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1、2022年山西省太原市高考数学模拟试卷（文科）（一）（一模）一、单 选 题（本大题共12小题，共 60.0分）1.若iz=2+i,则z=（）A.1+2i B.-1+2i C.1 2i2.已知全集为 U,集合 a=-2,0,1,2,B=x-2 x 0 ,集合A和集合B的韦恩图如图所示，则图中阴影部分可表示为（）A.（2,0）B.1,0 C.-1,03.设立为等差数列 册 的前n项和，若的=2,a3+a5=10,A.26 B.27 C.284.比较大小：a=log3VI，b=e ,，c=e吗，贝）A.a c b B.c a b C.c b a5.甲、乙去同一家药店各购一种医用外科口罩，已知这家药店
2、出售4 B、C三种医用外科口罩，则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为（）A.5 B.i C.1 D.i6.南北朝时期数学家，天文学家祖曜提出了著名的祖晒原理:幕势既同，则积不容异，其 中“基”指截面积，“势”指几何体的高.意思是说：两个等高几何体，若在每一等高处截面积都相等，则两个几何体体积相等.已知某不规则几何体与一个由正方体和三棱锥组成的几何体满足“幕势同”，组合体的三视图如图所示，则该不规则几何体的体积为（）D.-2,1,2)则 56=()D.29D.a b b 0)的左、右焦点，过点&斜率为/的直线交椭圆于点P,若2 N P&F 2 =4PB&，则椭圆E 的离心率是()A.8+1
3、 B.V 3-1 C.手 D.当9 .函数/(%)=(%-1)C O S 7 T X 的部分图象大致为()1 0 .正四面体P-4BC中，点M是B C 的中点，则异面直线PM与4 B 所成角的余弦值为()A.立 B.3 C.避 D.在3 6 6 31 1.在平面直角坐标系中，从x 轴上点P(t,0)向圆(-2)2 +0-3)2 =5 作一条切线，设切线长为m,点P 到直线x-2y-6=0 的距离为n,当m+n 取最小值时，t 的值为()7A.2 B.3 C.D.4第2页，共18页1 2 .设函数f(x)的导函数是f(x),且f (乃广(x)工 恒 成 立,则()B./(1)/(-1)D.|/(
4、1)|/(-1)|A./(1)/(-1)C.|/(1)|0)的一条渐近线方程为y =2%,则a 的值为.14.已知向重a=(1,tn),b-(3,2)且(2 1+b)J L b ,则 n i 15.若 ,y 满足约束条件|机标:则z =尤 一 4y 的 最 大 值 为.16.图示阴影部分是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画 人法是这样的：正三角形A B C 的边长为4,取正三角形A B C 各边的四等分点D、E、尸，作第2 个正三角形D E F,然后再取正三角形D E F 各边的四等分点G、H、/,作第3 个正三角形G H/,依此方法一直继续下去，就可以、得到阴影部分的图案.记三角形A B C
5、的边长为的,三角形D E F 的边长为a?,后续各三角形的边长依次为。3，。4，n.则。2 =，数列 斯 的前几 项和S。=-三、解答题(本大题共7小题，共 8 2.0 分)17 .我市某企业投资两个新能源项目A 和B.项目4 的投资额(单位：万元)与纯利润为(单位：万元)的关系式为为=1.7%-0.5,项目B 的投资额x(单位：万元)与纯利润、2(单位：万元)的散点图如图所示.(1)求光关于 的线性回归方程；(2)若4 B 两个项目都投资6百万元，根据已知条件，试预测哪个投资项目的收益更好.附：回归直线;=bx+的斜率和截距的最小二乘估计分别为b =绰 考 里，ay-bx1 8.在ABC 中
6、，sin(2/l-B)+sin(C-A)=3sinB,三角形 ABC 的面积为 20.(1)求tanB的最大值；(2)当tanB取得最大值之时，求AB边上的高CO的长.1 9.已知一圆形纸片的圆心为。，直径48=2,圆周上有C、0 两点.如图，0c 1 4 8,乙4。=3点P是 舒 上 动 点.沿 4B将纸片折为直二面角，并连结PO,PD,PC,OCD.当4B平面PCD时，求PC的长；(2)问当点P在什么位置时，三棱锥P-COC体积最大，并求出此时点。到平面PCD的距离.第4页，共18页20.已知函数f(x)=(%a)2e-(1)求函数/(x)的单调区间；(2)若方程/(x)-4 e =0有三
