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1、2022年上半年教师资格证考试数学学科知识与教学能力真题(高级中学)(总分：1 7.00,做题时间：1 2 0分钟)一、单项选择题(总题数：8,分数：0.00)1 .设f (x)与 g(x)是定义在同一区间增函数，下列结论一定正确的是()。(分数：1.00)A.f (x)+g(x)是增函数 JB.f (x)-g(x)是减函数C.f (x)g(x)是增函数D.f (g(x)是减函数解析：根据函数的增减性，增+增=增，可知f (x)+g(x)是增函数。故本题选A。2.甲、乙两位同学分别前往不同公司的面试，甲同学被选中的概率是1/7,乙同学被选中的概率是1/5,则两位同学中至少有一位被选中的概率是(
2、)。(分数；1.00)A.1/7B.2/7C.1 1/3 5 VD.1 2/3 5解析：两位同学中至少有1位被选中的反面是两位同学都没有被选中，显然对立事件的概率更容易计算,两位同学都没有被选中的概率是：3.极限的值是(分数A.0B.1C.eD.8()O：1.00)V解析:4.已知向量a与b的夹角为/3,且|a|二L|b=2,若m=入a+b与n=2a-b互相垂直，则()O(分数：1.00)A.-2人的为B.-1C.1D.2 V解析：因为 m,n 垂直，所以 mn=O,即(Xa+bn)(2a-b)=0,2X|a|2+(2-X)lai|b|cosn/3-5b|2=0,得出 X=25.设A和B为n阶
3、方阵子一定正确的是()。(分数：1.00)A.A+B=B+A VB.B=BAC.解析：由于已知A与 B 均为n 阶方阵，则可知A+B=B+A,故本题选A。6.若向量2=（1,0,1）,a2=（0,1,1）,a3=（2,入，2）线性相关，贝 U X 的值为（）。（分数：1.00）A.-1B.0 JC.1D.27.下列数学成就是中国著名成就的是（）。勾股定理对数割圆术更相减损术（分数：1.00）A.B.C.VD.解析：、都属于中国古代的数学成就，而中提到的对数是英国科学家约翰纳皮尔发明的。故本题选CA.B.C.D.V解析：由命题的概念：可以判断真假的陈述句叫做命题。对于，不是陈述句，故不是命题；对
4、于，由于不知道x 的具体范围，无法判断其真假，故不是命题；对于、，即为可以判断真假的陈述句，是命题。故本题选D。二、问答题（总题数：9,分数：0.00）正确答案：（无）解析：单调递增区间为 0,1 2,-,单调递减区间为（-8,0）利（1,2）；极大值为2,极小值为D.正确答案：（无）1 1.已知某班级8 0%的女生和9 0%的男生选修滑冰，且该班中6 0%的学生是女生。（1）从该班随机选取一名学生，求这名学生选修滑冰的概率；解析：向量组线性相关的充要条件是它们构成的行列式值等于0,所以解析：向量组线性相关的充要条件是它们构成的行列式值等于0,所以=0,解 得x=o7.下列数学成就是中国著名成
5、就的是（）。勾股定理对数割圆术更相减损术（分数：1.00）A.B.C.VD.解析：、都属于中国古代的数学成就，而中提到的对数是英国科学家约翰纳皮尔发明的。故本题选C。8.下列语句是命题的是（）。2 x1 x-3 是整数存在一个x G z,使 2 x T=5 对任意一个无理数x,x+2 也是无理数（分数：1.0 0）A.B.C.D.J解析：由命题的概念：可以判断真假的陈述句叫做命题。对于，不是陈述句，故不是命题；对于，由于不知道x的具体范围，无法判断其真假，故不是命题；对于、，即为可以判断真假的陈述句，是命题。故本题选D。二、问答题（总题数：9,分数：0.00）9.已知函数，求函数f（x）的单调
6、区间和极值。（分数：1.00）正确答案：（无）解析：单调递增区间为o,1 2,单调递减区间为（-8,0）利（1,2）；极大值为2,极小值为lo10.求过直线且平行于于直线的平面方程。（分数：1.00）正确答案：（无）解析：2x-3y-z+7=011.已知某班级80%的女生和90%的男生选修滑冰，且该班中60%的学生是女生。(1)从该班随机选取-名学生，求这名学生选修滑冰的概率；(2)在该班选修滑冰的学生中随机选取一名学生，求这名学生是女生的概率。(分数：1.0 0)正确答案：(D 0.8 4；(2)4/7)1 2.简述研究椭圆几何性质的两种方法。(分数：1.0 0)正确答案：(无)解析：研究椭
