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1、2021年山西省太原市高考数学模拟试卷（文科）（一）（一模）一、选 择 题（每小题5 分）.1.已知全集。=1,2,3,4,5,4=2,3,8=1,3,5 ,贝 ij/U（Q B）=（）A.2,3,4 B.2 C.1,5 D.1,3,4,52.已知复数z 满足z（1 -i）=2i（其中i 为虚数单位），则z 的 值 为（）A.-1 -/B.-1+i C.1 -D.1 +z3.公元前6 世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割数 2,其近似值为0.618,这是一个伟大的发现，这一数值也表示为2,a ba=2sinl8,若加+6=4,则 l-cos72=（）1遥+
2、1A.2 B.2 C.2 D.44.函数y=cos（sinx）的图象大致是（）5.在区间-1,1 上任取一个实数人,则使得直线y=Ax与 圆（x-2）2土 产=1 有公共点的概 率 是（）返 返 返 工A.2 B.2 C.3 D.26.己知a,b为单位向量，且满足|2-网=加，则|2 a+b|=（）A.V3 B.V7 C.V5 D.2V27.已知 斯 是各项均为正数的等比数列，其前项和为S”且 是等差数列，则下列结论错误的是（）A.a+S.是等差数列B.%&是等比数列snC.a/是等差数列 D.T 是等比数列 3 x+y-30，2 x+3 y-9 4 0 2 x+y-38 .已知实数x,y满足
3、|x-2 y-l 4 0 ,则z=x-2的取值范围是()A.(-8,u (2,4 B.1,2)U (2,4 C.1,2)U 4,+8)D.(-8,1 U 4,+8)9 .已知。=4历3”,b=3bi4n,则下列结论正确的是()A.b c a B.c b a C.b a c D.a b 0)的焦点尸(2 )的直线与该抛物线相交于Z,8两点，若 Z O F的面积与B O F (。为坐标原点)的面积之比是2,则|“引=()_9 1 3 1 7 _A.4 B.4 C.4 D.4nK1 2 .已知函数/(x)=s i n(3 x+c p)(a)0,0 (p 2 )的图象关于x=-3对称，且冗n/(V)=
4、0,将/(x)的图象向右平移?个单位长度得到函数g (x)的图象，则下列结论正确的是()7 1A.b 0)的左焦点是点尸，过原点倾斜角为3 的直线/2 兀与椭圆C相交于M,N两点，若N M FN=3,则椭圆C的 离 心 率 是.三、解答题：共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题:共 60分.1 7.已知数列 “的 前 项 和 为 数 列 6 满足6,=%+%+1 (/?GN*),再从下面条件与中任选一个作为已知条件，完成以下问题：(I)证明：步,是等比数列;(II)求数列 泌力的前
5、n项 和T.3_条件：勾=2,4 5+2a+1=3+l(G N*)；条件3_：。=。2=2,a”+2=a”+2X3 (N*).1 8.某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平.为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深人调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的1 0 0 位游客的满意度调查表.满意度 老年人中年人青年人报团游自助游报团游自助游报团游自助游满意1 211 841 56一般216441 2不满意 116232(I)由表中的数据分析，老年人、中年
6、人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？(I I)为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中，随机抽取2人征集改造建议，求这2人中有老年人的概率.(I ll)若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？1 9.如图，在三棱锥P-N8C中，P/8 是正三角形，G是 P N 8 的重心，D,E,，分别是 P 4 B C,PC的中点，点尸在8c上，且 8 尸=3 尸 C.(I )求证：平面。尸，平面P G E；(I I )若 PB U C,A B=A C=2,8 c=2&,求三棱锥 P -O E G 的体积.(I )讨论/(x)在
