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1、高三数学第1页（共 4 页）高三数学第2页（共 4 页）24 届广东省普通高中学科综合素养评价9 月南粤名校联考数数 学学本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡指定位置。2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色笔迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写
2、上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试题与答题卡一并交回。一一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4040 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求只有一项是符合题目要求.1.已知集合*|8,Ux xxN，1,2,3A3,4,5B，那么UAB（）A12，B34，C56，D76，2.复数iiz13在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3.函数|cos|yx的一个单调减区间是（）A ，B3，C，D32，4.抛物线2
3、2(0)ypx p的焦点F，点M在抛物线上，且3MF，FM的延长线交y轴于点N,若M为线段FN的中点，则p()A2BC4D65.从正整数1,2,.10中任意取出两个不同的数，则取出的两个数的和等于某个正整数的平方的概率为（）A19B645C745D8456.已知角的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点2,1P,求2cos4的值（）1.10A9.10B1.5C4.5D7.直线2cos0 xy被圆222 320 xyx截得的弦长最大值为（）2 10.5A10.10B.2C4 5.5D8.已 知 定 义 在R上 的 函 数()f x满 足()(2)4fxf x，且 当1x 时，1()
4、11fxxx,则不等式()210 xf xe的解集为（）A0,B1,0C,1 D,10,二、二、多项选择题：本题共多项选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.在每小题给出的选项中，有在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求多项符合题目要求.全部全部 选对的得选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分.9.某学校随机抽取 200 名学生数学周测成绩的频率分布直方图如图所示,据此估计该校本次数学周测的总体情况(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),下列说法正确的是()A.众数为 60 或
5、 70B.25%分位数为 65C.平均数为 73D.中位数为 7510.下列不等式正确的是（）02.babaabA0.abB，则baba22.C122x是不等式04432xx成立的必要不充分条件.D函数xxy2310 x的最大值是8911.数列 na满足1nnnaaa，1 且11a，则下列说法正确的是（）#QQABIQSEogCoABBAAQgCQQmQCkEQkBCACAoOBFAIIAAAwQFABCA=#高三数学第3页（共 4 页）高三数学第4页（共 4 页）A.若0，则数列 na为常数数列B.若0，则数列1na为等差数列C.若1，则数列1nnaa前n项和为1nnD.对于任意的,RR，数
6、列 na都不可能为等比数列12.在直三棱柱111CBAABC中，090ABC,且1122ABBCCC,E为线段1CC的中点，P为棱1AA上的动点，平面过1,P E B三点，则下列命题正确的是（）A.三棱锥1BPEB的体积不变B.平面平面ABEC.当P与1A重合时，截此三棱柱的外接球所得的截面面积为112；D.存在点P，使得直线BC与平面所成角的大小为3三、三、填空题：本题共填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分13.52xx的二项展开式中1x的系数为_14.已知向量1,1a ，1,2b，求向量b在向量a方向上的投影向量为_15.若函数32()23
7、2f xxaxx在1x 处取得极小值，则函数 fx的极大值为_16.已知椭圆2215xy的左右焦点分别为1F，2F，点M在椭圆C上，且12120FMF，（O为原点），则OM _四四、解答题解答题：本小题共本小题共 6 6 小题小题，共共 7070 分分。解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.（10 分）在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c已知)6sin(coscosBaCbBc（1）求角B的大小；（2）设2,3,ac=求cos(2)BA-的值.18.（12 分）已知数列na的首项13,a 其前n项和为nS，且*1S323,()nnS
8、nnN（1）求数列na的通项公式na；（2）设nnnab，求数列nb的前n项和nT.19.（12 分）三棱柱111CBAABC中，D是正方形BBAA11的中心，21AA，DC1平面BBAA11，且11DC（1）M是棱11CA的中点，求证：AC平面MAB1；（2）求面MAB1与面BCA1夹角的大小.20.（12 分）甲、乙两位同学决定进行一次投篮比赛，他们每次投中的概率均为p，且每次投篮相互独立经商定共设定 5 个投篮点，每个投篮点投球一次，确立的比赛规则如下：甲分别在 5 个投篮点投球，且每投中一次可获得 1 分；乙按约定的投篮点顺序依次投球，如投中可继续进行下一次投篮，如没有投中，投篮中止，
9、且每投中一次可获得 2 分.按累计得分高低确定胜负.1若乙得 6 分的概率18p，求p；2由 1问中求得的p值，判断甲、乙两位选手谁获胜的可能性大？21.（12分）已知双曲线22221xyab，0,0ab的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为3.1求双曲线的标准方程；2若点P为双曲线右支上一动点，过点P与双曲线相切的直线l，直线l与双曲线的渐近线分别交于,M N两点，求FMN的面积的最小值.22.（12 分）已知函数 12ln,f xxmx mRx.1讨论函数 f x的单调性；2若0ba，证明：2222lnlnbaabbaa bab#QQABIQSEogCoABBAAQgCQQmQCkEQkB
10、CACAoOBFAIIAAAwQFABCA=#124 届广东省普通高中学科综合素养评价9 月南粤名校联考数学参考答案13-1613-16 题题802121，8921717解析：（解析：（）在）在ABCABC 中，由正弦定理中，由正弦定理2RsinsinsinabcABC，及及)6sin(cosccosBaCbB，可得，可得，)6sin(sincossinsinCcosBACBB.2.2 分分)6sin(sin)sin(BACB，.3.3 分分因为因为ABCABC 中，中，ACBsin)sin(且且0sinA，故，故1)6sin(B，.4.4 分分因为因为.B0,所以所以26B，即，即3B.5.
