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1、试卷第 1 页，共 4 页 20232024 学年度第一学期四校联考（一）学年度第一学期四校联考（一）数学试卷数学试卷 说明：本试卷共 4 页，22 道题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题
2、区域均无效。一、一、单选单选题：本题共题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题目要求的.1已知全集RU=，集合2=xxA或3x，04Bxx=，则Venn图中阴影部分表示的集合为（）.A)0,2.B)0,3.C(2,4.D(3,42函数23221+=xxy的单调递增区间是（）.A 1,(.B2,1.C),23+.D23,(3在等差数列 na中，6a，18a是方程28170 xx=的两个根，则 na的前23项的和为（）.A184.B92.C92.D184 4设命题甲：Rx，0
3、122+axx是真命题；命题乙：函数xya 12log=在),0(+上单调递减是真命题，那么甲是乙的（）.A充分不必要条件.B必要不充分条件 .C充要条件.D既不充分也不必要条件 5已知函数()(logbxxfa=（0a 且1a）的图像如图所示，则以下说法正确的是（）.A0ab+.B1ab .C01ba.Dlog0ab 试卷第 2 页，共 4 页 6已知函数()+=)1(,)1(,52xxaxaxxxf满足对任意实数12xx，都有()()01212xxxfxf成立，则a的取值范围是（）.A30 a.B2a.C0a.D23a7若0.2=0.2a，0.30.3b=，0.3log0.2c=，则（）.
4、Aabc.Bbac.Ccab.Dcba 8设函数()()224,4,log4,4,xx xf xxx+=若关于x的方程()f xt=有四个实根1x,2x,3x,4x且1x2x3x4x，则1234144xxxx+的最小值为（）.A455.B23.C472.D24 二、多选题：本题共二、多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求求.全部选对得全部选对得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9已知数列 na的首项11a=，且121nnaa+=+
5、，满足下列结论正确的是（）.A数列 na是等比数列.B数列1na+是等比数列.C21nna=.D数列 na的前 n 项的和2nnSn=10对任意两个实数ba,，定义,min,a aba bb ab=，若()24xxf=，()2xxg=，下列关于函数()()()min,F xf xg x=的说法正确的是（）.A函数()F x是偶函数.B方程()0F x=有三个解.C函数()F x有 3 个单调区间.D函数()F x有最大值为 4，无最小值 11定义在R上的偶函数()xf满足()()xfxf=+22，当0,2x时，()xxf=2，设函数()）（622=xexgx，则正确的是（）.A函数()f x图
6、像关于直线2=x对称.B函数()f x的周期为 6.C()71f=.D()f x和()g x的图像所有交点横坐标之和等于 8 试卷第 3 页，共 4 页 12.已知函数()1(=aaxfx，()()()xfxfxg=，若21xx，则（）.A()()()1212f xf xf xx=+.B()()()121 2f xf xf x x+=.C()()()()11221221x g xx g xx g xx g x+.D()()222121xgxgxxg+三、三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.1321yxx=+的值域为 14 已知()f x
7、是定义在R上的奇函数，当0 x 时，()24f xxx=，则不等式()0 xf x 的解集为 15已知函数()3lg(=axxf的图象经过定点()2,0，若k为正整数，那么使得不等式()()2lg2kxxf在区间3,4上有解的k的最大值是 16.数列na满足13)1(2+=+naannn，前 8 项的和为 106，则._1=a 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 10 分）等比数列na中，11=a，794aa=（1）求na的通项公式；（2）记nS为n