7、2T T上的单调性；(I I )求函数g(x)=f(x)-4 炉-1 零点的个数.ZZ12 2 2 1 .已知椭圆C：a +b=1 (a b 0)的左、右焦点分别是吊、出,其离心率e=2,n点 P是椭圆C上一动点，P Q B 内切圆面积的最大值为飞二(I )求椭圆C的标准方程；IPFJ IPF2|(I I)直线尸印，尸出与椭圆C分别相交于点4 B,求证：恒*1+|F zB|为定值.(二)选考题：共 1 0 分.请考生在第2 2、2 3题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2 B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程x4(t4)2 2 .在平面
8、直角坐标系x0 中，曲线G 的 参 数 方 程 为 三 (f 为 参 数)，以坐标原点。为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程为C O S (I )求曲线G的普通方程和C 2的直角坐标方程：(I I )已知点尸(3,V3),曲线C|与C 2相交于4，8两个不同点，求的值.选修4-5：不等式选讲|2_2 3.已知函数f(x)=|x+m|+|x-w|(m 0).(I )当m=l时，求函数/(x)的最小值：(I I)若存在xe (0,1),使得不等式/(x)W3成立，求实数m的取值范围.答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
9、是符合题目要求的.1.已知全集。=1,2,3,4,5,A=2,3,B=,3,5 ,贝 ij 4 U(Q B)=()A.2,3,4 B.2 C.1,5 D.1,3,4,5解：全集 U=1,2,3,4,5,N=2,3,8=1,3,5,所以Cu8=2,4,所以/U(Cu5)=2,3,4.故选：A.2.已知复数z 满足z(1-i)=2z(其中i 为虚数单位)，则 z 的 值 为()A.1 -z B.-1+i C.1 -z D.1+i2i 2i(l+i)-2+2 i解：复数 z 满足(1 -i)=2i,/.z=li=(li)(1+i)=2=-1+z,故 选:B.3.公元前6 世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在
10、研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割数 2,其近似值为0.618,这是一个伟大的发现，这一数值也表示为2,a ba=2sinl8,若苏+6=4,则 l-cos72=()1_ y+1A.2 B.2 C.2 D.4解:Va=2sinl8,若屏+6=4,.*.6=4-a2=4-4sin218=4(1-sin218)=4cos218,a2b 4sin218 4cos218 生/.l-cos720=l-cos720=2sin2360=2.故选：B.4.函数y=cos(sin x)的图象大致是()解：*:f(-x)=c os (s in(-x)=c os (s inx)=f(x),函数/（x）为
11、偶函数,-1 Ws inx W 1,K 兀:.-2+2加 W x W 2+2Zm,A y=c os (s inx)在 x=2 H r 时有最大值，且y 0,故选：B.5.在区间-1,1 上任取一个实数上 则使得直线y=京 与 圆 G-2）2+产=1 有公共点的概 率 是（）返 返 返 工A.2 B.2 C.3 D.2解：圆（X-2）2=1的圆心为（2,0）,半径为1.要使直线卜=履与圆（x-2）2+产=1 有公共点，V3 V3则圆心到直线=履 的 距 离V l+k W l,解得：-3 WkW 3.在区间-1,1 中随机取一个实数匕则事件“直 线 =船 与 圆（x-2）2+产=1 有公共点”r-
12、（r）返发生的概率为：1-（-1）=3 .故选：C.6.已知二，E为单位向量，且 满 足|二 石=企，则|2 2+石=（）A.M B.V?C.V5 D.2V2解：a,b为单位向量，且满足|a-母=&,可得a-2 a，b+b=2,解得a*b=0,-*/2 2 l所以|2 a+b|=T 4 a+4 a，b+b=7 5.故选：C.7.已知%是各项均为正数的等比数列，其前项和为S“且$是等差数列，则下列结论错误的是()A.%+$“是等差数列 B.,&是等比数列snC.d 是等差数列 D.k 是等比数列解：由 SJ是等差数列，可得：2(。|+。2)=1+。1+。2+。3，。2 =。3,V 即 是各项均为