11、5 分分（）在）在ABCABC 中，由余弦定理及中，由余弦定理及2,3,3acB有有22227bacaccosB，故，故7b.6.6 分分由正弦定理由正弦定理sinsinabAB，可得，可得37sinA 因为因为ac，故，故27cosA.8.8 分分222cos(2)cos()coscossinsin333BAAAA1233172214772 7（）.10.10 分分18.18.解：（解：（）由已知）由已知,323S1nSnn,123,21nSSnnn时两式相减，得两式相减，得,2)(311nnnnSSSS.2.2 分分即即,231nnaa从而从而).1(311nnaa.3.3 分分又当又当
12、n=1n=1 时，时，,5312 SS，53121aaa又又,11,321aa123456789101112DACCCAADBCDCDBCABC#QQABIQSEogCoABBAAQgCQQmQCkEQkBCACAoOBFAIIAAAwQFABCA=#2.4.4 分分从而从而).1(3112aa故总有故总有.*),1(311Nnaann又又,01,31naa从而从而.3111nnaa.5.5 分分即即4111aan是以为首项，公比为为首项，公比为 3 3 的等比数列的等比数列.,3411-nna,1341-nna.6.6 分分（）由（）由（）知）知.1341nna.34)134(b11nnnn
13、annnn.7.7 分分设设13nncn,设设c n前前 n n 项和为项和为nS则则211 2 3 3 33nnSn 23131 32 33 3(1)33nnnSnn -有有2121 3 333nnnSn （）.9.9 分分2n-11344nnS.10.10 分分从而从而nnnaaabbb2121n2Tn4S(1 2)n12)1(31-n2nnn）（.12.12 分分19.19.解析（解析（1 1）证明：）证明：D是正方形是正方形BBAA11的中心，的中心，21AA，则，则11DA，又又DC1平面平面BBAA11，11DADC，又，又11DC.1.1 分分211AC，同理，同理2,2111C
14、ABC.3.3 分分11111,ACACBA均为等边三角形，又均为等边三角形，又M为为11CA中点，中点，111111,ACB M ACAM B MAMM又又1B M 平面平面MAB1AM 平面平面MAB111AC平面平面MAB1.5.5 分分#QQABIQSEogCoABBAAQgCQQmQCkEQkBCACAoOBFAIIAAAwQFABCA=#311/CAAC，AC平面平面MAB1.6.6 分分（2 2）解：）解：以以D为原点，为原点，11,DCDADA分别为分别为zyx,轴正方向，建立空间直角坐标轴正方向，建立空间直角坐标系，系，.7.7 分分1,0,0,1,1,1,0,1,0,0,1
15、,011CCAB.8.8 分分1,10,1,2,1,0,2,01111，CACABA.9.9 分分设面设面BCA1的法向量的法向量zyxn,，则，则0011CAnBAn得得00202yxzyzyx令令1x，则，则1,0,1n，由（，由（1 1）知，面）知，面MAB1的法向量为的法向量为11CA.10.10 分分设面设面MAB1与面与面BCA1的夹角为的夹角为，则则111111,coscosCAnCAnCAn=11222.11.11 分分60.12.12 分分20.20.解：（解：（1 1）若乙得）若乙得 6 6 分，则需乙前分，则需乙前 3 3 个投篮投中，第个投篮投中，第 4 4 个投篮未中
16、，个投篮未中，其概率为其概率为31(1)8ppp，解得，解得12p.4.4 分分（2 2）设）设X为甲累计获得的分数，则为甲累计获得的分数，则1(5,)2XB,所以所以15()522E Xnp，.6.6 分分设设Y为乙累计获得的分数，则为乙累计获得的分数，则0,2,4,6,8,10Y，.7.7 分分1(0)2P Y 111(2)(1)224P Y 2111(4)(1)228P Y3111(6)(1)2216P Y4111(8)(1)2232P Y511(10)232P Y.9.9 分分所以所以Y的分布列为：的分布列为：Y0246810P121418116132132所以所以 111111310
17、24681024816323216E Y .11.11 分分因为因为 E XE Y,所以甲所以甲获胜获胜的可能性大的可能性大.12.12 分分#QQABIQSEogCoABBAAQgCQQmQCkEQkBCACAoOBFAIIAAAwQFABCA=#421.21.解析：（解析：（1 1）由已知得渐近线方程为）由已知得渐近线方程为0bxay，右焦点，右焦点,0F c，223bcab，又，又222abc，解得，解得3b.2.2 分分又因为离心率又因为离心率cea，解得，解得1,2ac.3.3 分分双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为2213yx.4.4 分分（2 2）解 法）解 法 1 1：当直线