8、a的前n项和，若127=mS，求m 18（本小题满分 12 分）已知 a，b 为常数，且0a，()2f xaxbx=+，()20f=.（1）若方程()0=xxf有唯一实数根，求函数()xf的解析式；（2）当2,0 xa时，不等式()axf 2恒成立，求实数a的取值范围 19（本小题满分 12 分）已知函数()21xbaxxf+=是定义域为），（11的奇函数，且52)21(=f.（1）求实数a，b的值；（2）判断()xf在），（11上的单调性，并用定义法证明；（3）解不等式：()()01+tftf.试卷第 4 页，共 4 页 20（本小题满分 12 分）民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业
9、振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献.某农民专业合作社为某品牌服装进行代加工，已知代加工该品牌服装每年需投入固定成本30万元，每代加工x万件该品牌服装，需另投入()f x万元，且()212,010,245014115,1050.xxxf xxxx+=+根据市场行情，该农民专业合作社为这一品牌服装每代加工一件服装，可获得 12 元的代加工费.（1）求该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润 y（单位：万元）关于年代加工量x（单位：万件）的函数解析式；（2）当年代加工量为多少万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利
10、润最大?并求出年利润的最大值.21.（本小题满分 12 分）在人教版高中数学教材选择性必修三中，我们探究过“杨辉三角”（如下图所示）所蕴含的二项式系数性质，也了解到在我国古代，杨辉三角是解决很多数学问题的有力工具。（1）把“杨辉三角”中第三斜列各数取出，并按原来的顺序排列可得一数列na：1，3，6，10，15，请写出na与1na（*Nn，2n）的递推关系，并求出数列na的通项公式；（2）设12)1(+=nnnnab，*Nn，证明：2321+nbbbb.22.（本小题满分 12 分）已知函数()xxxxf=ln，()1ln2+=xxaxg.（1）求函数()xf的最小值；（2）若()0 xg在），
11、（+0上恒成立，求实数a的值；（3）证明：20232022131211+e（其中e是自然对数的底数）.第 1 页 共 8 页 20232024 学年学年第一学期第一学期四校联考（一）参考答案四校联考（一）参考答案 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 A D C B C D C B BC AB AD AC 13.),21+14.)4,0()0,4(15.116.8部分试题答案详解部分试题答案详解 5.C【详解】由图象可知()f x在定义域内单调递增，所以1a，令()()log0af xxb=，即1xb=+，所以函数()f x的零点为1b+，结合函数图象可知0
12、1 1b+，所以10b，因此0ab+，故A错误；0 aab，又因为1a，所以1a ，因此1ab 不一定成立，故B错误；因为10baaa，即11baa，且101a，所以01ba，故C正确；因为01b，所以loglog 1aab，即log0ab，故D错误，故选：C.6.D【详解】因为函数()f x满足对任意实数12xx，都有2121()()0f xf xxx成立，所以函数()f x在R上递减，所以1206aaaa+，解得：23a 故选：D.7C【详解】由题得0.30.3log0.2log0.31c=，0.200=0.20.21a=，0.300=0.30.31b=，所以,ca cb.10101025
13、12.010004025151512.0=a，10103100027103=b，显然，a的被开方数大于b的被开方数，ba，故有bac.故选：C.8B第 2 页 共 8 页【详解】做出函数()()224,4,log4,4,xx xf xxx+=的图像如图所示，由图可知，421=+xx，由()()2log424xf=，可得6516x=或20 x，所以4520 x，又因为()()4232log4log40 xx+=，所以()()34441xx=，故43144xx=+，444341)441(4414xxxx+=+191744)4(41217)4(41444444=+=xxxx当且仅当()4414444
14、xx=，即48x=时取等号，所以1234144xxxx+的最小值为4 1923+=.故选：B9BC【详解】由题意数列 na的首项11a=，且满足121nnaa+=+，则233,7aa=，则3212aaaa，故数列 na不是等比数列，A错误；由121nnaa+=+得112(1)nnaa+=+，10na+，否则与11a=矛盾，则1121nnaa+=+，则数列1na+是等比数列，B正确；由 B 分析知数列1na+是等比数列，首项为112a+=，公比为2q，则1122nna+=，所以21nna=，C正确；数列 na的前 n 项的和为2221)21(2)12()12()12(121=+nnnnn，D错误