7、个零点，求a 的取值范围.21.已知抛物线y2=2px的焦点为尸，点0 为坐标原点，一条直线过定点M(4,0)与抛物线相交于4、B两 点,且OA 1 OB.(1)求抛物线方程；(2)连接4F,BF并延长交抛物线于C、。两点，求证:直线CD过定点.(3x=-2+二 t22.在平面直角坐标系中，直线/的参数方程为 45 为参数)，以原点为极点,y=2+-tX轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p2cos20+4psin9-3=0,点P 的极坐标为(2企,空).(1)求点P 的直角坐标和曲线C 的直角坐标方程：(2)若直线I和曲线C交于4 B 两点，求点P到线段4 B 中点M 的距离
8、.2 3.已知函数f(x)=|x-l|-|2x-l|.(1)求满足不等式/(x)-1的最大整数a；(2)在(1)的条件下，对任意x,y e (a,+o o),若x +y =4,求z =+台的最小值.第6页，共18页答案和解析1 .【答案】A【解析】解：iz=2+i,z=1 +2i.故选：A.根据已知条件，结合共辆复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解.本题考查了共规复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式,属于基础题.2.【答案】A【解析】解：全集为U,集合A=2,0,1,2,B=x|-2 x 0 ,图中阴影部分表示的集合是：B n(C M)=(_2,0).二
9、 由韦恩图得图中阴影部分可表示为(-2,0).故选：A.图中阴影部分表示的集合是Bn(3 4),由此能求出结果.本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集定义、韦恩图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.3.【答案】B【解析】解：设等差数列 时 的公差为d,由产 2 1 n)得2%+6 d=10,即4+6 d=10,所以d=1,口 +as=1 0所以56 =6 al+1 5d=6 X 2+1 5=27.故选：B.设等差数列an的公差为d,由题意可得ai+2d+%+4d=10,进一步结合的=2可求出d值，从而根据等差数列前般 项和公式可求出56.本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式，考
10、查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题.4.【答案】A【解析】解：由0 =lo g 31 lo g 3近 lo g 3b=之知，0a 1,C=elnl=A；2所以a c b.故选：A.由指数函数和对数函数的定义，分别判断a、b 与c 的大小.本题考查了指数函数与对数函数的性质与应用问题，是基础题.5 .【答案】A【解析】解：根据题意，甲乙两人选择4,B、C三种医用外科口罩，有3 x 3 =9 种选法若甲乙都选择同一种医用外科口罩，有3种选法，故甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率P=|=3故选：A.根据题意，由分步计数原理计算“甲乙两人选择力，B、C三种医用外科口罩”和“甲乙都选择同一
11、种医用外科口罩”的选法数目，由古典概型公式计算可得答案.本题考查古典概型的计算，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.6 .【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由一个棱长为2 的正方体和一个底面为直角三角形高为1 的三棱锥体组成的组合体；如图所示：第8页，共1 8页故：V=2 x 2 x 2 +-x-x 2 x 2 =8+-=.3 2 3 3故选：A.直接利用转换关系，把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出组合体的体积.本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.7.【答案】D【解析】解：
12、sin20 4-sin40=sin(30-10)+sin(30+10)=sin300cosl00 cos300sinl00+sm30cosl0+cos300sinl00=2sm30cosl0=2 x-cosl02=sin800.故选：D.利用两角和与差的正弦公式，诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解.本题考查了两角和与差的正弦公式，诱导公式以及特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题.8.【答案】B【解析】解：因过点居斜率为f 的直线交椭圆于点P,则有/P F/?=30。,4PF20=60。，因此，在APF1F2中，P F2=9 0 ,令椭圆半焦距为c,于是得|PFi|=I&