18、：当直线l的斜率不存在时，其方程为的斜率不存在时，其方程为1x，此时，此时，FMN的面 积的面 积S3FMN；.5.5 分分当直线当直线l的斜率存在时，设其方程为的斜率存在时，设其方程为ykxm，直线与双曲线联立得，直线与双曲线联立得2213yxykxm2223230kxkmxm，.6.6 分分因为相切，所以因为相切，所以222244330k mkm，解得，解得2230mk.7.7 分分另设：另设：1122(,),(,)M x yN xy联立联立2222230(3)20 xykxkmxmykxm1212222,13kmkxxxxkm12123()2,yyk xxmm 22121212()3yy
19、kxxkm xxm.9.9 分分在在OMN中，中，12OMx，22ONx1213Ssin2322OMNOM ONMONxx.10.10 分分所以所以121SS+S-S32FMNOFMOFNOMNOF yy，所以所以2121229S()43=123FMNyyyym.11.11 分分因为因为2230mk，所以，所以29S1232 333FMNm#QQABIQSEogCoABBAAQgCQQmQCkEQkBCACAoOBFAIIAAAwQFABCA=#5综上所述，综上所述，S3FMN，其最小值为，其最小值为3.12.12 分分解法解法 2 2：由条件知，若直线：由条件知，若直线l的斜率存在，则斜率不
20、为零，的斜率存在，则斜率不为零，故可设故可设l：xmyn，直线与双曲线联立得，直线与双曲线联立得2213yxxmyn222316330mymnyn，.6.6 分分因为相切，所以因为相切，所以222222364 33310310k m nnmm ，即即22231310mnm.7.7 分分又因为直线又因为直线l与双曲线的渐近线交于两点，设为：与双曲线的渐近线交于两点，设为：1122(,),(,)M x yN xy联立联立2203yxxmyn22231630mymnyn.8.8 分分由由直线直线l的方程得，直线与的方程得，直线与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为,0n.9.9 分分22121223 21
21、1122S2()4=2312231FMNnnnyyyynnnm.11.11 分分2231mn，21n，即即11n，且，且0n 1n时，时，SFMN的最小值为的最小值为3综上所述，综上所述，S3FMN，其最小值为，其最小值为3.12.12 分分22.22.解析：（解析：（1 1）2222121(0)mxxfxmxxxx.1.1 分分令令 221(0)g xmxxx，判别式为，判别式为=4-4m.2.2 分分当当0m 时，时，f x在在1(0,)2上单调递减，在上单调递减，在1(,+)2上单调递增；上单调递增；.3.3 分分当当0m时时，方程有一个正根方程有一个正根11mm，f x在在110,mm
22、上单调递减上单调递减，在在11,mm#QQABIQSEogCoABBAAQgCQQmQCkEQkBCACAoOBFAIIAAAwQFABCA=#6上单调递增；上单调递增；.4.4 分分当当01m时，方 程 有 两 个 正 根，分 别 为时，方 程 有 两 个 正 根，分 别 为1,211mxm，所 以，所 以 f x在在1111(0,),(,)mmmm上单调递减上单调递减，在在1111(,)mmmm上单调递增上单调递增；.5 5分分当当1m时，时，0fx 恒成立，所以恒成立，所以 f x在在(0,+)上单调递减；上单调递减；.6.6 分分(2)(2)要证要证2222lnlnbaabbaa ba
23、b只需证只需证22lnlnababbabaab ab只需证只需证lnln2baabbaabab只需证只需证22lnln2bababaabab 只需证只需证1ln21bbbaabaaba.9.9 分分设设1bta，则需证，则需证11ln2,11tttttt 只需证只需证112lnln2,11ttttttt 由（由（1 1）知，）知，12ln,1tttt，所以只需所以只需21ln,11tttt 即证即证21ln,11tttt.10.10 分分令令 21ln,11tg tttt，则则 22101tgtt t恒成立恒成立，所以当所以当1t 时时，g t在在1,上上单调递增，所以单调递增，所以 10g tg，所以，所以21ln,11tttt成立，成立，因此，原不等式得证因此，原不等式得证.12.12 分分#QQABIQSEogCoABBAAQgCQQmQCkEQkBCACAoOBFAIIAAAwQFABCA=#