15、.故选：BC10AB【详解】当224xx，即2x 或2x 时，()F x=24x；第 3 页 共 8 页 当224xx，即22x时，()F x2x=.则()222422242xxF xxxxx=，画出图像如下.对于A选项，因()()F xFx=，且xR，则函数()F x是偶函数，A正确.对于B选项，由图可得()0F x=有三个解，B正确.对于C选项，由图可得()F x有 4 个单调区间，故C错误.对于D选项，由图可得()F x有最大值为 2，无最小值，故D错误.故选：AB11AD【详解】()()22fxfx+=，函数()f x图像关于直线2x=对称，故A正确；又()f x为偶函数，()()22
16、(2)fxfxf x+=，所以函数()f x的周期为 4，故B错误；由周期性和对称性可知，()7(3)(1)1fff=，故C错误；做出()f x与()g x的图像，如下：由图可知，当26x 时，()f x与()g x共有 4 个交点，()f x与()g x均关于直线2x=对称，所以交点也关于直线2x=对称，则有1234+2 48xxxx+=，故D正确.故选：AD.12AC【详解】对选项A：因为1212xxxxaaa+=，所以()()()1212f xf xf xx=+，故选项A正确；对选项B：因为121 2xxx xaaa+，所以()()()1212f xf xf x x+，故选项B错误；对选
17、项C：由题意，因为1a，所以()()()xxg xf xfxaa=在 R 上单调递增，第 4 页 共 8 页 不妨设12xx，则()()12g xg x，所以()()()()121122xxg xxxg x，即()()()()11221221x g xx g xx g xx g x+，故选项C正确；对选项D：取12=0,1,2xxa=，则()()1121221022=20222g xg xxxg+=，故D错误.故选：AC.13),21+【详解】设121(),2xx=则()2102x+=，221(1)(0)22y+=+=0，2(1)122y+=故函数21yxx=+的值域为),21+.故答案为：)
18、,21+14)4,0()0,4(【详解】当0 x 时，()24f xxx=，()0 xf x，即()0f x，即240 xx，解得04x；当0 x=时，()0 xf x=，不成立；当0 x 时，()()()2244f xfxxxxx=+=，()0 xf x，即()0f x，即240 xx，解得40 x；综上所述：)4,0()0,4(x.故答案为：)4,0()0,4(.151【详解】由已知可得()()2lg 230fa=，则231a=，解得2a=，故()()lg 23f xx=，由()22()lgf xkx得()()22lg 23lgxkx，因为3,4x，则224129kxxx+，可得29124
19、kxx+，令11 1,4 3tx=，()29124g ttt=+，则函数()g t在1 1,4 3上单调递减，第 5 页 共 8 页 所以，()max125416g tg=，2516k.因此，正整数k的最大值为1.故答案为：1.16.8【详解】13)1(2+=+naannn，当n为奇数时，132+=+naann；当n为偶数时，132+=+naann.设数列na的前n项和为nS，)()(864275318218aaaaaaaaaaaS+=+=)()()30)14)486421111aaaaaaaa+=（10674419748411=+=+=aa，解得81=a.17.【详解】（1）设na的公比为q
20、，由题设得1=nnqa，.1 分 由已知得61814qaqa=，即684qq=，.2 分 解得0=q（舍去），2=q或2=q，.3 分 故12=nna）（或12=nna.4 分（2）若12=nna）（，则3)2(1nnS=.5 分 由127=mS得380)2(=m，此方程没有正整数解.7 分 若12=nna，则12=nnS，.8 分 由127=mS得1282=m，解得7=m，综上，7=m.10 分 18.【详解】（1）由题意得()2420fab=+=，故2ba=，.1 分()0f xx=即()210axbx+=有唯一实数根，故()210b=，.2 分 解得1b=，故12a=，.4 分 故21(