13、F21cos30。|P 6|=|F/2 1 s 讥3 0。=c,由椭圆定义得：2 a =|P F J +|P F 2|=(g+l)c，2 =言=6 1，所以椭圆E 的离心率是e =V 3 1.故选：B.根据给定条件求出N P&F 2,由椭圆半焦距为c 表示|P 0|,PF2,然后利用椭圆定义列式计算作答.本题主要考查椭圆的几何性质，椭圆的离心率的求解等知识，属于基础题.9 .【答案】B【解析】【分析】利用余弦函数的图象和性质，结合排除法进行排除即可.本题主要考查函数图象的识别和判断，是中档题.【解答】解：/(0)=-1 0,排除。，由/(%)=0,得x=1 或C O S T T X=0,得兀%
14、=卜兀+/,得 x=k&Z,当k =0 时，x=|,当k =-l 时，x=-|,k =l 时，=|，即x轴右侧连续三个零点分别为：，1.|,当：x 0,排除C,当1 x|时,/(x)0,且0 x-1 也此时一：(%)。恒成立，所以9。)=与 产。)一一 单调递增，故g g(-l),B|i/2(l)-l i /2(-l)-l,解得严 尸(一1),即 ll)l ，(T)L故选：D.构造函数g(x)=产(x)-/,利用导函数研究其单调性，求出结果.本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题.13.【答案】1【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查.利用双曲线的渐近线方程，得
15、到a的值即可.【解答】解：双曲线 9=l(a 0)的一条渐近线方程为y=2x,可得：-=2,解得a=1.a故答案为：1.14.【答案】Y【解析】解：W b=(3,-2)，A 2 a+h=(5,2m 2)，第12页，共18页v (2 a +6)1 Z?A(2 a +f t)-K=5 x 3 +(2 m -2)x (-2)=0，解得血=苫.故答案为：4根据已知条件，先求出2 五+石，再结合向量的数量积公式，即可求解.本题主要考查向量的数量积公式，考查计算能力，属于基础题.1 5.【答案】1 4【解析】解：作出，y 满足约束条件 整|，对应的平面区域如图：由z=x-4 y 得y =x (z,平移直线
16、y =(x-1 z,当直线y =；x-z,经过点4 时，直线y =-的截距最小，此时z最大.4(2,3),此时Z m a x =2-4X(-3)=1 4,故答案为：1 4.作出不等式组对应的平面区域，利用Z 的几何意义，即可得到结论.本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，是中档题.1 6.【答案】V 7 (4 +V 7)l-()n【解析】解：设正三角形4 B C 的边长为的，后续和正三角形的边长依次为。2,。3,Q n9由题意知%=4,an=(；即-1)2 +-2 /7，所以又=生 学1=(4 +夕)1 一(?)”，l Xi.y 4故答案为：V7,-y(4 +V 7)l-(
17、y)n.依题意利用余弦定理得在=，即可求出 an 的通项公式，再根据等比数列求和公式计算可得.本题考查数列求和，考查学生的推理运算能力，属于中档题.1 *7 淤 包、fen-1+2+3+4+5 o-24-3+5+7+8-17.【答案】解：(1)%=-=3,y2=-=5,.1X2+2X3+3X5+4X74-5X8-5X3X5 /h=-=1 6，12+22+32+42+52-5x32则a=5-1.6 x 3=0.2故先关于 的线性回归方程为%=L6x+0.2.(2)若4项目投资6百万元，则该企业所得纯利润的估计值为1.7 x 600-0.5=1019.5万元，若B项目投资6百万元，则该企业所得纯利
18、润的估计值为1.6 x 600+0.2=960.2万元，1019.5 960.2,可预测a 项目的收益更好，综上所述，a 项目的收益更好.【解析】(1)根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解.(2)根据已知条件，分别求出两种项目的收益，通过比较大小，即可求解.本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于基础题.18.【答案】解：(1)因为 sin(2A B)+sin(C-4)=3sE B,所以 sin(24 B)+sin(24+B)=3sinB,整理得，2sin2AcosB=3sinB,2所以 tcmB=-sin2Af当8=?时，$)24取得最大值