13、正数的等比数列，*做=。2g，可得 q=1 .=0,，a+S=(+1)数列 册+SJ是等差数列，因此力正确.2 2an=a 斯2 是常数列，为等差数列，因此C正确.Sn snn=0,.n 是等比数列，因此。正确.2勾 =”1,.a SJ不是等比数列，因此8 不正确.故选：B.3 x+y-30 2 x+3 y-9 0 2 x-*y-38.已知实数x,y满足|x-2 y-l 4 0 ,则z=x-2的取值范围是()A.(-8,iu(2,4 B.1,2)U(2,4 C.1,2)U4,+8)解：由约束条件作出可行域如图,D.(-8,1U4,+)(2x+3y-9=0联立 1x-2y-l=0,解得4(3,1
14、),由图可知，B(1,0),2xy-3 y+1z=x-2=2+M二，其几何意义为可行域内的动点与定点(2,-1)连线的斜率加2.-1-1-1-0由图可知，kpA=2-3=2,.B=2-1=T,2x+y-3，Z=X-2 的取值范围是(-8,4-oo).故选：D.9.已知4=4/3，6=3/4%c=4bm3,则下列结论正确的是()A.bca B.cba C.hac D.ab 0),则/lTnx2-(x)=x,令/(x)=0,则 x=e,当(0,e),f (x)在(0,e)上递增，当(e,+),f (x)在(e,+)递减，ln4 In 兀 ln3V4n3e,A/(4)c b.故选：A.1 0.已知正
15、四面体45CQ的棱长为4,点E在棱Z6上，且BE=34E,过E作四面体力8CQ外接球的截面，则所作截面面积的最小值为()10兀 兀 返A.3 B.3-rr C.3 D.4解：如图，正四 面 体 的 棱 长 为4,则正方体的棱长为2&,正四面体的外接球即正方体的外接球，其半径为2R=d(2加 产+(2 2+(2加)2=2五,_ A B 4=&7?V 6,cosZ OAB=21/6 3,O A R=,A E 4：A B 4 4 1,.0 E2=(V 6)2+12-2XV6 x 1X_则截面圆的半径r=V R2-O E2=6-3=V 3,截面面积的最小值为5=r户=3m故 选:B.,01 1.已知过
16、抛物线产=2/z v (p 0)的焦点F(2)的直线与该抛物线相交于48两点，若 年 的 面 积 与B O尸(O为坐标原点)的面积之比是2,则|/阴=()_9 13 1 7_A.4 B.4 C.4 D.4P 1解：由焦点的坐标可得2=2,所以p=l,所以抛物线的方程为：产=2x,设 直 线 的 方 程 为：x=fny-2,设力(元卜力)，B(必，”)，设力在x轴上方，设加 0,2联立 y=2 x整理可得：炉-2叩-1=0,刈+p 2=2加，yiy2=-1，。、|OF|,yiS/kA O F由题意$2(=万 触 (-丫2)=2,返可得加=-27 2，代入可得：8户=1,解得：阳=4,返将加的值代
17、入可得为+”=2,修+、2=机(1+2)+1=4,5_ 旦由抛物线的性质可得M8|=XI+M+P=4+1=4,冗 兀1 2.已知函数/(x)=s i n (u)x+(p)(3 0,0(p 0,0(p=2 D4,所 以 前=2 丞，即 而-混=2 (左-而),2整理得C D 3-CA-4-CB04 b 2 a2 4-*-在-V C A,C B：V+fX4X3XKT84,2 亚故 CD=32 亚故 4,3 .2 2-1 6.已知椭圆C：a b=1 (Z,0)的左焦点是点F,过原点倾斜角为3的直线/2 冗 逆 一 氏与椭圆C相交于M,N两点，若NMFN=3 ,则椭圆C的离心率是_ 2 _解：设右焦点
18、为尸，由题意可得直线/的方程为：y=J x,设“(沏，为)，N(-x0,-y0),2 兀连接用尸，N F,因为N A/F N=3 ,7 1所以四边形F M 尸N为平行四边形，则/必/尸=飞二n Vs i e而6?t an 6=3拄=2 少0,(焦三角形面积公式S=t an 2 ,3为焦顶角)，我b b2所以可得为=2丁，代入直线/的方程可得：的=蕊，b4 3 b29 c 2 9 c 22 2将的坐标代入椭圆的方程可得：a，+b/=1,整理可得：4a4-1 4a2 c 2+。4=0,即 e4-I 4e2+4=O,解得：e 2=7 3述，由椭圆的离心率e (0,1),3&一 屈所以 e=V7-3
