c，k x c)，把y=k x 与椭圆方程联立可得X c =利用2尸四=S 4FD+SA C D=OFx2xc+OAx2kxc,及其基本不等式的性质即可得出.本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、利用导数研究切线方程、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交点坐标、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题.22.答案：解：(1)因为/。)=+$讥心所以(x)=1+c o s x,嘴=1,脸=1+1,所以曲线y=/(x)在点/)处的切线方程为y=x+1(口)因为X e 0,自，所以s讥xN O,cosx 0,当a 4 0时，x+sinx 0,
17、axcosx axcosx在区间 0,自上恒成立.当a。时，设g(x)=/(%)axcosx=%+sinx axcosx9g(x)=1+cosx acosx+axsinx=1 4-(1 a)cosx+axsinx,(1)若0 0,axsinx 0,所以g(x)0在区间。自上恒成立；所以g(x)在区间 0弓 上单调递增，=g(0)=0,g(x)=/(x)axcosx 0 /(%)axcosx在区间 0,自上恒成立，(2)若 1 a 0在区间 0,上恒成立，所以g(x)在区间 0(上单调递增，gf(x)m in=g(0)=2-a 0,g(x)在区间 0 上单调递增 g(x)g(0)=0即f (%)
18、axcosx在区间 0,上恒成立 ,当 a axcosx在区间 0,自上恒成立；(3)当Q 2时,令九(%)=g(%)=1 4-(1 a)cosx+axsinx,则九(%)=(2a l)sinx+axcosx,hz(x)0在区间 0,上恒成立，所以gQ)在区间 0,上单调递增，grMm in=g(0)=2-a 所以存在&6 0,勺，使得g Q o)=0.当0 x X o时，g (x)0,g(x)单调递减；当&%时，g 0,g(x)单调递增；当x =a时，g (X)=0 g(x)取得极小值；而g(0)=0,所以g(x 0)a x c osx 在区间 0,自上恒成立时实数a 的取值范围是(-8,2 解析：(I)利用导数的几何意义可求切线的方程；(U )利用恒成立问题转化为最值，分类讨论即可解决此问题.本题考查利用导数求切线的方程和函数恒成立问题中求参数的取值范围，还考查了考生的逻辑思维能力