7、圆几何性质的两种方法：用曲线方程研究几何性质，例如通过椭圆方程研究x、y的取值范围，通径，焦半径取值范围等，能够解释椭圆标准方程a,b,c的几何意义，这种方法是数形结合的数学思想方法的典范。用代数方法研究几何性质，在研究过程中，经历从图形直观抽象几何性质的过程，提取出利用代数方法研究几何性质的一般方法，建立离心率模型。正确答案：(无)解析：设计意图：(1)不等式左侧分别是(x,y)到(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)的距离，可以提升学生对两点间距离公式的理解和应用；(2)(x,y)到这四个点的距离之和，可以结合这四个点在平面上的位置进行分析，x y 的范围对应第一象限边长为1 的正
8、方形范围，在这道题的解决过程中，增强了学生数形结合的能力。(1)求抛物线在点(2,1)处的切线方程(2)如图，抛物线在点P (x o,y o)(x o W O)处的切线P T 与 y 轴交于点M,光源在抛物线焦点F (0,1)处，入射光线F P 经抛物线反射后的光线为P Q,即N F P M =N Q P T,(分数：1.0 0)正确答案：(无)解析：1 5.论述数学史在数学教学各阶段(导入、形成、应用)的作用。(分数:1.0 0)1 Q 害T r切r、底 而 上/r必；八；rh 木rh；八 第 1 7；V I日 而 附；八；主 而，仅1 1 1 印1 TH*、LJ片n八正确答案：（无）解析：
9、研究椭圆几何性质的两种方法：用曲线方程研究几何性质，例如通过椭圆方程研究X、y的取值范围，通径，焦半径取值范围等，能够解释椭圆标准方程a,b,c的几何意义，这种方法是数形结合的数学思想方法的典范。用代数方法研究几何性质，在研究过程中，经历从图形直观抽象几何性质的过程，提取出利用代数方法研究几何性质的一般方法，建立离心率模型。13.简述在教材平面教学设计内容中设置下列习题的设计意图（答出两条即可）。己知0 x1,0y1.求证不等式并说明其设计意义。(分数：1.0 0)正确答案：(无)解析：设计意图:(1)不等 式 左侧分别是(x,y)到(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)的距离，可以提
10、升学生对两点间距离公式的理解和应用；(2)(x,y)到这四个点的距离之和，可以结合这四个点在平面上的位置进行分析，x y的范围对应第一象限边长为1的正方形范围，在这道题的解决过程中，增强了学生数形结合的能力。1 4.已知抛物线(1)求抛物线在点(2,1)处的切线方程(2)如图，抛物线在点P(x。，yo)(xoKO)处的切线PT与 y 轴交于点M,光源在抛物线焦点F(0,1)处，入射光线FP经抛物线反射后的光线为PQ,即NFPM=NQPT,求证：直线PQ与 y 轴平行。(分数：1.00)正确答案：（无）解析：（1）y=x-l；（2）思路：通过构造菱形，得 出 与y轴相互平行。15.论述数学史在数
11、学教学各阶段（导入、形成、应用）的作用。（分数：1.00）正确答案：（无）解析：在导入部分，可以通过介绍历史上的数学家，例如欧几里得在 几何原本中将圆的切线定义为“与圆相遇但延长后不与圆相交的直线”。形成部分：并让学生回忆圆的切线定义，引导学生对切线定义进行改进，并借助 几何原本中的有关命题，引导学生得出新的切线定义。应用部分：从形到数，引导学生得出导数的定义。16.下面是甲、乙两位教师的教学片段。教师甲 教师甲：在平面直角坐标系中，点(x,y)关于y轴的对称点是什么？学生1：(-x,y)。教师甲：为了研究函数的对称性，请大家填写下表，观察给定函数教师甲：通常我们把具有以上特征的函数称为偶函数