19、V5=2 ,3&一 布故 2 .三、解答题：共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作 答.第 22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题:共 60分.1 7.已知数列%的前项和为S”数列%满 足%=。“+即+1(G N*),再从下面条件与中任选一个作为已知条件，完成以下问题：(I )证明：出“是等比数列；(I I)求数列 与 的前项 和T,.3,条件：=2,4S+2a+1=3-3,所以 6-3=仇-3=a i+a 2-3=0,所以b=3(”6 N*),则出“是首项、公比均为3 的等比数列；(II)由(I)可得 b“=3(6 N*)
20、,所以 Tn=1 3+232+333+-+3,37；=1 32+233+334+”3日，两式相减可得-27；,3+32+33+3z,-*3,+|3(1-3”)=1-3-w 3n+1,3_化简可得 T=4(2-1)3n+l.1 8.某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平.为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深人调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表.满意度 老年人中年人青年人报团游自助游报团游自助游报团游自助游满意12118
21、4156一般2164412不满意 116232(I)由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？(I I)为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中，随机抽取2人征集改造建议，求这2人中有老年人的概率.(I I I)若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？解：(I )由表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为：15 3 0 _ 22,11P i=1 8=6,P2=40 4,尸3=42-21,：Pl P2 P3,.老年人更倾向于选择报团游.(I I)由题意得满意度为“不满意”的自助
22、游人群中，老年人有1人，记为。，中年人有2人，记为b,c,青年人有2人，记为d,e,从中随机先取2人，基本事件共10个，分别为：(a,b),(a,c),C a,d),(a,e),(b,c),(Z ,d),(b,e),(c,d),(c,e),(,e),其中这2人中有老年人包含的基本事件有4个，分别为：(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),4 2_.这2人中有老年人的概率为p=T 5=Tc m)根据表中的数据，得到：12+18+15 45报团游的满意率为P4=15+30+22=67,1+4+6 1自助游的满意率为尸5=3+10+20=京,.尸425，；建议他选择报团游.19.如图，在三棱
23、锥中，尸 是 正 三 角 形，G是 4 8的重心，D,E,，分别是P 4 B C,尸。的中点，点F在上，且 即=3 F C.(I )求证：平面。7 7/平面PGE；(I I )若 P8 _ L 4 C,AB AC=2,BC=2&求三棱锥尸-OE G 的体积.解：(I)证明：连结8G,由题意可得B G 与 G。共线，且 BG=2 GD,E 是 8c 的中点，B F=3 F C,二厂是 C E的中点，BG _ BE _2A GD-E F ,J.GE/D F,G E u 平面尸G E；D F C 平面 P G E；平面 P GE,.,”是 P C 的中点，：.F H/P E,P E u 平面 GE,
24、F H C 平面 P G E；.正，平面P GE,:DFCFH=F,。尸 u 平面。E F,F H u 平面 D E F,平面。E H 平面P G E；(I I )：A B=A C=2,B C=2 V2,：.AB2+AC2=8=BCZ,C.AB VAC,C P B LAC,A B C P B=B,：.A C P AB,.4 8 是正三角形，.sz y =rA B =百，.j/F.OC=r./)OG=lVE-PBD=|VE-PAB=-VC-PAB=gpA B，A C=f.2 0.已知函数/(x)=co sx+x si nx.(I )讨论/(x)在-2TT,2TT上的单调性：工(II)求函数g (