19、1,此时tcmB取得最大值*(2)过C作CO 1 A B,垂足为D,设CO=2 h,则40=2h,BD=3h,因为SM B C=X 5九 义 2/1=20,第1 4页，共18页所以h=2,CD=2/i=4.【解析】(1)由己知结合诱导公式及和差角的正弦公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求；(2)由已知结合锐角三角函数定义及三角形面积公式可求.本题主要考查了诱导公式，和差角公式及三角形面积公式的应用，属于中档题.19.【答案】解：因为AB平面P C D,48=平面8。，平面OPD n平面PCO=PD,所以4BP 0,又/所以4PAD=a所以zP O D=,又OD=OP=1,所以PD=yjOD
20、2+OP2-20D-OPcosPOD=J l2+l2-2 x 1 x 1 X(-1)=A/3;(2)当。1 OP时，三棱锥P-COD的体积最大，因为。C _L 4B,二面角C-A B-0 为直二面角，平面ABC n平面P。=4B,OC u 平面A B C,所以。C l 平面P。，OD,OP u 平面P。，所以。CJ.O D、OC 1 OP,又用-COD=VC-DOP，而SADOP=-OD-OP-sinZ-DOP,所以当。1 OP,sin/DOP=1时，三棱锥P COD的体积最大，止 匕 时 V=1 x i x l x l=i 此时 CD=CP=PD=JOC2+OD2=V2-即A PCD是等边三
21、角形，边长CO=伍SAPCD=0 CDsin60。=亨，设所求距离为/i,则=g即工x 更h 一，解得八=乌3 6 3 2 6 3故当。1 0P时，此时点0 到平面PCD的距离为在.3【解析】由线面平行的性质得到4BP D,即可得到/P O C=拳再利用余弦定理计算可得；(2)根据面面垂直的性质得到。C 1平面P O D,则/_COD=%“”，即可得到当。，0P时，三棱锥P-COD的体积最大，再利用等体积法求出点0 到平面PCD的距离.本题考查了线面平行和等体积法的应用，属于中档题.r X20.【答案】解：(1)函数/(x)的定义域为R,f(x)=lea(x-a)(x +a),当a 0 时，由
22、/Or)0,可得 x a,由/(x)0,可得一a x a,所以/(x)的单调递增区间为(一8,a),(a,+8),单调递减区间为(-a,a),当a 0时，由/(x)0,可得*a,由/(尤)0,可得a x 0时，/Xx)在(-8,-a),(a,+8)上单调递增，在(-a,a)上单调递减,所以/(x)极大值=/(-)=?，极小值=/(a)=，p lim Um乂X-00/(%)-0 x -4-oo/(x)t 4-oo若使/(x)-4 e =0有三个零点，只 需 亨 4 e,解得a e,当Q 4 e,解得a 代入解得P，即可得解；(2)设点A,B,C,。的纵坐标依次为,y2,y3-丫 4，设直线A F
23、 的方程为=ny+1,联立直线与抛物线方程,消元.列出韦达定理，即可得到y,3 =-4,同理可得y2 y4 =-4,即可得到y3 y4 =-1，再设直线CD方序为=”+如 联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，求出3 即可得到直线过定点坐标；本题考查直线与抛物线的综合，考查学生的综合能力，属于中档题.2 2.【答案】解：点 P 的极坐标为(2a*)，根据 二，转换为直角坐标为P(2,2).(X=pcosdy=psinG,转换为直%2 4-y2=p2角坐标方程为%2-y2+4 y-3 =0；(x =-2 +|t(2)将直线/的参数方程为V 4 (t 为参数)，代入/_y 2+4y _3=0；U=2
24、+g t得到产+骨 一 5 =0；所以|PM|=I 空I=/.【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果.本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.X,X|2 3.【答案】解：(1)因为/。)=|%-1|一|2%一1|=，一 3%+2三 彳 1，2 1所以f(%)N 1,即：卜 4 5 ,解得一lWxW3(2 X -1 2tx-r 解得”=1，故不等式/(X)一 1 的解集为-1,1 ,所以满足不等式/(%)-1 的最大整数a 为1;(2)由(1)得x,ye(l,+8),因为x +y=4,所以z=三+言=I。一 1)+-i)(M+言)=*+/+安+安)2 +y2 +2xy)=1(x +y)2=8,当且仅当y y T)=外 必,即 x =y=2 时等号成立，x-1 y-1 J故z =4 +二的最小值为8.【解析】(1)根据零点分段法解不等式，即可求出a 的值；(2)由x +y=4,结合基本不等式，利用乘“1”法即可求得z 的最小值.本题考查了绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题.第1 8页，共18页