12、，请大家试着给出偶函数的定义。教师乙 教师乙：我们已经研究了函数的单调性，并且用符号语言精确地描述了函数的单调性，今天我们研究函数的其他性质，请大家画出函数f(x)=x2和g(x)=的图象，并观察它们的共同特征。(通过观察，学生发现这函数的图象都关于y轴对称)教师乙：类比函数的单调性，你能用符号语言精确地描述“数图象关于y轴对称”这概念吗？(通过观察，学生发现f(-x)=f(x)教师乙：通常我们把函数上述特征的函数称为偶函数，请大家试着给出偶函数的定义。问题：(1)写出偶函数的定义，并简要说明函数奇偶性的作用；(2)对甲、乙两位教师的教学进行评价。(分数：1.00)正确答案：(无)解析：(1)
13、偶函数的定义：设函数f(x)的定义域为D,如果VxdD,都有-xCD,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。研究奇偶性作用：函数的奇偶性跟其图象的对称性紧密相关，奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称；有奇偶性的函数只需知道y轴一侧的性质就可推出y轴另一侧的性质，在对函数性质的分析上可以简化运算和分析。(2)甲教师在对偶函数的新授过程中，着重引导学生通过计算结果分析得到偶函数的定义，缺乏学生主动探索的过程，直接给出本节课的研究主题是对称性，太过于直截了当；而乙教师在教学过程中，引导学生进行了图象观察和结论的探索，更加符合新课改学生是学习主体的理念，并且结合了之前学过的单调性进行
14、导入，在下定义的时候引导学生结合之前学过的知识进行尝试，使学生在学习新知识的同时对旧知识得到很好的巩固。17.下面是高一下学期教材“空间中直线与平面的位置关系”的部分内容 根据上面的内容，完成而智超鲁攵互为相相反数时，对应的函数值之间具有什么关系？(1)画出直线与平面的位置关系的示意图，并举出生活中体现这三种位置关系的实例;学生2：通过计算发现，自变量互为相反数时，对应的函数值相等，可以用解析表示，教师甲：通常我们把具有以上特征的函数称为偶函数，请大家试着给出偶函数的定义。教师乙 教师乙：我们已经研究了函数的单调性，并且用符号语言精确地描述了函数的单调性，今天我们研究函数的其他性质，请大家画出
15、函数f (x)=x2和g(x)=鼠|的图象，并观察它们的共同特征。(通过观察，学生发现这函数的图象都关于y轴对称)教师乙：类比函数的单调性，你能用符号语言精确地描述“数图象关于y轴对称”这概念吗？（通过观察，学生发现f X）=f （x）教师乙：通常我们把函数上述特征的函数称为偶函数，请大家试着给出偶函数的定义。问题：（1）写出偶函数的定义，并简要说明函数奇偶性的作用；（2）对甲、乙两位教师的教学进行评价。（分数：1.0 0）正确答案：（无）解析：（1）偶函数的定义：设 函 数f （x）的定义域为D,如 果V xG D,都有-xG D,且f （-x）=f （x）,那么函数f （x）就叫做偶函数。
16、研究奇偶性作用：函数的奇偶性跟其图象的对称性紧密相关，奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称；有奇偶性的函数只需知道y轴一侧的性质就可推出y轴另一侧的性质，在对函数性质的分析上可以简化运算和分析。（2）甲教师在对偶函数的新授过程中，着重引导学生通过计算结果分析得到偶函数的定义，缺乏学生主动探索的过程，直接给出本节课的研究主题是对称性，太过于直截了当；而乙教师在教学过程中，引导学生进行了图象观察和结论的探索，更加符合新课改学生是学习主体的理念，并且结合了之前学过的单调性进行导入，在下定义的时候引导学生结合之前学过的知识进行尝试，使学生在学习新知识的同时对旧知识得到很好的巩固。1 7.下面是高一下学期教材“空间中直线与平面的位置关系”的部分内容。.根据上面的内容，完成下列任务：（1）画出直线与平面的位置关系的示意图，并举出生活中体现这三种位置关系的实例；（2）写出这部分内容的教学设计，包括教学口标、教学重点、教 学 过 程（含引导学生探究的活动和设计意图）。（分数：1.0 0）解析:正确答案：（无）