25、x)=/(x)-4 x2-1零点的个数.解：(I)因为/(-x)=co s(-x)-x si n(-x)=co sx+x si nx=/(x),x GR,所以/(x)是&上的偶函数，也是-2 m 2 i r 上的偶函数，当 x 0,2TT时，/(x)=x co sx,K 3 K H 3 7 r令/(x)0,则 OWx W 2 或 2 WXW2T T,令，(x)0,则 2 x 0,贝Ij o x 3 或 3 x 2 m 令 g (x)0,则 3 x g(0)=0,g(3)=3x(-2)-4(3)2-2 0,g(2T T)=-n2 0,5兀所以g (x)在(0,)上有一个零点，所以g (x)在 0
26、,2T T上有两个零点；1_ 工(2)当 x 6 (2 n,+8)时，g (x)=co sx+x si nx -4 x2-1 -4 x2 ft 0)的左、右焦点分别是吊、出,其离心率e=2,n点尸是椭圆C上一动点，尸尸正2内切圆面积的最大值为飞二(I )求椭圆C的标准方程；IPFJ|PF2|(II)直线PF 1，尸 尸2与椭圆c分别相交于点4 B,求证：.送1+|F z B|为定值.解：(I )设 内 切 圆 的 半 径 为r,W|Jf （|PF1|+|PF2|+|F1F2|）r=SA p F i F z2 SAPF1FZ SAPF1F2.r 2 a+2 c a+c,.当 的 面 积 最 大
27、时，MF R内切圆的半径r最大,显然当点尸为椭圆的上顶点或下顶点时，PQF 2的面积最大，最大值为y X 2 c X b=bc,be二厂的最大值为a+c,be 北即 a+c=3 ,bea+c 37?.2八2工2由（a -b+c,a=2*=5/3解得：Ic=l ,椭圆。的标准方程为：（II）设 P（沏，泗），A（Xf y）,B（M，竺），当 W O时，设直线P Q,尸&的直线方程分别为工=如厂1,工=加*+1,由x=m1y-l2 2X y _ 1 n O 4-3 T 得：（3叫+4）y-6 m1y-9=0y（）y;gSm +4xo+1 y。5+2xoIU=-o；x o=机口-1,；y0,yl ,
28、x=m2y+l-2 2 VQ 5-2x0 x 1 y _ 1 =-同理，由 工3 可得丫2 3,IPFJ IPF2I 兀 y0 1A.|F A|B|=_ _ y2=T,已4入i w 当Vo=O时，直线尸外，P B与X轴重合，易得：田送|F2B I =3+3=3 ,IPFJ坨综上所述，恒 国+电8|为 定 值 二（-）选考题：共10分.请考生在第2 2、2 3题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2 B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修4 4：坐标系与参数方程x卷（T22.在平面直角坐标系x 0中，曲线G的参数方程为 y-L三（f为参数），以坐标原点O为极点，X轴正
29、半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为c os （1）求曲线G的普通方程和Q的直角坐标方程；（I I）已知点尸（3,V 3）,曲线C|与。2相交于4 8两个不同点，求的x 4(T=t_ l _ 2=/1.x 2解：（I）曲线G的参数方程为y-t”为参数），整理得了 一,t，x2.l转换为普通方程为 4 ；X=P COS 0y=P s in Q0 +-9 2 9曲线C 2的极坐标方程为C OS （3 ）=0,根据 x”+y=P ”,转换为直角坐标方程为 x r Q y=0；_ r-11 2 y(I I)把直线xM y=0w换为a为 参 数)，代入“-4得至I j：lit2+4 4 V 3
30、t+4 X 29=0,4 X 29所以ti+t2=_ ,tlt2-ii,所以|PA H P B1 1=|AB I (t1+t2)2-4 t1t2=-选修4-5：不等式选讲2_23.已知函数/(x)=|x+m|+|x -m(m 0).(I )当m 时，求函数f(x)的最小值；(I I)若存在在(0,1),使得不等式/(x)W3成立，求实数机的取值范围.解：(I )当心=1 时，/(x)=|x+2|+|x-1|,：x+2+x-1|(x+2)-(x-1)|=3,故当且仅当(x+2)(x -1)W 0,即当-2 WW1时，/(x)取最小值3；2_(I I)由题意得存在在(0,1)使得x+%+|x-m|W 3,2_2_(1)当机2 1 时，x+m+|x -等价于 m+z n W 3,解得：2_(2)当 时，令 g(x)=x+m+|x -m,2_ 2_0 x ，时，g (x)=m+w,时，g(x)=2x+m -m,2_ 2_故g (x),加=m+m,故m+m W 3,故1 加 2,与0 /n l矛盾，此时机无解,综上：实数，的取值范围是1,2.