21、)2f xxx=+；.5 分（2）2x，不等式()2f xa恒成立，第 6 页 共 8 页 只需()()222f xaxbxa xx=+=的最小值大于或等于2a，.7 分 当0a 时，()()22f xa xx=在)2,x+上单调递增，.9 分 故()()min20f xf=，所以20a，解得2a，所以实数a的取值范围是)2,+.12分 19.【详解】（1）由题意得()()=+=52411212100bafbfxf，解得1=a，0=b，经验证满足题设；.2 分（2）()xf在），（11上是增函数.3 分 证明如下：在），（11上任取两数1x，2x且1121xx，则()()1)(1()1)()1
22、)(1(112221212122212122221122221121xxxxxxxxxxxxxxxxxxxfxf+=+=+=，.5 分 因为1121xx，所以021 xx，0121xx，0121+x，0122+x，.7 分 故()()021xfxf，即()()21xfxf，所以()xf在），（11上为增函数；.8 分（3）()xf为奇函数，定义域为），（11，由()0)(1+tftf得()()()tftftf=1，.9 分()xf在），（11上为增函数，111tt，解得210t.所以原不等式的解集为210tt.12 分 20.【详解】（1）当010 x时，221112230103022yxxx
23、xx=+=+；.2 分 当1050 x时，450450121411530285yxxxxx=+=+.4 分 故211030,010,2450285,1050.xxxyxxx+=+.5 分（2）当010 x时，函数2110302yxx=+为开口向下的二次函数，且对称轴为直线10 x=第 7 页 共 8 页 所以2110302yxx=+在(0,10上单调递增，.6 分 故2max11010 1030202y=+=（万元）；.7 分 当1050 x时，25854502285)4502(854502=+=+=xxxxxxy，当且仅当4502xx=，即15=x时，等号成立.9 分 即当15=x时，max
24、25y=（万元）.10 分 因为2025，所以当年代加工量为 15 万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大，最大值为 25 万元 .12 分 21【详解】（1）解：由“杨辉三角”的定义可知：11=a，当2n时，naann=1，.2 分 因为112211aaaaaaaannnnn+=）（）（）（，.3 分 故2)1(12)1(+=+=nnnnan.4 分 上式对11=a也成立，所以2)1(+=nnan*Nn）.5 分（2）解：由题意可得12)1(2)1(+=nnnnnb，所以nnnb)21(=，设nnbbbbT+=321，所以nnnT）（）（212122112+=，所以132
25、2121221121+=nnnT）（）（）（，.7分 由可得132212121212121+=nnnnT）（）（）（）（，.8 分 所以121211211 2121+=nnnnT）（）（，.9 分 即）（）（）（）（nnTnnnn21121121211211+=+，nnnT)21)(2(2+=.10 分 所以nnnbbbb222321+=+，又因为022+nn故2321+nbbbb .12 分 22.【详解】（1）解：()xf的定义域为），（+0，()xxfln=，.1 分第 8 页 共 8 页 当），（10 x时，()0 xf，当），（+1x时，()0 xf 故()xf在），（10上单调递减
26、，在），（+1上单调递增.2 分 所以()()11min=fxf.3 分（2）解：由于()xxaxxaxg222=)0(x，当0a时，()0 xg，()xg在），（+0上单调递减，此时存在），（100 x，使得()()010=gxg，与题设矛盾.4 分 当0a时，），（20ax时，()0 xg，），（+2ax时，()0 xg，故()xg在），（20a上单调递增，在），（+2a上单调递减，所以()122ln2122ln2max+=+=aaaaaaagxg，.5 分 要使()0 xg在），（+0恒成立，则()0maxxg，即0122ln2+aaa.6 分 又由（1）知()1ln=xxxxf，即1ln xxx，（当且仅当1=x时，等号成立）.令2ax=有0122ln2+aaa，故0122ln2=+aaa，12=a，所以2=a.7 分（3）证明：由（2）知()1ln22=xxxg得1ln22 xx（当且仅当1=x时等号成立）令tx=）（0t，则1lntt（当且仅当1=t时等号成立），.8 分 令xet=，所以1lnxxee，即1+xex（当且仅当0=x时等号成立），令01=nx（*Nn），则nnnen1111+=+.10 分 从而有2022202320212022342312202212021131211eeeee所以20232022131211+e.12 分